专题05平行四边形期中复习讲义（10大常考题型+知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题05平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 核心性质：对边平行且相等，对角相等、邻角互补，对角线互相平分，为中心对称图形。 判定方法：可通过定义、边、角、对角线等条件判定，重点掌握边和对角线相关判定方式。 求解与证明：结合平行四边形性质及勾股定理，计算边长、角度、对角线长度；借助全等三角形，完成平行四边形判定及边、角关系证明。 关联拓展：与三角形中位线结合，可构造平行四边形；与全等三角形联动，解决复杂线段、角度证明问题。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形性质求解 题型2利用平行四边形性质证明 题型3利用平行线间距离解决问题 4求与已知三点组成平行四边形的点的问题 题型5全等三角形拼平行四边形问题 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 题型7平行四边形性质和判定的应用 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9三角形中位线的实际应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形核心性质（必记） 1.边：对边平行且相等； 2.角：对角相等，邻角互补（和为180°）； 3.对角线：互相平分； 4.对称性：中心对称图形，无对称轴。 5.性质拓展（期中拓展考点） （1）三角形关联：平行四边形的一条对角线可将其分成两个全等的三角形，可借助全等三角形性质完成复杂几何推导。 （2）线段关系：由对边平行且相等，可推导线段平行、相等的传递关系，辅助解决线段平移、等量代换问题。 知识点02平行四边形判定定理（核心考点） 1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.边的判定：两组对边分别相等，或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.对角线判定：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5.判定拓展：结合全等三角形，通过证明边、角关系，推导平行四边形判定条件。 知识点03全等三角形拼平行四边形（期中高频） 核心：两个全等三角形，以对应边为公共边拼接，可组成平行四边形； 关键：必须对应边重合，平行四边形可分割为两个全等三角形。 知识点04计算类考点 边长：利用对边相等，结合周长列算式/方程； 角度：利用对角相等、邻角互补计算； 对角线：利用互相平分性质，结合勾股定理（直角情况）计算。 面积：S=底×高=ah(a为任意一边，h为该边上的高)； 推论：过平行四边形对角线交点的任一直线，平方平行四边形的面积；一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。 知识点05证明类考点 证明四边形是平行四边形：优先用“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”； 证明边、角、对角线关系：直接利用平行四边形性质推导，可借助全等三角形辅助。 知识点06三角形中位线（关联考点） 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：平行于第三边，且长度是第三边的一半； 应用：可测量无法直接测量的距离，判定平行关系； 易错：区分中位线与中线（中线连接顶点与对边中点）。 知识点07期中常考题型 基础计算：边长、角度、对角线、中位线长度； 判定证明：证明四边形是平行四边形； 综合应用：结合全等三角形、中位线的实际测量问题。 知识点08易错提醒（避坑） 1.判定平行四边形，勿漏“一组对边平行且相等”的“且”字； 2.混淆三角形中位线与中线； 3.计算对角线时，忽略勾股定理的直角前提； 4.证明步骤不完整，拼接全等三角形未对应边重合。 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形性质求解 1．如图，中，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，O是对角线的交点，，且，，则的长是______． 3．如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 题型2利用平行四边形性质证明 1．如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 3．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 题型3利用平行线间距离解决问题 1．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为________． 3．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    4求与已知三点组成平行四边形的点的问题 1．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 2．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 题型5全等三角形拼平行四边形问题 1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 2．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 3．如图，点C是线段的中点，，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型7平行四边形性质和判定的应用 1．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 3．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______． 3．如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 题型9三角形中位线的实际应用 1．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 2．如图，要测量，两点间距离，在点打桩，取的中点，的中点，测得米，则_____米． 3．图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 3．如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 4．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 5．如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 6．如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 二、填空题 7．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 8．在四边形中，，相交于点．若，，那么当__________，且__________时，四边形为平行四边形． 9．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则____ ． 10．如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 11．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 12．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 三、解答题 13．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 14．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 15．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 16．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 17．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 核心性质：对边平行且相等，对角相等、邻角互补，对角线互相平分，为中心对称图形。 判定方法：可通过定义、边、角、对角线等条件判定，重点掌握边和对角线相关判定方式。 求解与证明：结合平行四边形性质及勾股定理，计算边长、角度、对角线长度；借助全等三角形，完成平行四边形判定及边、角关系证明。 关联拓展：与三角形中位线结合，可构造平行四边形；与全等三角形联动，解决复杂线段、角度证明问题。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形性质求解 题型2利用平行四边形性质证明 题型3利用平行线间距离解决问题 4求与已知三点组成平行四边形的点的问题 题型5全等三角形拼平行四边形问题 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 题型7平行四边形性质和判定的应用 题型8与三角形中位线有关的求解问题 题型9三角形中位线的实际应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形核心性质（必记） 1.边：对边平行且相等； 2.角：对角相等，邻角互补（和为180°）； 3.对角线：互相平分； 4.对称性：中心对称图形，无对称轴。 5.性质拓展（期中拓展考点） （1）三角形关联：平行四边形的一条对角线可将其分成两个全等的三角形，可借助全等三角形性质完成复杂几何推导。 （2）线段关系：由对边平行且相等，可推导线段平行、相等的传递关系，辅助解决线段平移、等量代换问题。 知识点02平行四边形判定定理（核心考点） 1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.边的判定：两组对边分别相等，或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.对角线判定：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5.判定拓展：结合全等三角形，通过证明边、角关系，推导平行四边形判定条件。 知识点03全等三角形拼平行四边形（期中高频） 核心：两个全等三角形，以对应边为公共边拼接，可组成平行四边形； 关键：必须对应边重合，平行四边形可分割为两个全等三角形。 知识点04计算类考点 边长：利用对边相等，结合周长列算式/方程； 角度：利用对角相等、邻角互补计算； 对角线：利用互相平分性质，结合勾股定理（直角情况）计算。 面积：S=底×高=ah(a为任意一边，h为该边上的高)； 推论：过平行四边形对角线交点的任一直线，平方平行四边形的面积；一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。 知识点05证明类考点 证明四边形是平行四边形：优先用“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”； 证明边、角、对角线关系：直接利用平行四边形性质推导，可借助全等三角形辅助。 知识点06三角形中位线（关联考点） 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：平行于第三边，且长度是第三边的一半； 应用：可测量无法直接测量的距离，判定平行关系； 易错：区分中位线与中线（中线连接顶点与对边中点）。 知识点07期中常考题型 基础计算：边长、角度、对角线、中位线长度； 判定证明：证明四边形是平行四边形； 综合应用：结合全等三角形、中位线的实际测量问题。 知识点08易错提醒（避坑） 1.判定平行四边形，勿漏“一组对边平行且相等”的“且”字； 2.混淆三角形中位线与中线； 3.计算对角线时，忽略勾股定理的直角前提； 4.证明步骤不完整，拼接全等三角形未对应边重合。 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形性质求解 1．如图，中，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，得到，再用两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴． 2．如图，在平行四边形中，O是对角线的交点，，且，，则的长是______． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出，由平行四边形的性质可得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到；然后由角平分线的性质求得；最后根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． 题型2利用平行四边形性质证明 1．如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解： A、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； B、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； C、根据平行四边形的对角线互相平分，可得，故本选项正确，符合题意； D、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等角，利用等角对等边得到，再根据线段的和差关系计算EF的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ，． 平分，平分， ，． ，． ，． 当为与的重叠部分时， ． ． 当为与的不重叠部分时， ． ． ． 故答案为：． 3．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 题型3利用平行线间距离解决问题 1．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． 2．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，等腰直角三角形，过点A作于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，则，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线间距离处处相等，三角形面积等知识．过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．根据平行线间距离处处相等得到．根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．    ∵， ∴． ∵， ∴． 4求与已知三点组成平行四边形的点的问题 1．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 2．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形； （2）根据图像得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求； （2）由图可知：满足条件的点的坐标或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型5全等三角形拼平行四边形问题 1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 2．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型6利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形、四边形都是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，再由，，得出四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ∵，， ∴四边形、四边形都是平行四边形． ，，，． ∴图中阴影部分的周长． 故选：B． 2．如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 3．如图，点C是线段的中点，，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型7平行四边形性质和判定的应用 1．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 3．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型8与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 2．如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据三角形中位线定理可得，再由可得到的长，然后在中利用勾股定理可以算出的长． 【详解】解：、分别是边、的中点， ， ， ， 在中，，， ． 故答案为：． 3．如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 题型9三角形中位线的实际应用 1．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 【答案】D 【详解】解：∵点D、E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 2．如图，要测量，两点间距离，在点打桩，取的中点，的中点，测得米，则_____米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理．根据“三角形的中位线等于第三边长的一半”求解即可． 【详解】解：∵点C和点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴(米)， ∴A、B两点间的距离是米， 故答案为：． 3．图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查利用网格求角的度数，作平行线，作线段的倍数线段，对称点等，掌握三角形中位线的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、轴对称的性质是解题的关键． （1）结合网格，利用正方形的性质进行求解即可； （2）结合网格可得点是线段的中点，结合网格找出线段的中点，连接，此时为的中位线，则；可以看作的矩形的对角线，过点作的矩形的对角线，交于点，此时，则为直角三角形，连接，根据直角三角形斜边中线定理，则； （3）点可以看作所在小正方形的中点，看作是直角边为2和的直角三角形的斜边，先利用的矩形对角线确定中点，然后连接，，且两个直角三角形全等，可以看作的正方形的对角线，此时点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：可以看作的正方形的对角线， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A、，，可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 2．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 3．如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长． 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴的周长． 4．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 5．如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法是关键，甲方案：证明，得，证明，得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判定甲方案可行；乙方案：根据题意得到，证明，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 甲：点O是线段的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故甲的方案可行； 乙：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙的方案可行； 故选：C ． 6．如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质判断出是等腰三角形，进而由等腰三角形三线合一性质确定点为线段中点；再根据题中尺规作图得到点为线段中点，最后由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， 则为等腰三角形， 在等腰中，由可知点为线段中点， 又根据图中尺规作图可知是线段的垂直平分线，即点为线段中点， 是的中位线， 则． 二、填空题 7．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 8．在四边形中，，相交于点．若，，那么当__________，且__________时，四边形为平行四边形． 【答案】 4 5 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理得和分别是对角线和的一半. 【详解】解：， 当， 时， 四边形为平行四边形． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形． 9．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则____ ． 【答案】3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 10．如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 11．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和的周长是平行四边形周长的一半，可证明是线段的垂直平分线，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 12．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 【答案】10 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出的长 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 为中点， 在中，由勾股定理得： 三、解答题 13．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 14．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，， ∴，的面积为； （2）解：如图，四边形即为所求． 由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 15．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 16．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）由是边上的高，可得双勾股模型，由此列方程即可求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【详解】（1）∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）∵是边上的高， ∴，， ∵，， ∴， 解得． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当在线段上时，如图，此时，    根据题意，得， 解得．    当在线段上时，如图，此时， 根据题意，得， 解得，不合题意舍去． 故当时，以E、、、G为顶点的四边形是平行四边形． 17．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，过E作于H，根据等面积法求出，再根据平行线间的距离的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 过E作于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与所在直线之间的距离为4.8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $