9.2.3 向量的数量积（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

9.2.3 向量的数量积 题型一 向量数量积的简单计算 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，是夹角为的两个单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，的夹角为45°，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则________． 题型二 平面几何图形中的数量积 1．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知菱形的边长为2，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（24-25·江苏宿迁·月考）在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型一 利用数量积求向量模长 1．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 3．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则______． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）若平面向量两两的夹角相等，且，则_______． 5．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是________． 题型二 利用数量积求向量夹角 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 4．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 题型三 利用数量积解决垂直及问题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高一下·广西河池·月考）已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（242-5高一下·山东济南·月考）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型四 投影及投影向量求解 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏锡东·月考）已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量满足，则在方向上的投影向量为________. 题型五 利用数量积判断三角形形状 1．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，在中，，当或时，的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．钝角三角形或直角三角形 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．（24-25高一下·江苏·期末）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26高二上·辽宁大连·月考）在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 题型一 向量数量积的最值范围 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-2 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为______. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3 向量的数量积 题型一 向量数量积的简单计算 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，是夹角为的两个单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以.故选：C 2．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在方向上的投影向量为，即，故， 由平面向量数量积的定义可得.故选：A. 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【解析】因为向量和的夹角为，且， 则.故选：D. 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，的夹角为45°，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以， 则.故选：A. 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则________． 【答案】5 【解析】, 题型二 平面几何图形中的数量积 1．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】依题意可知和的夹角为， 所以.故选：D. 2．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知菱形的边长为2，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】.故选：B 3．（24-25·江苏宿迁·月考）在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由题可知，所以， 因， 则故选：C. 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】由向量的加法运算及题干条件可知， ， 所以.故选：C. 5．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由，则 由，则，解得， 易知，则， 即， .故选：B. 题型一 利用数量积求向量模长 1．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，若与的夹角为，所以， 则，故选：C. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】B 【解析】故选：B 3．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则______． 【答案】 【解析】由，两边平方并展开得， 所以，又，， 所以，则（负值舍）. 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）若平面向量两两的夹角相等，且，则_______． 【答案】或7 【解析】由题可设平面向量两两的夹角为，则或， 则由题 或． 5．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是________． 【答案】 【解析】由于， 因为是单位向量，所以，则，. 已知，代入上式可得：，则. 根据向量模的性质，可得： 因为是单位向量，所以，可得： 当且仅当与同向时，等号成立，所以的最大值为. 题型二 利用数量积求向量夹角 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为．故选：C. 2．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，移项可得， 因为，所以， 对两边同时平方可得， 根据完全平方公式则， 又因为，，所以可化为， 由，移项可得，则， 根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 【答案】 【解析】由题意知：，， 所以，所以， 所以，所以， 所以向量与的夹角是. 4．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)且 【解析】（1）由已知，，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， ，且，所以且． 题型三 利用数量积解决垂直及问题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为，则，即， 又因为，则， 可得，即.故选：D. 2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】．故选：A； 3．（24-25高一下·广西河池·月考）已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由单位向量，的夹角为，则， 由，可得， 即，可得，解得，故选：B． 4．（242-5高一下·山东济南·月考）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， 由知.故选：D 5．（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得.故选：A. 题型四 投影及投影向量求解 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的投影向量.故选：C. 2．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 向量在向量上的投影向量为，故选：A. 3．（24-25高一下·江苏锡东·月考）已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】，即， 即，解得或（舍去）， 则，则向量在方向上的投影向量的模长为.故选：A. 4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为： ．故选：A． 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量满足，则在方向上的投影向量为________. 【答案】 【解析】由在方向上的投影向量为. 题型五 利用数量积判断三角形形状 1．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形，故选：A． 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，在中，，当或时，的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．钝角三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】当或时，， 所以在中，为钝角或直角，故选：D 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形.故选：B. 4．（24-25高一下·江苏·期末）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 如图，取中点，则， 所以，所以， 又，故，即为等腰三角形，故选：C． 5．（25-26高二上·辽宁大连·月考）在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【解析】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形．故选：． 题型一 向量数量积的最值范围 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意. 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小， 则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为.故选：C 3．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对称性可得，连接，与的交点为， 则为的中点，为的中点， 故，，，， 过点作直线的垂线，垂足记为， 则向量在向量上的投影向量为， 所以， 如图过点作，，垂足分别为， 所以，， 观察图象可得，其中与同向，与反向， 所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为， 当点位于点的位置时，取最小值，最小值为， 所以的取值范围是.故选：B. 4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【解析】设的中点为的中点为E， 则有 ，则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为，故选：B. 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $