10.1随机事件与概率（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“随机事件与概率”，涵盖随机试验、样本空间、事件关系、古典概型及概率性质等核心知识点。课堂导入通过集合知识类比样本空间，搭建新旧知识联系，引导学生从集合角度理解事件概念，形成学习支架。 资料特色在于概念呈现结构化，用表格对比事件关系与运算，明确互斥与对立区别，提供样本点探求三法。题型覆盖事件判断、概率计算等，结合实例培养学生抽象能力（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），提升用数学语言解决问题的应用意识，适合分层教学与自主学习。

10.1　随机事件与概率 1．理解随机试验、样本点与样本空间的概念，会写试验的样本空间．了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义． 2．理解事件的关系和运算．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念． 3．结合具体实例，理解古典概型的概念及特点．掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率． 4．理解概率的基本性质．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题 试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 题型一 随机事件的判断 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【答案】①②③④ 【分析】由随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐一核对四个命题得答案． 【详解】恒成立，∴①正确； 对于奇函数，若其定义域含0（如），则； 若其定义域不含0（如），则不成立，故该事件为随机事件，∴②正确； 由对数函数定义域可知，成立的前提是，即. 故若事件发生，则事件必然发生，∴③正确； ∵对顶角相等，∴对顶角不相等是不可能事件，∴④正确． 故答案为：①②③④ 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据真子集的定义和必然事件、随机事件和不可能事件的定义判断. 【详解】∵集合是集合的真子集，中的任意一个元素都是中的元素， 而中至少有一个元素不在中，因此A正确，B错误，C正确， 因为集合是集合的真子集，则集合没有的元素集合中一定没有，D正确． 故选：ACD 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 题型二 判断互斥事件、对立事件 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 6．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 7．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 8．（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 9．（25-26高一上·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解；方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解. 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 题型三 古典概型概率的计算 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总事件数为，乙获胜的事件数是， 则乙获胜的概率是． 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 13．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】/ 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 14．（25-26高一下·贵州遵义·月考）乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． (2)若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 【答案】(1)，平均数为（分） (2) 【详解】（1）由图可得：，解得， 则满意度的平均分（分）； （2）在所抽取的5人中，评分在组的有人，设为， 评分在组的有人，设为， 抽取的两人有共10种情况， 符合条件的6种情况， 所以所求概率． 题型四 有放回与无放回的概率问题 15．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 16．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得，得到续航能力在区间内的频率，进而得到答案； （2）根据题意，利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率，得到在中的有1次，在中的有6次，结合古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 18．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    【答案】 【分析】将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率． 【详解】设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C， 两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：    由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种， 所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为． 故答案为： 19．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 【答案】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 21．（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 22．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 23．（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 题型五 互斥事件概率加法公式 24．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件概率公式及互斥事件概率加法公式计算求解. 【详解】由题意知，表示“大于5的点数出现”，事件与事件互斥， 由概率的加法计算公式可得 故选：B. 25．（25-26高三下·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 26．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，． 27．（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 28．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 29．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 题型六 利用互斥、对立事件的概率公式求概率 30．（25-26高二上·广东江门·期中）已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 31．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率公式计算即可. 【详解】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 32．（25-26高一下·全国·课堂例题）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球，设事件表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知，，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 【答案】 【分析】确认事件与不可能同时发生，满足互斥条件，再利用互斥事件的概率加法公式即可得解. 【详解】“3只球中有1只红球，2只白球”和“3只球中有2只红球，1只白球”不能同时发生，故两个事件与互斥． 又3只球中既有红球又有白球的情形为：1红2白，2红1白，即或， 故所求的概率为． 33．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 34．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 35．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 36．（25-26高二上·四川成都·月考）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 1（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 2．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 5．（25-26高二上·山东济宁·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 6．（24-25高二上·山东青岛·期中）（多选）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【答案】AD 【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确； 对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法， 其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确； 对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确； 对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确； 故选：AD. 7．（24-25高二下·四川·月考）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义及概率公式逐项判断可得答案. 【详解】A选项，因为事件互斥，所以，故，A错误； BC选项，因为事件两两互斥，， 所以，B正确，C错误； D选项，，D正确. 故选：BD. 8．（24-25高一下·河北·期末）（多选）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以， 则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故答案为：． 10．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是_________． 【答案】/0.5 【分析】先计算所有可能的结果数，找出在坐标轴上的结果，计算概率即可 【详解】根据题意，不放回的抽取两次总共的结果为种； 点在横轴上时，有这3种， 当点在纵轴上时，有这3种， 所以点在坐标轴上的结果数一共有种； 则组成的点在坐标轴上的概率是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 12．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1　随机事件与概率 1．理解随机试验、样本点与样本空间的概念，会写试验的样本空间．了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义． 2．理解事件的关系和运算．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念． 3．结合具体实例，理解古典概型的概念及特点．掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率． 4．理解概率的基本性质．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题 试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 题型一 随机事件的判断 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 题型二 判断互斥事件、对立事件 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 6．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 7．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 8．（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（25-26高一上·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 古典概型概率的计算 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 14．（25-26高一下·贵州遵义·月考）乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． (2)若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 题型四 有放回与无放回的概率问题 15．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 16．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    19．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 20．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 22．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 23．（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 题型五 互斥事件概率加法公式 24．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三下·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 26．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 27．（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 29．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）若事件与事件互斥，且，，则______. 题型六 利用互斥、对立事件的概率公式求概率 30．（25-26高二上·广东江门·期中）已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 32．（25-26高一下·全国·课堂例题）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球，设事件表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知，，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 33．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 35．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 36．（25-26高二上·四川成都·月考）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 1（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东济宁·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东青岛·期中）（多选）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 7．（24-25高二下·四川·月考）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北·期末）（多选）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________． 10．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是_________． 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $