第八章 实数 专题二实数重难点2025—2026学年人教版七年级数学下册

第八章《实数》专题二实数 姓名： 班级： 题型1 实数的相关概念 1．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 2．在，、，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在实数中无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 实数的分类 4．把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 5．将下列各数的序号填入相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 属于正整数的数有：{________，…}； 属于负分数的数有：{________，…}； 属于无理数的数有：{________，…}； 6．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个“0”之间依次多一个“2”）． 负数：{                            }； 整数：{                            }； 无理数：{                            }． 题型3 实数的有关运算 7．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 9. 计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 10. 计算： （1） (2) (3)． (4) (5) (6) 11. 计算： （1）； （2）． 题型4 实数简单解答题 12．若，且的平方根是它本身，是的整数部分． (1)分别求出的值； (2)求的平方根． 13．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 14．已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是 的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 15． 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 16．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值；(2)求的平方根． 17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值；(2)求的算术平方根． 题型5 实数与数轴 18．如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上截取线段，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 20．数轴上1，的点分别为A和B，若A为的中点，则点C表示的数是（   ） A． B． C． D． 21．如图数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与最接近的一点是（    ） A．A B．B C．C D．D 22．如图，有一个直径为个单位长度的圆片，把圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动周，点到达点位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 23．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 25．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 26．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 27．如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 28．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是___________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 题型6 实数的估算与比较 29．介于哪两个相邻的整数之间______． 30．，分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 31．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 32．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 33．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 34．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型7 实数与程序框图 35．如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 36．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 37．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 38．如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 39．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 40．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 41．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 42．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 题型8 实数的实际应用 43．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 44．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 45．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根．②求的值． 46．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 47．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 48．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 题型9 实数的新定义问题 49．定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 50．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 51．定义运算：，则_____． 52．已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 53．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 54．阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 55．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $第八章《实数》专题二实数 姓名： 班级： 题型1实数的相关概念 1.下列说法错误的是() A.无限小数都是无理数 B.无理数也能用数轴上的点表示 C.无理数与无理数的和可能是有理数 D.无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法， 【详解】解：，：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴.“无限小数都是无理数"的说法错误，A符合题意： ,:所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴·无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意： :例如√和-√都是无理数，√2+(-√②)=0,0是有理数， .无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意： ·无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴.“无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意。 2.在314， 2号、5，府，；-05032,081818118118（相邻两个8之间依次多-个1）中，有理数 的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】c 【分析】先化简开立方运算，再根据定义判断各数，计数即可得到结果， 【详解】64=4,4是整数，属于有理数， 整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数， 逐个判断得： 有理数有314，号，6，， 7 -0.5032,共5个， 无理数有-√3,0.818118111811118..（相邻两个8之间依次多一个1），共2个， 有理数的个数为5. 3.在实数3141,3+V5,85,1212112112中无理数的个数是（) 43 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】c 【详解】解：一8=-2是整数，属于有理数； 3.141,1.2121121112是有限小数，属于有理数； 5是开方开不尽的数，为无理数，因此3+V5,5都是无理数； π是无理数， 因此臂也是无理数， 综上，无理数共有3个 题型2实数的分类 4.把下列实数填入相应的集合内： 0,016,号01s,5,5,子6，.123456,3212122（相整两个2之间1的个数 1 逐次加1)· (1)整数集合：{一’…小： (2)分数集合：{ ，}: (3)有理数集合：{，…}： (4)无理数集合：{ 【答案】(1)0，√16，-27 a016.3号01,123456 a-分0.016,3分5,6.7.1234s6 @6,,32122I2,(相邻两个2之间1的个数逐次加D 【详解】（1)解：√16=4，-27=-3， 整数集合：{0,16，-27，…： （2)解：分数集合：{号016,3分015,123456，小 (3)解：有理数集合：分0,016,3分015,6,27,123456，为 )解：无理数集合：6，，，3.212122（相邻两个2之间1的个数逐欢加1)，一 5.将下列各数的序号填入相应的横线上. @5,@名@4.④-，⑧-31，⑥ 属于正整数的数有：一： 属于负分数的数有：一； 属于无理数的数有：· 【答案】③⑥：②⑤；①④ 【分析】本题考查的是实数的分类，求解算术平方根，立方根，先化简√4,27，再进一步求解即可. 【详解】解：：√4=2,27=3， 属于正整数的数有（填序号）：③⑥： 属于负分数的数有（填序号）：②⑤： 属于无理数的数有（填序号）：①④· 6.把下列各数的序号填在相应的大括号内： @0,②号，@5.④V店，⑤-314，⑥3，@，®102020220-（每两个0之间依次多-个2）. 负数：{ ； 整数：{ : 无理数：{ 【答案】②，⑤：①，④，⑥：③，⑦，⑧ 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分 类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 【详解】解：√25=5，-3=3， 负数：{②，⑤： 整数：{①，④，⑥： 无理数：{③，⑦，⑧} 题型3实数的有关运算 7.下列运算中，正确的是() A.3√2+2W3=5W5 B.-64=-4 C.√16=±4 D.V(-6=-6 【答案】B 【分析】根据立方根、算术平方根的基本运算法则逐一判断选项即可得到正确结果. 【详解】解：A:3√2与2W3不能合并，因此A错误； B:(4)=-64,64=-4,因此B正确： C:√16=4≠4，因此C错误： D::V-6)=V36=6≠-6，D错误. 8.请完成下列表格： 原数 3 元—2 25 3.14 -17 3 π-3 √13-4 绝对值 相反数 【答案】见解析 【分析】本题考查了求绝对值，求相反数. 根据绝对值、相反数的定义填表即可. 【详解】解：表格如下： 原数 √13 2 25 3.14 √17 3 π-3 13-4 绝对值 2 25 3.14 Mi 源 π-3 4-√13 相反数 13 2 25 -3.14 17 源 3-π 4-V13 9.计算： (1)x2-49=0: (2)8(x+1)3=27 3)16+-27-5-2 4(-2+4x2+(-2y 5)9-V-62--27 小5-2+8x3+(5可 【答案】(1)x=士7 国号 3)3-1 (4)-6 (5)0 (6)4-√5 【详解】(1)解：x2-49=0 x2=49 (±7)2=49 x=士7； (2)解：8(x+1)3=27 a+Wg 器 +1=3 1 x=2 (3)解：原式=4-3+√5-2=5-1； 〔4)解：原式=1+2×}86： (5)解：原式=3-6-(3)=0： (6)解：原式=2-5+(2)×+3=4-V5. 10,.计算：(1)5+-125+W3-:2(-2)2+2--5+-64.(3)27-64+5-2-5). 【答案】(1)-5 (2)-√2 【分析】(1)先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； (2)先计算立方根和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可. 【详解】(1)解：√5+125+5-2 =3+(-5)+2-5 =3-5+2-5 =-√3： (2)解：(-2)'+小V2--3+64 =4+5-2-5+(4) =4+√3-√2-5-4 =-5. (3)解：27-64+5-21-3) =3-8+2-√5-1+√5 =-4. 4(+s-5店5)-+s1-+woi+p-5-} 【详解】④)解：原式-3+(5列+1-5+5×号 =-1-√5+1 =-3: (5)解：原式=-1+5+1-√2+(3) =2-√2. (6)解：原式=4+(W5-2)-(5-1)+(-3)=4+V5-2-5+1-3=√5-5. 11.计算： a-i-日-+ 63 6 (2)6-+V2--6-3 【容案】-号 (2)26-4 【分析】(1)先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可： (2)先去掉绝对值，再计算加减法即可. 【件解1a)屏：5-5得6西+ 1 =-3-0-1+0.5+ 2 V64 -3-0-1 11 =-4 (2)解：6-回+2--6- =√6-2+2-1-3-5) =√6-V2+√5-1-3+√6 =2√6-4. 题型4实数简单解答题 12.若8-a+2a-5=0,且b+5的平方根是它本身，c是√5的整数部分. (1)分别求出ab、c的值： (2)求a-b+4c的平方根. 【答案】(1)a=-3,b=-5,c=2 (2)±10 【分析】(1)根据8-a+2a-5=0,得出8-a=-(2a-5),求出a=-3,根据b+5的平方根是它本身，得出b+5=0, 得出答案；根据2<√5<3，得出√5的整数部分，即可得出答案： (2)先求出a-b+4c=-3+5+2×4=√10，再根据平方根定义得出答案即可. 【详解】(1)解：：'8-a+2a-5=0, ∴.8-a=-2a-5 .8-a=-(2a-5), 解得：a=-3, ,b+5的平方根是它本身，只有0的平方根是它本身， .b+5=0, 解得：b=-5, .4<5<9, .√4<5<5， ∴.2<√5<3， .√5的整数部分为2， c是√5的整数部分， c=2: (2)解：把a=-3,b=-5,c=2代入得： a-b+4c=-3+5+2×4=10, a-b+4c的平方根是±V10. 13.已知2a-1的平方根是3,25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根. (1)填空：a=一，b=一，m=一： (2)求2a+3b的平方根. (3)若m的整数部分是x,小数部分是y,求y-x的值. 【答案】(1)5,2，√万： (2)2a+3b的平方根为±4： 3)y-x的值是√-4. 【详解】(1)解：，2a-1的平方根是3， .2a-1=(±3)2=9， 解得a=5; :25+b的立方根是3， 25+b=3, .25+b=33, 解得b=2; :m是a+b的算术平方根， √a+b=, m=√2+5=√7. (2)解：2a+3b=2×5+3×2=16, ∴.2a+3b的平方根为±4. (3)解：由(1)得m=√7， .4<7<9, .2<V7<3, .m整数部分x=2,小数部分y=√万-2， y-x=√7-2-2=√万-4. 14.已知正数x的两个不等的平方根分别是2a-14和a+2,b+1的立方根为-3，c是√17的整数部分. (1)求，b,c的值： (2)求a-b+c的平方根. 【答案】(1)a=4,b=-28,c=4 (2)±6 【分析】(1)根据平方根、立方根的概念求得α与b的值，估算出√7的整数部分可求得c的值： (2)把、b、c的值代入a-b+c,求得其值，再求平方根即可. 【详解】(1)解：，正数x的两个不等的平方根分别是2a-14和a+2, .2a-14+a+2=0,解得：a=4: ,b+1的立方根为-3， b+1=(-3)3,即b=-28: ,c是√17的整数部分，且4<V17<5, .c=4; (2)解：a-b+c=4-（-28)+4=36, .±36=6. 15.已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2,b+4的立方根是-2，c是√5的整数部分，求a+b+c的值. 【答案】-7 【详解】解：：某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2, .3a-14+a+2=0, .a=3, b+4的立方根为-2， ∴.b+4=(-2)=-8, .b=-12, :c是√5的整数部分，√4<√5<√9， .c=2, 故a+b+c=3+(-12)+2=-7. 16.已知3a+2的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4，c是√14的整数部分. (1)求4，b,c的值： (2)求6a-b+c的平方根. 【答案】(1)a=2,b=11,c=3 (2)±2 【分析】(1)利用立方根，算术平方根，求无理数的整数部分的法则求出各数的值即可； (2)代数求值后利用平方根的定义进行求解即可. 【详解】(1)解：，3a+2的立方根是2， .23=8=3a+2, 解得a=2, .3a+b-1的算术平方根是4， ∴.42=16=3a+b-1=5+b, 解得b=11, :c是4的整数部分，√5<√14<√16， ∴.3<V14<4 .c=3; (2)解：6a-b+c =6×2-11+3 =12-11+3 =4 ±√4=±2 17.已知2a-1的平方根是3,3a+b-9的立方根是2，c是√6的整数部分. (1)求a、b、c的值： (2)求a+2b-c+2的算术平方根. 【答案】(1)a=5,b=2,c=2; (2)a+2b-c+2的算术平方根为3. 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键 (1)根据平方根，立方根的定义，估算求出的a,b,c的值即可： (2)把a,b,c的值代入a+2b-c+2,然后通过算术平方根定义即可得出结果. 【详解】（1)解：.'2a-1的平方根是±3， ∴.2a-1=9, .a=5, ,3a+b-9的立方根是2， .3a+b-9=8, .3×5+b-9=8, .b=2, 4<6<9, .2<√6<3， ,c是√6的整数部分， .c=2, 综上可得：a=5,b=2,c=2: (2)解：由(1)得：a=5,b=2,c=2, .a+2b-c+2=5+2×2-2+2=9, .Va+2b-c+2=√9=3， 即a+2b-c+2的算术平方根为3. 题型5实数与数轴 第八章《实数》专题二实数 姓名： 班级： 题型1 实数的相关概念 1．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 2．在，、，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先化简开立方运算，再根据定义判断各数，计数即可得到结果． 【详解】∵ ，是整数，属于有理数， 整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数， 逐个判断得： 有理数有 ，，，，，共个， 无理数有 ，（相邻两个之间依次多一个），共个， ∴ 有理数的个数为． 3．在实数中无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是整数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无理数，因此，都是无理数； 是无理数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 题型2 实数的分类 4．把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 【答案】(1)0，， (2)，，，， (3)，0，，，，，， (4)，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，…}； （2）解：分数集合：{，，，，，…}； （3）解：有理数集合：{，0，，，，，，，…}； （4）解：无理数集合：{，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），…}． 5．将下列各数的序号填入相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥ 属于正整数的数有： ； 属于负分数的数有： ； 属于无理数的数有： ． 【答案】③⑥；②⑤；①④ 【分析】本题考查的是实数的分类，求解算术平方根，立方根，先化简，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，， 属于正整数的数有（填序号）：　 ③⑥ ； 属于负分数的数有（填序号）：　 ②⑤ ； 属于无理数的数有（填序号）：　　①④ ． 6．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个“0”之间依次多一个“2”）． 负数：{                            }； 整数：{                            }； 无理数：{                            }． 【答案】②, ⑤；①, ④, ⑥；③, ⑦, ⑧ 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 负数：{②, ⑤}； 整数：{①, ④, ⑥}； 无理数：{③, ⑦, ⑧} 题型3实数的有关运算 7．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根、算术平方根的基本运算法则逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：与不能合并，因此A错误； B：，，因此B正确； C：，因此C错误； D：，D错误． 8．请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 【答案】见解析 【分析】本题考查了求绝对值，求相反数． 根据绝对值、相反数的定义填表即可． 【详解】解：表格如下： 原数 绝对值 相反数 9. 计算： (1)； (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ∵ ∴； （2）解： ∵， ∴， ∴； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 10.计算：（1）；(2)．（3）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算立方根和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）（5）（6） 【详解】（4）解：原式 ； （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 11. 计算： （1）； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去掉绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4 实数简单解答题 12．若，且的平方根是它本身，是的整数部分． (1)分别求出的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据，得出，求出，根据的平方根是它本身，得出，得出答案；根据，得出的整数部分，即可得出答案； （2）先求出，再根据平方根定义得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 解得：， ∵的平方根是它本身，只有0的平方根是它本身， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：把代入得： ， 的平方根是． 13．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为； (3)的值是． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 的立方根是， ， ， 解得； 是的算术平方根， ， ． （2）解：， 的平方根为． （3）解：由（1）得， ， ， 整数部分，小数部分， ． 14．已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是 的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的概念求得a与b的值，估算出的整数部分可求得c的值； （2）把a、b、c的值代入，求得其值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个不等的平方根分别是和， ∴，解得：； ∵的立方根为， ∴，即； ∵c是的整数部分，且， ∴； （2）解：， ∴． 15．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，求的值． 【答案】 【详解】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， 是的整数部分，， ， 故． 16．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用立方根，算术平方根，求无理数的整数部分的法则求出各数的值即可； （2）代数求值后利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵c是的整数部分，， ∴ ∴； （2）解： 17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，； (2)的算术平方根为． 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值即可； （）把，，的值代入，然后通过算术平方根定义即可得出结果． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 综上可得：，，； （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 题型5 实数与数轴 18．如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆的直径是， ∴圆的周长为， ∵点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置， ∴点在数轴上表示的数为， ∴线段的中点表示的数是． 19．如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上截取线段，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算线段的长度，因为，所以点C对应的实数等于点B对应的实数加上的长度． 【详解】解：因为对应，对应， 所以 ． 所以点对应实数为． 20．数轴上1，的点分别为A和B，若A为的中点，则点C表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴中点的性质，设出点C对应的数，根据数轴上中点对应的数等于两端点对应数的平均数列方程求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为， ∵A为的中点，A对应的数为，B对应的数为， ∴， 解得， 即点C表示的数为． 21．如图数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与最接近的一点是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出 的取值范围，再根据不等式的性质求出的取值范围，最后结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 即， 由图可知，点A在与之间，点B在与之间，点C在与0之间，点D在0与1之间， 则点C表示的数与最接近， 故选：C． 22．如图，有一个直径为个单位长度的圆片，把圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动周，点到达点位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的周长公式求出圆片滚动一周的距离，再根据数轴上点的移动规律（右加左减）确定点表示的数． 【详解】解：圆片的直径为1个单位长度， 圆片的周长． 圆片沿数轴向右滚动1周，点从原点出发， 点表示的数是． 23．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 24．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 【答案】/ 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 25．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 26．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简，计算即可. 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴原式. 27．如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)，，图见解析 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先通过割补法计算出阴影正方形的面积为，从而得到其边长为；再构造长度为的线段，在数轴上画出表示的点． 【详解】（1）解：∵正方形面积等于边长的平方，已知大正方形面积为， ∴边长为​， 由题意，大正方形边长就是小正方形对角线长，因此小正方形对角线长为； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， ∴点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为，面积； 四周有个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为和，面积和， 因此阴影正方形面积， 正方形面积等于边长平方，因此边长， 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，如解图所示： 28．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是___________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可直接求出m的值即可； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，得到，进而可求出其平方根． 【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，则点A所表示的数为． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的平方根．解题关键是理解数轴上两点间的距离，实数的混合运算法则，最后求的平方根有两个． 题型6 实数的估算与比较 29．介于哪两个相邻的整数之间______． 【答案】和 【分析】先找到两个相邻整数，使得它们的立方分别位于的两侧，再根据立方根的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， ∴． 30．，分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可. 【详解】解∵，， ∴， ∴的整数部分， 小数部分， ∴. 31．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根、立方根的性质，再结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：A：∵，∴，A正确； B：∵，∴， 不等式两边同除以2得，， 所以B选项的不等式错误； C：∵，∴， 不等式两边同除以2得，C正确； D：∵，∴，D正确． 32．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 33．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到结果． 【详解】解：， ，即， 不等式三边同时加2，得， 即， 的值在4到5之间． 34．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，通过估计的值在3和4之间，利用不等式性质计算的范围，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 题型7 实数与程序框图 35．如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换器进行代值求解即可． 【详解】 解：由题意可知，， 则的算术平方根为， ∴的值是：． 36．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 37．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 38．如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 【答案】 【分析】先求的算术平方根，判断结果为有理数，再重新求算术平方根，重复计算，到结果为无理数输出即可． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是无理数，输出， ∴输出的值是． 39．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 【答案】 【分析】先求算术平方根，再求除以2得到的商，再减去3，然后与比较，直至结果小于0即可． 【详解】解：若输入x的值为64，则， 此时输入的x的值为1，则， ∴输出的结果为． 40．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 41．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 42．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 题型8 实数的实际应用 43．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）解：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 45．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 46．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 47．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 48．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 题型9 实数的新定义问题 49．定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先估算出的范围，得到和的范围，再结合题目给出的和小数部分的定义，分别求出，最后计算三者的和即可． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又 ，即 ． 50．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 【答案】D 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 51．定义运算：，则_____． 【答案】 【详解】解：根据定义，得． 52．已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 53．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 100 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，，这三个数是“和谐组合”； （2）解：，， 最大算术平方根是，最小算术平方根是， ， 解得，经检验符合题意． 则的值为100． 54．阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 55．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先判断，再根据新定义可得 ，再解方程可得答案； （2）由，且，可得，，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义运算： ∵，， ∴ ， 解得； （2）解：∵，且， ∴，， ∴根据新定义运算：． 学科网（北京）股份有限公司 $第八章《实数》专题二实数 姓名： 班级： 题型1实数的相关概念 1.下列说法错误的是() A.无限小数都是无理数 B.无理数也能用数轴上的点表示 C.无理数与无理数的和可能是有理数D.无理数都是无限小数 2.在314， 号、一5，何，子-05032,0818181181118（相邻两个8之间依次多一个1)中，有理数 2 5 的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.在实数3.141,3+5，/8,5，，2121121112中无理数的个数是（) 43 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2实数的分类 4.把下列实数填入相应的集合内： 分0.016,3分01,5，写，牙6,7,123456,321212112（相邻两个2之间1的个数 逐次加1)· (1)整数集合：{ (2)分数集合：{ ，}: (3)有理数集合：{一-，…小： (4)无理数集合：{ } 5.将下列各数的序号填入相应的横线上. @5,@品@4，@，⑤-1，@ 属于正整数的数有： …}: 属于负分数的数有： 属于无理数的数有：L一，…}： 6.把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0.@号，③5，@厉，⑤-314，⑥1，⑦x,®102020220（每两个0之间依次多-个2”）. 负数：{ }: 整数：{ : 无理数：{ 题型3实数的有关运算 7.下列运算中，正确的是() z+(-g分g->-+o,Lz+z-Is+-6 s+5-sI+.g (g-d-+9-e)9+--+亿-) |-g趴+x+(T) 蒠10T （-+×8+k-9, Lz企-9-)-6个(s) e)是Xw |--z+9(e) L7=(1+x8(z) :0=6t-x() 点16 豫凶衅 必彤 t-EI E-4 E水 4 vI'8 s EI 谁肖 :斟￥4=单8 9=9-)小a 年=9珍门 -=9-企8 s=忆+：v 11.计算： a7-6-店0+g (2)6-2+W巨--W6-. 题型4实数简单解答题 12.若8-a+2a-5=0,且b+5的平方根是它本身，c是√5的整数部分. (1)分别求出b、c的值： (2)求a-b+4c的平方根. 13.已知2a-1的平方根是3,25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根. (1)填空：a=一，b=一，m=一； (2)求2a+3b的平方根. (3)若m的整数部分是x,小数部分是y,求y-x的值. 14.已知正数x的两个不等的平方根分别是2a-14和a+2,b+1的立方根为-3，c是√17的整数部分. (1)求a,b,c的值： (2)求a-b+c的平方根. 15.已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和a+2,b+4的立方根是-2，c是√5的整数部分，求a+b+c的值. 16.已知3a+2的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4，c是√14的整数部分. (1)求a,b,c的值；(2)求6a-b+c的平方根. 17.已知2a-1的平方根是3,3a+b-9的立方根是2，c是√6的整数部分. (1)求a、b、c的值：(2)求a+2b-c+2的算术平方根， 题型5实数与数轴 18.如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了 点B的位置，则线段AB的中点表示的数是() ● B A -2-10 A.-2π B.-1- 2 C.-1-元 D.-π 1 19.如图，若数轴上点A,B对应的实数分别为-√3和√3，用圆规在数轴上截取线段AB=BC,则点C对应的实数 是() A.2W5 B.35 C.-3V5 D.45 20.数轴上1，√5的点分别为A和B,若A为BC的中点，则点C表示的数是() A.1-V3 B.V3-1 C.2-5 D.5-2 21.如图数轴上有A,B,C,D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与3-√1最接近的一点是() 12.01 0 A.A B.B C.C D.D 22.如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达 点A位置，则点A'表示的数是() π A.- B.π C. 3 D.2 π 23.如图，数轴上表示2，√7的对应点为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为() A.√万-2 B.4-√7 C.2-√万 D.√7-4 4B> 24.如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交 点A右侧数轴于点E,则点E所表示的数为 -5-4-3-2-1012345 25.如图所示，直径为1个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由O到达0，则点 O对应的数为 26.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简√(a-b-a+b+万= a 06→ 27.如图1，教材有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一 起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： ☑☑☒ 321A012B3 5432寸012345 图1 图2 图3 图4 (1)所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为 ； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为 圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于A、B两点，那么A点表示的数为； (3)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的面积是一一，边长x=一；如图4，请 借鉴(2)中的方法在数轴上找到点P,使点P所表示的数为x-1.(保留作图痕迹并标出必要线段长) 28.如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数√，设点A所表示的数为m. -2-10123→ (1)实数m的值是」 (2)求(m+2)2++1的值. (3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与√d-4互为相反数，求2c+3d+8的平方根. 题型6实数的估算与比较 29.95介于哪两个相邻的整数之间一 30.m,n分别表示√7的整数部分和小数部分，则+n的值为 31.比较下列各组数的大小，错误的是() A.√8<V10 B.51<05 c.5+115 D.50>3 2 2 32.实数a,b是连续整数，如果a<-√21<b,那么a+b的值是() A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 33.估计2+√7的值在() A.3到4之间 B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 34.估计6-√13的值在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 题型7实数与程序框图 35.如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是() 输入xH 取算术平方根是无理数输出 是有理数 A.5 B.-5 C.5 D.-5 36.如图是一种程序运算图，若输入x的值为32，则输出的值为() 输入x ×(-2) 求立方根 是 天于或等于0 求算术平方根 输出 否 输入x A.5 B.2 C.5 D.4 取算术平方根 37.如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为() 否 A.4 B.3 C.2 D.1 结果是 38.如图是一个数值转换器，当输入x的值为81时， 则输出y的值是 否小于4 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 输出y 是有理数 39. 根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为一 否则 输入非负数x 取算术平方根→除以2减去3 →<若结果小于0 输出结果 40.有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出y的值是 输入→求算术平方根→是否为无理数 输出y 否 求立方根 否是香为无理数是 41.按如图所示的程序计算，若输入的a=32, 则输出的结果为 输入a(-2)→求立方根 天于或等是，求算术平方根 输出 否 42.根据图中的程序，当输入的x为64时，输出的y值是 否 y=vx 否 是 输入x x≥10> y是无理数 输出y 是 y=派 题型8实数的实际应用 43.如图，长方形内有两个相邻的正方形.若两个正方形的面积分别为S,=1和S,=2,则图中阴影部分的面积为() S S A.1 B.√2-1 c.√2+1 D.V2+2 44.如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为8c2,用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形. 图1 图2 图3 (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为_Cm; (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为3：1且面积 为12cm2?请通过计算说明理由. 45.如图1，将两个1×2的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个1×1的正方形可以拼成一 个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为5，因此，1×2的长方形的对角线的长是√5. 图1 图2 (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为 (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B,点A表示的数为-√5，设点B表示的数为. ①求n+√5的立方根.②求n-3+n+2的值. 46.如图，长方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为6和9. D 6 (1)大正方形与小正方形的边长分别为_： (2)求阴影部分的面积： (3)求长方形ABCD的周长. 47.如图所示，已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为√2和3. E D B 2→—3 G (1)三角形BGF的面积为：-；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积.（结果保留根号） 48.对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 因号1子任号1取察上述式子的证，部斧下到同器 (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： V00-02= V(7-9y- (2)当a>b时，V(a-b)2=」 当a<b时，V(a-b)2= 合可+居4 1)2 题型9实数的新定义问题 49.定义：[x]是不大于数x的最大整数，如：[2.8]=2，[-21]=-3，[2]=2.规定x-[x]是x的小数部分.设x=1+√2， a是x的小数部分，b是-x的小数部分；c=[-x].则a+b+c=() A.-2 B.√2-2 C.0 D.1 50.定义关于任意正整数mn的一种新运算：f(+n)=f(m)f(n).若规定f(2)=9,则f(4)=() A.3 B.6 C.18 D.81 51.定义运算：a⑧b=√a+b,则(-1)85=一 52.已知8为实数，规定运算：41G,=12,g11 2,%1-1 ’,4=1-1 ,按上述方法计算：当 41=3时，ao2s的值等于() A司 c.1 D.3 2 53.定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组 合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1,4,9这三个数， :√1×4=2，√1×9=3，√4x9=6,其结果2,3,6都是整数，1,4,9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算 术平方根是2，最大算术平方根是6， (1)求证：3,12,27这三个数是“和谐组合”： (2)已知4,25，α这三个数是“和谐组合”，且a>25,若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值.