9.2.2 第1课时 向量的线性运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.2.2 第1课时 向量的线性运算 [课时跟踪检测] 1.已知e1，e2为两个不共线的向量，若向量a=2e1+e2，b=-2e1+3e2，则下列向量与向量2a+b共线的是 (　　) A.-5e1+2e2 B.4e1+10e2 C.10e1+4e2 D.e1+2e2 解析：选B　因为向量a=2e1+e2，b=-2e1+3e2，所以2a+b=2e1+5e2.又4e1+10e2=2(2e1+5e2)，所以4e1+10e2与2a+b共线. 2.已知向量a与b不共线，=a+kb，=la+b(k，l∈R)，若与共线，则k，l应满足 (　　) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0 解析：选D　由与共线，知存在唯一实数λ，使=λ，则a+kb=λ(la+b)，故所以kl-1=0，故选D. 3.(多选)如图，C，D是线段AB的两个三等分点，则 (　　) A.=3 B.=-2 C.+=0 D.= 解析：选ABC　因为C，D是线段AB的两个三等分点，所以||=3||，又与同向，所以=3，故A正确；||=2||，又与反向，所以=-2，故B正确；||=||，且与反向，所以=-，所以+=0，故C正确；||=||，且与反向，所以=-，故D不正确. 4.(多选)已知4-3=，则下列结论正确的是 (　　) A.A，B，C，D四点共线 B.C，B，D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析：选BD　因为4-3=，所以3-3=-.所以3=.因为有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||=3||.B、D正确，A错误.由4-3=，得=3-3+=3+.所以||≠||，C错误.故选BD. 5.已知a，b是不共线的向量，=λa+2b，=a+(λ-1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为 (　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 解析：选D　由于A，B，C三点共线，故可设=k(k∈R).因为=λa+2b，=a+(λ-1)b，所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k，2=k(λ-1)，解得λ=-1或λ=2. 6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N.设=m=n，则m+n= (　　) A.1 B.2 C. D.3 解析：选B　由题意得=(+)=(m+n)=+.因为M，O，N三点共线，所以+=1，即m+n=2. 7.(5分)点C在线段AB上，且||=||，若=λ，则λ=　　　　.  解析：不妨设||=4a，则||=||=3a.因为点C在线段AB上，所以=-. 答案：- 8.(5分)设向量a和b不平行，若向量2λa+8b与a+λb反向共线，则实数λ=　　　　.  解析：因为向量2λa+8b与a+λb反向共线，所以存在t(t<0，t∈R)，使得2λa+8b=t(a+λb)，即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行，所以解得t=-4，λ=-2. 答案：-2 9.(5分)已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且=x+y，则x+y=　　　　.  解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使=λ.∴-=λ(-).∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ，y=λ.∴x+y=1. 答案：1 10.(5分)设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有+3+4=0，则△BOC的面积为　　　　　　.  解析：∵+3+4=0， ∴-=+. 设-=，则=+，即B，C，D三点共线(如图)，∴==， ∴S△BOC=4×=. 答案： 11.(10分)已知向量m，n不是共线向量，a=3m+2n，b=6m-4n，c=m+xn. (1)判断a，b是否共线；(5分) (2)若a∥c，求x的值.(5分) 解：(1)若a与b共线，由题知a为非零向量， 则有b=λa，即6m-4n=λ(3m+2n)， ∴得到λ=2且λ=-2， ∴λ不存在，即a与b不共线. (2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c=ra， 即m+xn=3rm+2rn，即解得x=. 12.(15分)设e1，e2是两个不共线的向量，如果=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2. (1)求证：A，B，D三点共线；(5分) (2)试确定λ的值，使2λe1+e2和e1+λe2共线；(5分) (3)若e1+λe2与λe1+e2不共线，试求λ的取值范围.(5分) 解：(1)证明：因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4，所以与共线. 又与有公共点B，所以A，B，D三点共线. (2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线， 所以存在实数μ，使2λe1+e2=μ(e1+λe2). 因为e1，e2不共线，所以 解得λ=±. (3)假设e1+λe2与λe1+e2共线，则存在实数m，使e1+λe2=m(λe1+e2). 因为e1，e2不共线，所以 解得λ=±1. 因为e1+λe2与λe1+e2不共线，所以λ≠±1. 13.(15分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线. (1)取BD的中点M，试用和表示；(5分) (2)若G是AD上一点，且=2，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若=λ=μ(λ>0，μ>0)，求λ+μ的最小值.(10分) 解：(1)由题意知，D为BC的中点，所以=+.又M为BD的中点，所以=+=+=+. (2)由=2=λ=μ， 得==，所以===+=+.因为E，F，G三点共线，所以+=1，又λ>0，μ>0，所以λ+μ=(λ+μ)=++≥+2=，当且仅当=，即λ=μ=时取等号，所以λ+μ的最小值为. 14.(15分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T.你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?请用向量的方法证明. 解：AR=RT=TC.证明如下： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以=+，设=λ，因为E是AD的中点，所以=2，故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ. 又因为B，R，E三点共线，所以3λ=1，解得λ=，故=.同理可证=，可知R，T为AC的三等分点，故AR=RT=TC. 学科网（北京）股份有限公司 $