9.2.2向量的数乘（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

9.2.2 向量的数乘 题型一 向量的线性运算 1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面向量的线性运算可得.故选：C. 2．（24-25高一下·湖北仙桃·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．故选：C． 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，故选：D 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考） . 【答案】 【解析】. 5．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）； （2）因为，故. 题型二 用已知向量表示相关向量 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴ .故选：C. 2．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以.故选：A． 3．（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（    ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【解析】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以.故选：A 4．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下： 由图可得：，故A、B不正确； ，故C不正确，D正确.故选：D. 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 .故选：C. 题型一 向量共线的判断与求参 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系，故选：B． 2．（24-25高一下·天津·月考）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C． 3．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析　因为，所以存在实数使 因为，， 所以，可得所以.故选：C. 4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意知，即，解得，故选：B. 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【答案】 【解析】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 题型二 三点共线的判断与求参 1．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，且三点共线， 故，故，故选：C 2．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：.故选：B. 3．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误.故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解， 所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解， 所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 5．（24-25高一下·广西南宁·月考）（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 【答案】BC 【解析】，， 假设存在使得，即，即， 因向量，不共线，则，该方程组无解， 故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确； ，，则，则共线， 又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误.故选：BC. 题型三 线性运算求三角形的面积比值 1．（25-26高一上·江西宜春·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故.故选：B 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 取的中点，连接， 则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为.故选：A 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为.故选：B 4．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为，故选：D 5．（23-24高一下·江苏·月考）已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【解析】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故， 题型一 三点共线定理推论的应用 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，.故选：C. 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则.故选：C. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故.故选：A. 4．（24-25高一下·广东茂名·月考）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】 【解析】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3 【解析】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 题型二 三角形“四心”的向量式 1．（24-25高一下·重庆·期中）是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】若为中点，由题设， 如下图示，易知直线AP是的一条中线， 所以直线AP一定通过的重心.故选：B 2．（24-25高一下·山东淄博·月考）若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图， 则四边形是菱形，且，为的平分线． ， ， 即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心．故选：B． 3．（24-25高一下·海南·月考）在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 故表示起点为，终点在的平分线上的向量， 又，，与共起点，且为同向的向量， 则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心.故选：A. 4．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【解析】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心.故选：C. 5．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.2 向量的数乘 题型一 向量的线性运算 1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北仙桃·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考） . 5．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 题型二 用已知向量表示相关向量 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（    ） A．+ B．+ C．+ D．- 4．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型一 向量共线的判断与求参 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·月考）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 题型二 三点共线的判断与求参 1．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．5 3．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（24-25高一下·广西南宁·月考）（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 题型三 线性运算求三角形的面积比值 1．（25-26高一上·江西宜春·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏·月考）已知所在平面内一点满足，则 ． 题型一 三点共线定理推论的应用 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一下·广东茂名·月考）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 题型二 三角形“四心”的向量式 1．（24-25高一下·重庆·期中）是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 2．（24-25高一下·山东淄博·月考）若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·海南·月考）在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 5．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $