专题06特殊的平行四边形期中复习讲义（18大题型+重点知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题06特殊的平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 基础：掌握平行四边形的定义、核心性质及判定，作为复习前提。 核心重点：1.矩形：定义、四角直角/对角线相等的性质、判定、面积公式及基础解题技巧。 2.菱形：定义、四边相等/对角线垂直平分对角的性质、判定、面积公式（重点对角线乘积一半）及解题技巧。 3.正方形：定义、四边相等/四角直角/对角线相等垂直平分的性质、判定、面积公式及综合解题技巧。 关键辅助内容1.牢记图形性质对比，快速判断图形类型； 2.掌握直角三角形斜边中线、对角线分割、中点四边形等重要结论； 3.规避易错点，关注判定条件的前提限制； 4.掌握典型题型思路，灵活运用性质、勾股定理、全等知识解题。 期中常考题型总结1.基础计算类：求图形边长、角度、面积（重点菱形、正方形对角线相关计算）； 2.判定证明类：证明矩形、菱形、正方形（核心先证平行四边形，再加特殊条件）； 3. 中档综合类：折叠问题、中点四边形相关题型； 4. 压轴提升类：动点问题、结合全等三角形的综合证明与计算。 核心题型◆归纳 题型1矩形性质理解 题型2矩形的性质证明 题型3求矩形在坐标系中的坐标 题型4矩形与折叠问题 题型5根据矩形的性质与判定求解 题型6利用菱形的性质求解 题型7利用菱形的性质证明 题型8利用菱形的性质与判定求面积 题型9正方形性质理解 题型10正方形折叠问题 题型11求正方形重叠部分面积 题型12正方形的判定定理理解 题型13根据正方形的性质与判定求解 题型14中点四边形 题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型16（特殊）平行四边形动点问题 题型17四边形中的线段最值问题 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形（基础铺垫） 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2.性质：对边平行且相等；对角相等、邻角互补；对角线互相平分；中心对称图形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D；对角线AC、BD交于O，OA=OC，OB=OD。 3.判定：（1）两组对边平行/相等；（2）一组对边平行且相等；（3）两组对角相等；对角线互相平分。 4.面积公式：S = 底×高. 5.解题技巧：利用对边、对角关系转化线段和角度，常用辅助线：连接对角线构造全等三角形。 6.易错点提醒：勿混淆对边与邻边相等；仅“一组对边平行、另一组相等”不能判定平行四边形。 知识点02矩形（特殊平行四边形） 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.性质：具备平行四边形所有性质；四角为直角；对角线相等；中心对称且轴对称（2条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；∠A=∠B=∠C=∠D=90°；对角线AC、BD交于O，AC=BD，OA=OB=OC=OD。 3.判定：（1）平行四边形+一个直角；（2）平行四边形+对角线相等；（3）三个角是直角的四边形。 4.面积公式：S = 长×宽（如S = AB×BC）。 5.解题技巧：构造直角三角形结合勾股定理求解；证明优先证平行四边形，再加特殊条件。 6.易错点提醒：勿漏“平行四边形”前提说“对角线相等的四边形是矩形”；矩形只有2条对称轴。 知识点03菱形（特殊平行四边形） 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.性质：具备平行四边形所有性质；四边相等；对角线垂直且平分一组对角；轴对称（2条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=BC=CD=DA；对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 3.判定：（1）平行四边形+一组邻边相等；（2）平行四边形+对角线垂直；（3）四边相等的四边形。 4.解题技巧：转化为等腰、直角三角形求解；对角线相关问题优先连对角线。 5.易错点提醒：勿漏“平行四边形”前提说“对角线垂直的四边形是菱形”。 知识点04正方形（最特殊平行四边形） 1.定义：既是矩形又是菱形的四边形。 2.性质：具备平行四边形、矩形、菱形所有性质；四角直角、四边相等；对角线相等垂直且平分内角；轴对称（4条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=CD=DA；∠A=∠B=∠C=∠D=90°；对角线AC、BD交于O，AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC、BD平分对应内角。 3.判定：（1）矩形+一组邻边相等；（2）菱形+一个直角；（3）平行四边形+对角线相等且垂直。 4.解题技巧：构造等腰直角三角形、全等三角形；证明优先证平行四边形，再证矩形+菱形。 5.易错点提醒：判定勿漏“平行四边形”前提；勿混淆与矩形、菱形的性质。 知识点05 中点四边形 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 核心性质：形状仅由原四边形对角线的数量（相等）与位置（垂直）关系决定，与原四边形边、角无关。 分类（重点）：① 任意四边形→平行四边形；② 对角线相等→菱形；③ 对角线垂直→矩形；④ 对角线相等且垂直→正方形。 解题关键：连原四边形对角线，借助三角形中位线定理解题。 易错点：中点四边形形状与原四边形是否特殊无关，仅由对角线决定。 题型解析◆精准备考 题型1矩形性质理解 1.下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2．如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是______． 3．如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 题型2矩形的性质证明 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 3．如图，已知矩形，点在边上，且，，垂足为F．求证：． 题型3求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 3．陈颖同学要在电话中告诉同学如图所示的图形，为了描述清楚，她使用了与本节有关的知识，你能猜到她用的是什么方法吗？请详细叙述她的方法． 题型4矩形与折叠问题 1．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 3．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 题型5根据矩形的性质与判定求解 1．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 2．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 题型6利用菱形的性质求解 1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 2．如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 3．如图，在平行四边形中，于，于，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 题型7利用菱形的性质证明 1．如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 3．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 题型8利用菱形的性质与判定求面积 1．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 3．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 题型9正方形性质理解 1．下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 2．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 3．如图，在中，，是边的中线，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是正方形，求的长． 题型10正方形折叠问题 1．如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 2．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 3．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 题型11求正方形重叠部分面积 1．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 3．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 题型12正方形的判定定理理解 1．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 3．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 题型13根据正方形的性质与判定求解 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 2．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 题型14中点四边形 1．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 3．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 题型16（特殊）平行四边形动点问题 1．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 2．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 3．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 题型17四边形中的线段最值问题 1．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 2．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 3．如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（    ）． A． B． C． D． 3．如图，是斜边的中线，E是的中点．若，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 4．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 5．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 二、填空题 7．如图，在菱形中，，，则的长为______． 8．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是__________形． 10．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 11．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为________．    12．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 14．如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 16．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 17．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 18．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06特殊的平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 基础：掌握平行四边形的定义、核心性质及判定，作为复习前提。 核心重点：1.矩形：定义、四角直角/对角线相等的性质、判定、面积公式及基础解题技巧。 2.菱形：定义、四边相等/对角线垂直平分对角的性质、判定、面积公式（重点对角线乘积一半）及解题技巧。 3.正方形：定义、四边相等/四角直角/对角线相等垂直平分的性质、判定、面积公式及综合解题技巧。 关键辅助内容1.牢记图形性质对比，快速判断图形类型； 2.掌握直角三角形斜边中线、对角线分割、中点四边形等重要结论； 3.规避易错点，关注判定条件的前提限制； 4.掌握典型题型思路，灵活运用性质、勾股定理、全等知识解题。 期中常考题型总结1.基础计算类：求图形边长、角度、面积（重点菱形、正方形对角线相关计算）； 2.判定证明类：证明矩形、菱形、正方形（核心先证平行四边形，再加特殊条件）； 3. 中档综合类：折叠问题、中点四边形相关题型； 4. 压轴提升类：动点问题、结合全等三角形的综合证明与计算。 核心题型◆归纳 题型1矩形性质理解 题型2矩形的性质证明 题型3求矩形在坐标系中的坐标 题型4矩形与折叠问题 题型5根据矩形的性质与判定求解 题型6利用菱形的性质求解 题型7利用菱形的性质证明 题型8利用菱形的性质与判定求面积 题型9正方形性质理解 题型10正方形折叠问题 题型11求正方形重叠部分面积 题型12正方形的判定定理理解 题型13根据正方形的性质与判定求解 题型14中点四边形 题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型16（特殊）平行四边形动点问题 题型17四边形中的线段最值问题 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形（基础铺垫） 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2.性质：对边平行且相等；对角相等、邻角互补；对角线互相平分；中心对称图形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D；对角线AC、BD交于O，OA=OC，OB=OD。 3.判定：（1）两组对边平行/相等；（2）一组对边平行且相等；（3）两组对角相等；对角线互相平分。 4.面积公式：S = 底×高. 5.解题技巧：利用对边、对角关系转化线段和角度，常用辅助线：连接对角线构造全等三角形。 6.易错点提醒：勿混淆对边与邻边相等；仅“一组对边平行、另一组相等”不能判定平行四边形。 知识点02矩形（特殊平行四边形） 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.性质：具备平行四边形所有性质；四角为直角；对角线相等；中心对称且轴对称（2条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；∠A=∠B=∠C=∠D=90°；对角线AC、BD交于O，AC=BD，OA=OB=OC=OD。 3.判定：（1）平行四边形+一个直角；（2）平行四边形+对角线相等；（3）三个角是直角的四边形。 4.面积公式：S = 长×宽（如S = AB×BC）。 5.解题技巧：构造直角三角形结合勾股定理求解；证明优先证平行四边形，再加特殊条件。 6.易错点提醒：勿漏“平行四边形”前提说“对角线相等的四边形是矩形”；矩形只有2条对称轴。 知识点03菱形（特殊平行四边形） 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.性质：具备平行四边形所有性质；四边相等；对角线垂直且平分一组对角；轴对称（2条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=BC=CD=DA；对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 3.判定：（1）平行四边形+一组邻边相等；（2）平行四边形+对角线垂直；（3）四边相等的四边形。 4.解题技巧：转化为等腰、直角三角形求解；对角线相关问题优先连对角线。 5.易错点提醒：勿漏“平行四边形”前提说“对角线垂直的四边形是菱形”。 知识点04正方形（最特殊平行四边形） 1.定义：既是矩形又是菱形的四边形。 2.性质：具备平行四边形、矩形、菱形所有性质；四角直角、四边相等；对角线相等垂直且平分内角；轴对称（4条对称轴）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=CD=DA；∠A=∠B=∠C=∠D=90°；对角线AC、BD交于O，AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC、BD平分对应内角。 3.判定：（1）矩形+一组邻边相等；（2）菱形+一个直角；（3）平行四边形+对角线相等且垂直。 4.解题技巧：构造等腰直角三角形、全等三角形；证明优先证平行四边形，再证矩形+菱形。 5.易错点提醒：判定勿漏“平行四边形”前提；勿混淆与矩形、菱形的性质。 知识点05 中点四边形 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 核心性质：形状仅由原四边形对角线的数量（相等）与位置（垂直）关系决定，与原四边形边、角无关。 分类（重点）：① 任意四边形→平行四边形；② 对角线相等→菱形；③ 对角线垂直→矩形；④ 对角线相等且垂直→正方形。 解题关键：连原四边形对角线，借助三角形中位线定理解题。 易错点：中点四边形形状与原四边形是否特殊无关，仅由对角线决定。 题型解析◆精准备考 题型1矩形性质理解 1.下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段中线的性质，掌握三角形的中线性质是解题关键，连接，根据题意得出，，． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 空白部分和阴影部分的面积相等， 阴影部分面积和矩形面积的比是； 故答案为： ． 3．如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 题型2矩形的性质证明 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 2．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 3．如图，已知矩形，点在边上，且，，垂足为F．求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据已知及矩形的性质利用判定，从而利用全等三角形的性质可得出要证明的结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型3求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 3．陈颖同学要在电话中告诉同学如图所示的图形，为了描述清楚，她使用了与本节有关的知识，你能猜到她用的是什么方法吗？请详细叙述她的方法． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系在图形描述中的应用，解题的关键是利用坐标确定图形各顶点的位置，从而清晰描述图形的形状和特征． 确定一个合适的原点和坐标轴；将图形的顶点放置在坐标系中，根据已知的边长按坐标规律表示各顶点坐标；通过描述各顶点的坐标以及边的连接顺序，让同学在脑海中构建出图形． 【详解】解：陈颖同学使用的是平面直角坐标系描述法． 具体方法如下： 首先，建立平面直角坐标系，以点A为坐标原点，使边在x轴上，边在y轴上． ∵，且点A为，在x轴上， ∴点B的坐标为． ∵，，且垂直于向上， ∴点C的坐标为． ∵，，且向左水平延伸， ∴点D的坐标为，即． ∵，点A为，在y轴上， ∴点E的坐标为． 答：陈颖同学使用了平面直角坐标系描述法，通过确定各顶点坐标并说明连接顺序描述图形． 题型4矩形与折叠问题 1．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质和平行线性质得到，再根据折叠性质得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 根据折叠性质得， 则， ∵， ∴． 2．如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得 ∴ ， ∵ 四边形 是矩形 ∴ ，， ∴ 在 中， ∴ 由勾股定理得 ． ∴． 3．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 【答案】 【分析】先得出，，再求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． 题型5根据矩形的性质与判定求解 1．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 2．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 题型6利用菱形的性质求解 1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， ∵增大， ∴增大． 2．如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出相等的线段和平行线，证明为等边三角形，为的中位线，然后利用三线合一以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∵，且， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，于，于，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）四边形是平行四边形，则，证明，所以，然后通过菱形的判定方法即可求证； （）连接交于，由菱形的性质可得，，，由勾股定理求得，所以，然后通过菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型7利用菱形的性质证明 1．如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 2．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可． 【详解】解：连接交于点F，如图所示： ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个活动衣帽架所围成的面积． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 题型8利用菱形的性质与判定求面积 1．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 2．如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，勾股定理求得，进而求得，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， 在中，， 四边形是菱形， ， 又对角线， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 3．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形的性质得出，得出，证出四边形是平行四边形，再由，即可证出四边形是菱形； （2）求出，得出再证出，在中，由勾股定理求出， 即可得出菱形的周长． 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长． 题型9正方形性质理解 1．下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断，即可找出错误说法． 【详解】∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分， ∴A说法正确； ∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角， ∴B说法正确； ∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直， ∴C说法错误； ∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分， ∴D说法正确． 2．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 3．如图，在中，，是边的中线，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是正方形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可得出结论； （2）根据正方形的性质求得，根据等腰三角形三线合一，得到，得到时，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵是正方形， ∴， ∵，是边的中线， ∴，即， ∵， ∴． 题型10正方形折叠问题 1．如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 2．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 3．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答． （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为3，， ，，， 在中，， ， 解得， ． （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 题型11求正方形重叠部分面积 1．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 3．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 【答案】(1)4，0 (2) (3)或 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； （2）解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； （3）当时，由或解得：或， 故t的值为或． 题型12正方形的判定定理理解 1．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 2．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 【答案】正方形 【分析】根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为，再由正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由图中的折叠过程可知剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为， 即得到的平面图形是正方形． 3．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查在网格中作图，勾股定理，正方形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据对角线相等且互相垂直平分是四边形是正方形，即可求解； （2）取格点，使得即可求解，再由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：如图，正方形为所求． 根据题意，得， 取格点E，F，使得，且与互相垂直平分， 根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形可得四边形是所求正方形． （2）解：如图，为所求． ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵边上的高为3 ∴， ∴为所求． ∴． 题型13根据正方形的性质与判定求解 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 题型14中点四边形 1．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 2．在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】12 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 3．如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 题型16（特殊）平行四边形动点问题 1．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 2．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 3．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 题型17四边形中的线段最值问题 1．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】要解决的最小值问题，需通过线段平移将分散的线段和转化为共线形式，再结合“两点之间线段最短”与勾股定理求解．利用的垂直关系和平移性质构造直角三角形，将的和转化为直角三角形斜边的长度，进而确定最小值． 【详解】解：如图，将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． ，；，． ，且， ，即． ∵，， ． 在中，根据勾股定理： 由，可得． ∵． 的最小值为的长度，即． 2．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 3．如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)有，最小值是2 【分析】（1）先判断出，，再判断出，进而得出即可得出结论； （2）先判断出点在上时，最小，再利用勾股定理求出，即可得出结论； 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： 由折叠知，，． ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：有．理由：如图1， 连接，由折叠知，． ， 当点在上时，最小，最小值为，如图2， 四边形是矩形， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， ； 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 2．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，易得，利用等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即选项B符合题意． 3．如图，是斜边的中线，E是的中点．若，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，三线合一结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵是斜边的中线， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴. 4．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 5．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 6．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 二、填空题 7．如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 8．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是__________形． 【答案】正方 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，掌握各判定定理是解题的关键． 根据题意，，，则四边形是平行四边形，再根据，得到该四边形为矩形，最后根据是的角平分线，可得到，即可得到该四边形为正方形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， 是的角平分线， ∴， ， ， ， ， 又四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方． 10．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 11．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为________．    【答案】 【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，    ∵ 设，则， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 过点作于点，则是矩形， ∴， ∴， ∵，则 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 12．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 14．如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据菱形性质得，推出内错角相等，再由是中点得，最后利用证明全等； （2）先由全等得即是中点，再在中用勾股定理求，最后得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， 在的延长线上， ， (两直线平行，内错角相等)， 为的中点， ， 在和中， ， ， （2）解：由(1)知， , 即是的 中点， ， 为的中点，， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 由勾股定理：， ． 15．如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． 16．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 17．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 18．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $