精品解析：吉林省实验中学2024-2025学年下学期高一年级学程性考试（一）数学试题

吉林省实验中学2024-2025学年度下学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】由向量，得. 故选：D 2. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义和复数的除法，求，得虚部. 【详解】复数，则，， 所以，得的虚部为. 故选：B. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可求出，再结合大边对大角即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理，可得， 又因为，所以，故，所以. 故选：B. 4. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 【详解】依题意， . 故选：C 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 6. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. －14 B. 14 C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算求得，利用叉乘模的定义即可得解. 【详解】，，， ，， 两个非零向量与的夹角为，， ，， . 故选：B. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 结合, 可得，即， 由于在锐角中，， 故，则, 则, 又，所以恒成立，即恒成立， 即恒成立， 因为，故，令， 则函数在内单调递增，故， 即， 故， 故选：C 【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD. 【详解】设， 对于A，，则， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，取，，而，D错误. 故选：AB 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 11. 已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C，根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解D即可. 【详解】对于A，因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得，即， 且，所以，故A错误， 对于B，因为， 则， 可得， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 又因为，解得， 可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 可知点在优弧上（端点除外）， 由题意得，则， 又因为， 且，所以可得， 即，又因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 14. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入，利用三角恒等变换化简即可求解； （2）由余弦定理可求得，再由三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为，，结合余弦定理， 可得，解得， 所以的面积为. 16. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为． 17. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据向量夹角公式，即可得答案. （2）由题意得、、坐标，根据三点共线的性质，计算求解，即可得答案， 【小问1详解】 以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 则， 因为就是的夹角，所以的余弦值为. 【小问2详解】 由题意得，， 因为D、M、E三点共线，所以，且， 则，解得. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【小问1详解】 因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. （2）由正弦定理得，根据两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角B的范围，结合三角函数的性质，计算求解，即可得答案. （3）由题意，结合数量积公式、面积公式，可得的值，根据余弦定理，可得的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以，即， 又， 所以， 由，得， 所以，则. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则 则周长的取值范围是. 【小问3详解】 因为是的“费马点”，所以， 又， 则， 所以， 则， 即， 则，解得， 由余弦定理得，解得， 所以的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2024-2025学年度下学期 高一年级学程性考试（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. －14 B. 14 C. －2 D. 2 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11. 已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若是的外心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 14. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，求的面积 16. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值； （2）设，求的值． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，便得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若，且，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $