湖北十堰市第一中学2025年学科特长生自主招生考试数学试题

十堰市第一中学 2025 年学科特长生自主招生考试试题 数 学 考试时间：120 分钟 满分 150 分 ✮热烈欢迎同学们报考一中！ ✮请同学们沉着,冷静,细心,守纪；预祝同学们考试顺利！ 初中学校： 考号： 姓名： 一、单项选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.如图，在RtΔABC 中， 上ACB = 90。，D 为斜边 AB 的中点，动点P 从 B 点出发，沿B → C → A 运动，如图 1 所示，设SDPB = y ，点P 运动的路程为x ,若y 与x 之间的函数图象如图 2 所示，则y 的最大值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 4 2. 下面的长方体是由A, B, C, D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4 个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体 应是 ( ) A. B. C. D. ( 3.如图所示的“赵爽弦图 ”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a ，较短直 角边长为 b ，若 ab = 15 ，大正方形的面积为 94 . 则小正方形的边长为( ) )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.关于x 的方程x + = a + 的两个解为x1 = a, x2 = , x + = a + 的两个解为x1 =a, x2 = ， x + = a + 的两个解为x1 = a, x2 = ，则关于x 的方程x + = a + 的两个解为( ) 5．若a = ，b = ，则a 与b 的大小关系为 ( ) A．a > b B．a ≥ b C．a < b D．a ≤ b 6.如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯（小水杯）装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是 ( ) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 7.已知函数y = {x-x (2)2 (-)-x( ) ，当a ≤ x ≤ b 时，- ≤ y ≤ 6 ，则b- a 的最大值为 ( ) 8.已知AB = 4 ，∠ACB = 90°，作射线BM ，使得∠ABM = 45°，作CH 丄 BM 于点H ，则BH长的最大值是( ) A． B．1 + C．2 D．2 + 9.阅读材料：已知点P(x0, y0 )和直线y = kx +b ，则点P 到直线y = kx +b 的距离d 可用公 ( kx 0 - y 0 + b ) ( 式 d = ) ( 1 + k 2 )计算．例如：求点P(-2, 1)到直线 y = x + 1 的距离．其中k = 1，b = 1， 所以点P(-2, 1)到直线 y = x + 1 的距离为，根据以上材料，有下列结论： (1)点(2, 0) 到直线y = -2x 的距离是 ； (2)直线y = -2x +1和直线y = -2x +6 的距离是； (3)抛物线y = x2 - 4x +3 上存在两个点到直线y = -2x 的距离是 ； (4)若点P 是抛物线y = x2 - 4x +3 上的点，则点P 到直线y = -2x 距离的最小值是 ． 其中，正确结论的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 ( A. 42 ) ( B. 44 ) ( C. 46 ) ( D. 48 )10. 用红蓝两色给1× 6 的棋盘染色（可以只用一种颜色），要求任意的连续三个方格不能全部染成红色，则符合要求的染色方法数为 ( ) 1 2 3 4 5 6 ( 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11 、如图，在 4 × 4 的网格中，每个小正方形的边长为 1 ，点 A , B , C 均 在格点上， D 是 AB 与网格线的交点，则 的值是______． )12. 关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别为 x1 , x2 ，且x1 = 2x2 ，若a +b + c = 0 ，则 = ______． 13. 如图，在菱形ABCD 中，AB = AC = 8 ，对角线AC，BD相交于点 O ，点M在线段 AC 上，且AM = 3 ，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP + 1 PB的最小值是 2 __________． 14. 五个互不相等的正偶数x1, x2, x3, x4, x5 的平均数和中位数都是A ，且六个数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5，m 的众数是 6，平均数还是A ，则这五个互不相等的正偶数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差为 ． 15 、已知A = 48 × ( + + + ) ，则3A 的整数部分[3A] 是 . 16．归纳猜想：对于任意一个非负整数N ，都定义有N *且 = N * +1，若0* = 0 ，100* = 30000 ，记P = 200 * ，则 = ______． 三、解答题（共 6 小题，共 70 分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17．（10 分）某层大楼共有 17 层电梯，有 16 人在第一层上了电梯，他们分别要去第 2至第 17 层，而电梯只允许停在第 2 至 17 层中的一层，只可使 1 人满意，假定乘客每向下走一层的不满意度为 1，每向上走一层的不满意度为 2，为使不满意度之和S 最小，电梯应当停在第几层？说明理由． 18．（12 分）2023 年 3 月 11 日 13 时 46 分外国某地发生了9.0 级大地震，随着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF = 23°，量得树干的倾斜角为上BAC = 38°，大树被折断部分和坡面所成的角上ADC = 60°，AD = 4m ． （1）求 ∠DAC 的度数； （2）求这棵大树折点C 到坡面AE 的距离？ 19．（12 分）若 α, β 为锐角且 α + β ≠ 90°时，现有公式：tan(α + β) = ， sin (180° α) = sin α, cos (180°α) = cos α 利用三个公式求解下列问题： （1）已知A + B = 60° 求 tan A· tan B + tan A + tan B 的值； , （2）求(1+ tan1°)(1+ tan 2°)(1+ tan 3°) (1+ tan 43°)(1+ tan 44°) 的值． （3）证明：三角形ABC 中tan A + tan B + tan C = tan A· tan B·tan C 20．（12 分）已知P(3, 4) ，矩形OAPB 的A, B 顶点分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y = (x >0, k > 0)与矩形的BP ，AP 分别交于D, C, ΔCOD的面积为4.5 ． （1）判断并证明直线CD 与AB 的关系． （2）求k 的值． （3）若E, F 分别为直线AB 和反比例函数上的动点，M 为EF中点，求OM 的最小值． 21．（12 分）如图，抛物线y = ax2 + bx + c 交 x轴于点A(3, 0) 和B(-1, 0)，交y轴于点C(0, 3)． (1)求抛物线的表达式； (2)M 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接OM 交AC 于点N ，当 的值最大时，求点M 的坐标； (3)点P 是抛物线对称轴上的一点且位于x 轴下方，点Q 是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PQB 是以PB 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q 的坐标． 22．（12 分）在Δ ABC中，AB = AC = 5, sin ∠ABC = , AD 丄 BC 于点 D，P是边AC 上（与点 A，C不重合）的动点，连接 PB交AD 于点 M，过 C，P，M三点作圆O交AD 的延长线于点 N，连接CN, PN ． ( 1 )求证：CN = PN ； ( 2 )如图 2，连接BN ，若BN与O 相切，求此时 O 的半径r ； ( 3 )在点P 的运动过程中，设线段MN 长为y ，圆半径为r ，求y 关于r 的函数解析式及r 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $十堰市第一中学2025年学科特长生自主招生芳试 数学参考答案 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分) 1、C2、A3、B4、D5、A6、C7、B8、D9、C10、B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 减号， 14、815、7316、800 2 三、解答题（共6小题，共70分) 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17.(10分)某层大楼共有17层电梯，有16人在第一层上了电梯，他们分别要去第2 至第17层，而电梯只允许停在第2至17层中的一层，只可使1人满意，假定乘客每 向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，为使不满意度之和S最 小，电梯应当停在第几层？说明理由. 解：电梯应当停在第12层；理由如下： 设电梯应该停在第n层（2≤n≤17)， 则s=[+2+…+0m-2]+2[1+2+1+(17-m]3m27+307 所以当n=12时，S取得最小值，故电梯应当停在第12层. 18.(12分)2023年3月11日13时46分外国某地发生了9.0级大地震，随着就是海啸.山 坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶 部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为 ∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m. 38 60%D 777777 第1页 (1)求∠DAC的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面AE的距离？ 解：(1)延长BA交EF于点M,在Rt△AME中，∠E=23°，∴.∠MAE=67。, 又，∠BAC=38°，∴.∠DAC=75° (2)作AH⊥CD于H点，作CG⊥AE于G点 在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4,cOS∠ADC=DH,DH=2. AD sim∠4DC=4,4H=25 AD 在Rt△ACH中，∠C=45°，.CH=AH=23 ∴.CD=DH+CH=2W3+2 在Rt△cDG中，∠CDG=60°，sim∠CDG=CC,∴CG=3+V5 CD 答：折点C距离坡面3+√3米 19.(12分)若a,B为锐角且a+B≠90°时，现有公式：tan(a+)= tana+tan B 1-tama.tan阝 sin(180°-a)=sina,cos(180°-ax)=-cosa利用三个公式求解下列问题： (1)已知A+B=60°求√3tanA:tanB+tanA+tanB的值； (2)求(1+tam1)0+tan2)1+tam3)-(1+tan43)1+tan44)的值. (3)证明：三角形ABC中tanA+tanB+tanC=tanA·tanB.tanC 解：(1)tana+tanB=tan(a+f)(1-tana.tan B)）=5-v5 tan atan B 原式=√5 (2)(1+tan1°)1+tan44）=1+tan1°+tan44°+tan1°tam44 =tan(1°+44)(1-tan1°tan44)+1+tan1°tan44°=2 所以原式=22” 第2页 (3)由己知tan(A+B)=-anC 左式=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tanC=-tanC(1-tanAtan B十tanC tan Atan Btan C 20.(12分)已知P(3,4),矩形OAPB的A,B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数 y=(x>0,k>0)与矩形的BP,AP分别交于D,C,△C0D的面积为45. (1)判断并证明直线CD与AB的关系. (2)求k的值， (3)若E,F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF 中点，求OM的最小值. 解(1)CD//AB,理由如下 q经4,0-年c-专0=8-0-3b 44 PC-PA-AC-4-k_12-k 33 .PD 3 PB ∠P=∠P,.△PCD与△PAB相似 图 'PC 4 PA ∴.∠PDC=∠PBA,∴.CD/IAB (2)作DG⊥OA于G, 1 SMoo=S00k ∴.SNCOD=S四边形AocD-S4△0c=(SADG+S梯形AcG）-SA40c=S梯形AcpG (AC:DG)PD-5 4-》 图2 ∴.k=6,k2=-6(舍去)，∴.k=6 (3) 第3页 取点A(-3,0),B(0,-4), 则直线A'B与直线AB关于O对称， 连接EO,并延长交AB于H,连接FH, 则OE=OH, :M是EF的中点， .OM-FB, ·当FH最小时，OM最小. 作直线QH∥AB,交y轴与Q,且使QR与双曲线 y=6在第一象限的图象相切，切点为F,作 BR⊥QR于R,作FT, 则FH的最小值是FT的长 4 直线AB的解析式为：y=一3+4， 设直线QR的解析式为：y=-3r+m, 由子+m-8整理得，位-3mr+18=0, x .△=(-3m)2-4×4×18=0, .m1=4v2,m2=-4v2(舍去)， ∴.0Q=42, .∴.QB=4V2+4, ·,·∠AOB=90°，OA=3,OB=4, .AB=5, sm∠ROB'=sim∠ABO=OB_3 AB 5 FH=B'R-BO sin/ROB=1212+12 所以OM=)rH=5V2+6 2 21.(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(3,0)和B(-1,0),交v轴于点C(0,3). 备用图 第4页 (1)求抛物线的表达式： (2)M是直线AC上方抛物线上一动点，连接OM交AC于点N,当MN的值最大时， ON 求点M的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点， 当△POB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标. 9a+3b+c=0 解(1)解：将A(3,0)、B(-1,0)、C(0,3)代入y=2+bx+c得：}a-b+c=0, c=3 a=-1 解得： b=2, C=3 .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：如图，过点M作H∥y轴，交AC于点H, 设直线AC的解析式为y=kx+t, 3k+t=0 将A(3,0)、C(0,3)代入y=x+t,得 t=3 [k=-1 解得： lt=3’ ∴.直线AC的解析式为y=-x+3, 设M(,-2+2+3),则H(,-+3), .MH=-m2+2m+3-(-+3)=-m2+3, :MH∥y轴， .△HDN∽aOCN, 第5页 ON OC 当m=2时， ON 有设大值子 此时-m2+2m+3= 2 4 .点M的坐标为 (3)解：由题意得，抛物线对称轴为x=1+3-1, 2 设抛物线对称轴与x轴交于点E,则E(1,0), :△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形， .∠PBQ=90°或∠BPQ=90°； ①当∠PB2=90°，过点Q作OF⊥x轴交x轴于点F,令对称轴交x轴于E,如图： y QF⊥x轴， .∠OFB=90°， ∴.∠QBF+∠BQF=90°， ∠QBF+∠PBE=90°， ∴.∠QBF+∠BQF=∠QBF+∠PBE,即∠BQF=∠PBE, 又BQ=BP,∠QFB=∠BEP=90°， .△BQF≌△PBE, .QF=BE=BO+OE=1-(-1)=2, 设Q(n,-n+2n+3)(n<1),则F(n,0), 若点Q在x轴上方，则QF=-n2+2n+3=2, 解得：2=1-√2，n,=1+√2（舍去）， 第6页 001-2,2: 若点O在x轴下方， y 则QF=-(-n2+2n+3)=2, 解得：h=1-√6，，=1+√6（舍去）， Q1-√6，-2： ②当∠BPQ=90°，此时点Q在x轴下方，过点Q作QG⊥PE交于点G,如图： QG⊥PE, ∠QGP=90°， .∠PQG+∠GPQ=90°， ∠BPQ=90°， .∠BPE+∠GP2=90°， .∠POG+∠GP2=∠BPE+∠GP2,即∠PQG=∠BPE, 又：BP=-P2,∠QGP=∠PEB=90°， ∴△PQG≌ABPE, .OG=PE,PG=BE=2, G .EG=PE+PG=OG+2, 设Q(n,-n2+2+3)(n<-1),则G(1,-m+21+3), .-（-n2+2n+3)=1-n+2, 解得：h=-2,2=3(舍去)， 此时-m2+2n+3=-(-2)2+2×(-2)+3=-5, .2(-2,-5): ∴综上所述，点Q的坐标为1-√2,2)或1-V6,-2)或(-2，-5) 第7页 22,(12分)在△ABC中，AB=AC=5,in∠ABC=,ADL BC于点D,P是边AC上（与 点A,C不重合)的动点，连接PB交AD于点M,过C,P,M三点作⊙O交AD的延长线 于点N,连接CN,PN. 小 N 图1 图2 (1)求证：CW=PW; (2)如图2，连接BN,若BN与⊙O相切，求此时⊙O的半径r; (3)在点P的运动过程中，设线段W长为y,圆半径为r,求y关于r的函数解析式 及P的取值范围 (1)证明：如图1，连接MC, M N 图1 .CN =CN, .∴∠CMN=∠CPN ·.四边形CPMN是圆内接四边形， .∴∠PCN+∠PMN=180°， 又：∠BMN+∠PMN=180°， ,∴，∠BMN=∠PCN, 又AB=AC,AD⊥BC ∴BD=CD, ..BM=CM .∴∠BMN=∠CMN, .∴∠PCN=∠CPN .CN=PN; 第8页 (2)解：如图2，连接NO并延长交AC于点H,连接OC,OP 0 N 图2 AD1BC,AB=AC=5,sin/ABC=号， ∴.AD=3,BD=CD=4,∠ADC=∠NDB=180°-∠ADB=90°， .OC=OP,CN=PN, ∴.ON为C的垂直平分线，即NH⊥CP 又.BN与⊙O相切，即NH⊥BN, ∴.ACII BN .∴∠CAD=∠BND 在△ADC和△NDB中 (∠CAD=∠BND ∠ADC=∠NDB, CD-BD .△ADC≌△NDB(AA), ..ND=AD=3, .AD LBC,AN=2AD=6,CD=4 .S△4Cw=号AN●CD=号×6×4=12， 又：S△4cw=3AC●NH=3×5×NH=12, NH=浩， 在CNI肿，CH=VCW2-N亚=V52-()2-, 在t△COH中，CH+O=OC2 即：()2+(4-r)2=2, 解得r=装。 当BN与⊙O相切时，O0的半径为装： 第9页 (3)解：如图3，连接OM,ON,MC,作OQ⊥MN, D M B D N 图3 .PMPM, ∴.∠PCM=∠PNM, ·.'∠PCN=∠PCM+∠MCN,∠CPN=∠PNM+∠CAD,∠CPN=∠PCN, .∠MCN=∠CAD, .OQ⊥MN ∴MQ=MN,∠MOQ=3∠MON, 又：∠MCN=∠MON, .∴∠MOQ=∠MCN=∠CAD, 又：∠MQO=∠ADC=90°， OM -sin/MOQ=sin/CAD=9 n=, 即y=r(0<r<6), 第10页