精品解析：河南省新乡市、安阳市部分学校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷

2024—2025学年高一3月联考数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 功 B. 距离 C. 拉力 D. 质量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 详解】，故， 故选：D 3. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标. 【详解】因为，所以对应的点的坐标是， 故选：A. 4. 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：A 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 6. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 7. 若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图， 则四边形是菱形，且． 为的平分线． ， ， 即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 8. 在中内角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不共线的向量可以做基底判断即可. 【详解】A选项：，与共线，A错误； B选项：，与不共线，B正确； C选项：，与不共线，C正确； D选项：，与共线，D错误； 故选：BC. 11. 在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故A符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故B不符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 13. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，然后即可求解. 【详解】在中，则， 且， 由正弦定理得， 所以， 在中，，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16. （1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解； （2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 当时，代入可得， 当时，有， 解得， 综上：或 . （2）由已知，化简可得， 即，所以 ， ∴， . ∴， 设与的夹角为， 则， 即与的夹角的余弦值为． 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果； （2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 所以， 所以，即得， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，由（1）知，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值，此时，即， 所以当时，的面积取到最小值，最小值为. 18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得； （2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得； （3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得. 【小问1详解】 若，，则， 则 故的坐标为. 【小问2详解】 若，，且， 则，， 由已知得，. 所以 ，解得. 【小问3详解】 若，， 则， ， 所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一3月联考数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量为（ ） A. 功 B. 距离 C. 拉力 D. 质量 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若的三边为a，b，c，有，则是的（    ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8. 在中内角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 13. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数取值范围． 16. （1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）求函数解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$