9.2.2 向量的数乘(3) 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.2　向量的数乘(3) 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025山东名校考试联盟期中)已知向量a，b不共线，m＝λa＋b(λ∈R)，n＝a＋2b，则“λ＝”是“m∥n”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2 (2025朝阳月考)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ的值为(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 3 (2025南通月考)在平行四边形ABCD中，＝3.若AE交BD于点M，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 4 (2025连云港赣榆期中)在△OAB中，C是AB上一点，且＝＋.若＝λ，则实数λ的值为(　　) A. B. C.1 D.2 5 (2025临泉田家炳实验中学期末)设a，b是两个不共线的向量，若向量ka－b与－2a＋kb的方向相同，则实数k的值为(　　) A. B.－ C.2 D.－2　 6 (2025重庆第二外国语学校期中)已知O是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足＝＋λ(＋)，λ>0，则直线AP一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心 二、多项选择题 7 已知在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论中正确的是(　　) A.－＝ B.＋＋＋＝0 C.|＋2|＝0 D.＝＋ 8 (2025湖北月考)如图，已知P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)，且＝x＋y，则下列说法中正确的是(　　) A.x＋2y＝ B.xy的最大值为 C.x2＋y2的最小值为 D.＋的最小值是8 三、填空题 9 (2025福建师大附中期中)已知点O在△ABC所在的平面内，若＝λ(＋)(λ≠0)，则直线OA一定经过△ABC的________．(填“重心”“内心”“外心”或“垂心”) 10 已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，且 ＝λ，则实数λ的值为________． 11 (2025杭州月考)已知向量a，b不共线，且＝2a＋3b，＝－a＋λb.若A，B，C三点共线，则实数λ的值为________． 四、解答题 12 (2025南师大附中月考)已知向量a，b不共线，且＝2a－b，＝3a＋b，＝a＋λb. (1) 若∥，求实数λ的值； (2) 若λ＝－3，求证：A，B，C三点共线． 13 (2025苏州期中)已知，不共线，点P满足＝x＋y，x，y∈R.求证：“x＋y＝1”是“A，B，P三点共线”的充要条件． 参 考 答 案 1.C　因为向量a，b不共线，所以m，n均为非零向量．若 λ＝，则m＝n，得m∥n，所以充分性成立；若m∥n，则m＝kn(k∈R)，即λa＋b＝ka＋2kb，所以解得λ＝k＝，所以必要性成立．综上，“λ＝”是“m∥n”的充要条件． 2.D　由题意，得存在t∈R使得2e1＋λe2＝t(3e1－2e2)，则解得 3.B　如图，因为 ＝3，所以E为线段DC上靠近点C的四等分点.由平行四边形的性质可知△ABM∽△EDM，则＝＝，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋. 4.D　因为 ＝＋，所以－＋＝－，则＝，即＝2，故λ＝2. 5.B　由题意可知存在正实数λ，使得ka－b＝λ(－2a＋kb)，则解得k＝－. 6.B　如图，取BC的中点D.由题意，得＝－＝λ(＋)＝2λ，则直线AP是△ABC的一条中线所在的直线，所以直线AP一定通过△ABC的重心． 7.ABC　－＝＝，故A正确；＋＋＋＝＋＝0，故B正确；因为AB∥CD，所以△OCD∽△OBA，所以＝＝，则＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，故C正确；＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D错误．故选ABC. 8.BC　对于A，因为＝x＋y＝x＋2y，且B，P，D三点共线，所以x＋2y＝1，故A错误；对于B，由x＋2y＝1≥2，得xy≤，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故B正确；对于C，由x＋2y＝1，得x＝1－2y，则 x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5＋≥，故C正确；对于D，＋＝(x＋2y)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选BC. 9.内心　因为，分别表示与，同方向的单位向量，则＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以直线OA一定经过△ABC的内心． 10.－2　因为＋＋＝－＋－＋－＝0，所以＝＋.因为D为△ABC的边BC的中点，所以＝(＋)，则＝2，所以D为AP的中点，所以＝－2.又＝λ，则λ＝－2. 11.－　由题意，得存在实数μ使得＝μ，即2a＋3b＝μ＝－μa＋λμb，则解得 12.(1) 若∥，则＝μ(μ∈R)， 即2a－b＝μ(a＋λb)， 可得解得 故实数λ的值为－. (2) 若λ＝－3，则＝a－3b， 所以＝－＝(a－3b)－(2a－b)＝－a－2b， ＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b， 所以＝2. 又因为，有公共点C， 所以A，B，C三点共线． 13.充分性：若x＋y＝1，则y＝1－x， 所以＝x＋(1－x)， 即－＝x－x，即＝x. 又，有公共点B， 所以A，B，P三点共线，故充分性成立； 必要性：因为A，B，P三点共线，所以∥. 由向量共线定理知，存在实数λ使得＝λ， 则－＝λ(－)， 即＝λ＋(1－λ). 又＝x＋y， 所以x＝λ，y＝1－λ， 则x＋y＝1，故必要性成立． 综上，“x＋y＝1”是“A，B，P三点共线”的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $