7.4二项分布与超几何分布的综合应用导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦二项分布与超几何分布的综合应用，通过填空式定义梳理伯努利试验、两种分布的概念及特征，搭建从概率基础到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料结合作业时长调研、种子发芽等实际情境案例，引导学生用数学眼光抽象模型，通过对比辨析培养数学思维，习题分层设计提升模型观念与数据意识，助力学生掌握概率模型应用。

二项分布与超几何分布的综合应用 1、 教学目标 1. 二项分布与超几何分布及其均值（重点） 2. 实际问题中抽象出模型的特征，识别二项与超几何（难点） 二、知识生成 1、重伯努利试验的定义 ①我们把 的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验 进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 2、重伯努利试验的特征 ①每次试验是在 条件下进行的，有关事件的概率保持不变； ②各次试验中的事件是 ，结果互不影响； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 3、重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有 种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为 ( ) . 4、二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为 ，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从 ，记作 ． 5、明确二项分布中的各量表示的意义 ：伯努利试验的次数；： 事件发生的次数；：每次试验中事件发生的概率 分布列： ， 结论：随机变量服从参数为,的二项分布；记法：记作,并称为 6、二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则 . 7、二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故最大值在 时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取 的整数部分时，最大且唯一）. 8、超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． 9、对超几何分布的理解 ①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是 .所以两个分布的区别就在于 . ②若随机变量满足：试验是 ；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. ③超几何分布的特点： 抽样；考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列. 10、超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则 (是件产品的次品率). 11、二项分布与超几何分布的区别和联系 （1）区别 由古典概型得出 ，由伯努利试验得出 .这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从 ，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从 .超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道 .超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项和超几何分布都可描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的 相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是 ，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为 . 三、重难点突破 题型一二项分布与超几何分布模型应用 1.某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 2.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 题型二最值问题 3.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则 ；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为 . 4．某种植户对一块地的n（）个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． (1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ (2)当时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望． 5．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 学案八二项分布与超几何分布的综合应用答案 知识生成 1. 只包含两个可能结果 独立地重复 2. 同样 相互独立的 3. 4. 二项分布 5. 成功概率 6. , 7. 8. 9. 二项分布 是否为有放回地抽取 不放回地抽取次 不放回 10. 11. 超几何分布 二项分布 二项分布 超几何分布 “成功率” 均值 有放回抽样 二项分布 重难点突破 1（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，的分布列为： （3）由题意得，， ， ， ， ，∴的分布列为： ∴. 2.（1）由题意可知，，，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元，则万元，公司的年利润为万元.所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 3. 对于①：因为，所以，又，所以，所以; 对于②：将样本的频率视为概率，则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是，可知，若取得最大值， 则，即 所以，即， 解得，又，所以.故答案为：①②. 4.（1）对于一个坑而言，要补播种的概率为．有3个坑需要补播种的概率为， 要使最大，只需， 解得，，． 时，；时，；所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. （2）时，要补播种的坑的个数的所有可能的取值为0，1，2，3，4， ，，， ，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 因为，所以． 5.（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．由题意得， 因为， 所以．设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以．令，设函数， ．当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得，则有， 从而可得．令，设函数， ．当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $