精品解析：吉林四平市第一高级中学2025-2026学年下学期阶段性验收考试高一数学试题

四平市第一高级中学2025—2026学年度下学期阶段性验收考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 【详解】解：由， 得， ． 故选：B． 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，得. 故选：C 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可得到答案. 【详解】由正弦定理，得. 故选：A. 4. 中，，则一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状 【详解】因为中，，则， 即，，角为钝角， 所以三角形为钝角三角形 故选 【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单 5. 在中，，，，的角平分线交于D，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再根据即可求出答案. 【详解】 由余弦定理可得，， 即， 因为，解得， 由可得， ， 解得． 6. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距的C，D两点，测得，A，B两点的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得AC的值，在中由余弦定理可求得AB的值. 【详解】如图所示， 在△BCD中，， ∴， ∴BD＝CD＝40，. 在△ACD中，， ∴． 由正弦定理，得， 在△ABC中，由余弦定理，得， ∴， 故A，B两点之间的距离为． 故选：C. 7. 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解. 【详解】因为单位向量，，所以由平方得： ， 又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立， 则满足， 此时只能满足，即， 因为，所以， 故选：B. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，为非零向量，且，则 D. 若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，可判断A；根据向量数量积运算律可得或判断B；根据向量数量积运算律可得判断C；根据结合题意分类求解判断D. 【详解】对于A，若，满足且，但与也不一定平行，故A错误； 对于B，可化为， 因为，所以或，所以不一定有，故B错误； 对于C，两边平方得，化简可得， 即，所以，故C正确； 对于D，若向量，，两两的夹角相等，则向量，，两两的夹角可以为或， 而， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 综上或，故D错误. 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 任何两个复数不能比较大小； B. 若，则或 C. 若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的定义判断A；根据复数模的定义判断B；根据复数的运算判断C；根据复数模的几何意义判断D． 【详解】A选项：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错； B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况， 例如，，，此时，故B错； C选项：若Z的坐标为，则， 又z是关于x的实系数方程的一个根， 所以， 所以，解得，，故C正确； D选项：设，则，即， 所以Z的集合所构成的图形为环形，如下所示： 所以面积为，故D正确． 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段上，且，，，，则的面积为 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，可判定A正确；化简条件得到，求得或，可判定B不正确；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C正确；根据题意得到点在以为弦的一个圆上， 结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，，，由正弦定理可得， 因为，所以有两解，即有两解，所以A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由在线段上，且，，，， 则 设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得 ，所以， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 复数的共轭复数的虚部是_____________ 【答案】1 【解析】 【详解】设，则， 所以，其虚部为1， 即复数的共轭复数的虚部是1. 13. 已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为． 14. 已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案. 【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则,设点， 则, 故 ， 故当，即P点坐标为时， 取到最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解． 【小问1详解】 向量，可得，且， 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以． 【小问2详解】 由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为． 17. 如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【小问1详解】 由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. 【小问2详解】 如图所示： 过作于，在中， ，， ∴，，在中，. ∴ ∴ ∴ 18. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理可求边. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求三角形面积和周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理，可得： ， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由. 由余弦定理：， 所以. 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理：. 因为，当且仅当时取“”， 所以. 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 又，且，当且仅当时取“”， 所以. 所以， 所以周长的取值范围为：. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）4 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出，结合数量积公式得出的值，进而求出的值，根据定义代入数值计算即可得出答案； （2）根据已知得出的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出的值，进而求出，然后代入公式求解即可得出答案； （3）由已知可得，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出.换元令，根据基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 又，， 则. 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由已知可得，，， 所以有，，， 则. 又， 所以， 所以，. 【小问3详解】 由已知可得， 所以，，则，. 又， 所以，. 因为，所以. 令，则， 当且仅当，，即时等号成立， 所以，的最小值为， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意可知与向量的数量积相似，可结合课本已学的知识点，结合新定义公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市第一高级中学2025—2026学年度下学期阶段性验收考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 0 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 中，，则一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 5. 在中，，，，的角平分线交于D，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距的C，D两点，测得，A，B两点的距离为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，为非零向量，且，则 D. 若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 任何两个复数不能比较大小； B. 若，则或 C. 若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段上，且，，，，则的面积为 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为． 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 复数的共轭复数的虚部是_____________ 13. 已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 14. 已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 18. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $