精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年高一下学期第一学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第一学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 2. 已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A,共线，不可作为基底， 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底， 对于C，不共线，可以作为基底， 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底， 故选：C． 3. 已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 4. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量垂直的性质,求出参数,使用向量夹角余弦值的坐标公式,求出向量夹角余弦值. 【详解】已知,则，可得,解得. 所以,则. 故选：D. 5. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 6. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于，利用正弦定理及直角三角形边角关系列式求解. 【详解】延长交于，依题意，， 在中，，由正弦定理得，则， 在中，，， 所以. 故选：D 7. 已知的外心为，角的对边为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】取BC中点D，连接OD，AD，根据外心的性质，可得，所以，根据向量的线性运算法则，可得，同理可得，代入题干条件，化简整理，即可得答案. 【详解】取BC中点D，连接OD，AD，如图所示： 因为O为的外心，所以OD为BC的垂直平分线， 所以，即， 所以， 又， 同理， 根据题意得：， 所以，所以. 故选：D 【点睛】解题的关键是熟练掌握三角形的四心，即内心为角分线的交点；外心为垂直平分线的交点；重心为中线的交点；垂心为垂线的交点. 8. 在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）． A. 12 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证明点是△的垂心，又点是△的外心，可知△是正三角形，则，进而建立直角坐标系，可求得，进而可求出最大值. 【详解】，即，所以， 同理可得，，所以点是△的垂心. 又，所以点是△的外心， 故△是正三角形，且， 建立如图所示的直角坐标系，， 所以，则，，， 设，由，可设，， 因为，所以为的中点，所以， 则，， 所以， 所以当时，取得最大值12， 即的最大值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边以及正弦定理边化角判断A；将条件转化为角的直接关系判断B；利用余弦定理来计算判断C；利用正弦定理来计算判断D. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A正确； 对于B，若，则或，即或， △ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由余弦定理得，则为钝角，为钝角三角形，C正确； 对于D，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此△ABC有两解，D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，，，都有 B. 已知向量与单位向量同向，且，，则 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量数量积的性质即可判断；对于B，先写出的坐标，再利用同向单位向量的公式计算；对于C，利用投影向量公式判断；对于D，利用向量加法和数乘向量的意义即可计算判断. 【详解】对于A，对任意向量，，，和均为实数， 设，，则，， 而和关系不明确，故不一定成立，A错误； 对于B，，单位向量与向量同向， 则，B正确； 对于C，依题意有， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，如图，分别取，，则， 即得平行四边形，故，又因为，， 所以，，故， 即的面积是的面积的2倍，D正确. 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 是的图象的一个对称中心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据图象，即可判断；对于B，，，，根据题设可得，，，即可求解；对于C，结合图象，利用面积公式，即可求解；对于D，求出的解析式，再进行检验，即可求解. 【详解】对于选项A，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，故A正确； 不妨设，，，且， 易知. 则，， 所以， . 又，所以有， 整理可得. 因为，所以，. 根据正弦函数的性质可知， 所以，有，，， ∴，， 对于选项B，因为，所以，又，所以，故B错误； 对于选项C，由图可知的面积为，故C正确， 对于选项D，因为， 又函数图象过点，所以有， 所以有，解得，，即，. 又，所以，则， 所以， 所以不是的图象的一个对称中心.故D错误， 故选：AC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 13. 已知三点A，B，C满足，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形，两边同时平方，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得，所以， 则， 又，，， 所以， 解得. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，为锐角三角形，且外接圆圆心为O，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化得，再结合正弦定理得，设的中点为，进而根据向量运算得，再结合正弦定理求得，最后，根据求解得. 【详解】因为，， 所以，即， 因为，所以， 由正弦定理得，解得， 设的中点为，则，，， 所以， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得, 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，. （1）求向量，的夹角； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 利用平面向量数量积的分配律求出,然后代入夹角公式求解即可; 结合中的值,利用平面向量数量积的性质：进行运算，求出的值,然后再开方即可. 【详解】∵,∴， ∵，,∴, 解得,由平面向量数量积的夹角公式得, ∴, ∵∴. （2）因为， 所以 ∴. 【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型. 16. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. （1）用与表示； （2）求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. （2）利用向量的线性运算、数量积的运算即可求出范围. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，为的中点， 所以. 【小问2详解】 由，得，由，得， 因此，而， 所以. 17. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【答案】（1）是定值； （2）8742元． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． 【小问2详解】 由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 18. 在中，角的对边分别为，若，为边上一点. （1）求角的大小； （2）若且，求的周长； （3）若平分角，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换化简得，再根据三角函数的特殊值求得角； （2）在两个三角形中根据余弦定理结合补角的余弦值之和为0，得到等式，求出的表达式，再次利用余弦定理构建方程，求出的长，由此可得的周长； （3）利用三角形面积公式，结合题意中的面积相等构建等式，整理变形后可证得结论. 【小问1详解】 根据正弦定理，由可得， ， 则， 整理得， ，则，得，即， ，则，即. 【小问2详解】 如图，由（1）可知，，设，则， 设，则， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 所以， 整理可得，即. 则在中，根据余弦定理，， 整理得，即，解得或（舍去）， 所以，， 所以，的周长为. 【小问3详解】 由（1）可知，，因为平分，所以， 因为， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得. 故得证. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第一学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 0或3 2. 已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（ ） A. , B. , C. , D. , 3. 已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外心为，角的对边为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）． A. 12 B. 6 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则有两解 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，，，都有 B. 已知向量与单位向量同向，且，，则 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 是的图象的一个对称中心 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 13. 已知三点A，B，C满足，，，则的值为______. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，为锐角三角形，且外接圆圆心为O，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，. （1）求向量，的夹角； （2）求. 16. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. （1）用与表示； （2）求的取值范围； 17. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 18. 在中，角的对边分别为，若，为边上一点. （1）求角的大小； （2）若且，求的周长； （3）若平分角，证明：. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $