精品解析：河南安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025-2026学年下学期高一年级第一次联考数学试卷

安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025～2026学年下学期 高一年级第一次联考数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡（卷）上.写在本试卷上无效. 3.考试范围：平面向量，解三角形，复数，立体几何前三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 故z的虚部是. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 4. 如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】如图 ，，则，，米， 由正弦定理， 即， 解得. 故选：C 5. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，可得到动点轨迹，然后借助几何意义求出最大值. 【详解】设，则， 即点B的轨迹为以为圆心，4为半径的圆． 故的最大值为． 6. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，故， 故选：C 7. 的内角的对边分别为，面积为．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积公式以及余弦定理可得，即可利用正弦定理边角互化求解. 【详解】由得， 又,故， 所以,故， 由于，则，不可能是钝角， 由于,所以， 故选：A 8. 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算求解截面圆的直径即可. 【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切， 因为正方形的面积为12，所以， 如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为， 平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径， 易知， 易知， 故，所以， 所以截面圆周长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 【答案】BC 【解析】 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D. 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误， 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误. 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是关于x的方程的一个根，则的值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据复数根的性质和韦达定理进行求解即可. 【详解】因为复数是方程的一个根， 根据复数根共轭成对定理，另一个根为. 由韦达定理，. 所以. 故答案为：10. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积 = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 14. 在中，，，，为的外心，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外心的性质及数量积的几何意义计算即可. 【详解】如图所示，取AB中点E，则由三角形的外心的性质及数量积的几何意义，可得： ， 同理可知：， 故，， 而，，，则， 即，，则，，则，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量； （2）设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，. 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【小问1详解】 设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 17. 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的平方关系求出，由三角形面积公式求出圆锥母线长，进而求出底面半径，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解； （2）设圆柱底面半径，则圆柱的高为，结合圆柱侧面积公式和基本不等式计算即可. 【小问1详解】 设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ∴，解得（负值舍去）， 又，所以， ∴圆锥的侧面积． 【小问2详解】 作出轴截面如图所示：由（1）可知， 设圆柱底面半径，即， 则圆锥的高， 所以，即圆柱的高为， 所以圆锥内接圆柱的侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值，结合三角形内角范围确定的大小； （2）由三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合完全平方公式求出，进而得到三角形周长； （3）利用面积分割法建立与的关系式，再用余弦定理结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 且A为三角形内角，所以. 【小问2详解】 ， 由余弦定理，， 所以，，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为， 所以，可得. 由余弦定理可知，即， 整理得，即， 于是，当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. （1）若，试将复数写成三角形式； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】（1） （2）最大值为3，最小值为0 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【小问1详解】 设. 【小问2详解】 因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. 【小问3详解】 设， 则， 但 ， 故，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025～2026学年下学期 高一年级第一次联考数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡（卷）上.写在本试卷上无效. 3.考试范围：平面向量，解三角形，复数，立体几何前三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 4. 如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 6. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 7. 的内角的对边分别为，面积为．若且，则（ ） A. B. C. D. 8. 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是关于x的方程的一个根，则的值为______. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 14. 在中，，，，为的外心，若，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量； （2）设和的夹角为，若，且，求证：. 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 17. 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 19. 已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. （1）若，试将复数写成三角形式； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $