专题07矩形的性质与判定专项训练(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07矩形的性质与判定专项训练 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.斜边的中线等于斜边的一半 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.证明四边形是矩形 题型07.由矩形的性质与判定求角度 题型08.由矩形性质与判定求线段长 题型09.由矩形的性质与判定求面积 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与最值问题 题型12.矩形存在性问题 解答题5题 知识点01:矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有 2 条对称轴）。 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称+轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在□ABCD中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:直角三角形斜边中线定理（矩形推导，单独必考） 1. 定理内容 2. 推导依据 矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线拆分可得两个全等直角三角形，斜边为矩形对角线，中线为对角线的一半。 3. 简单应用 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 题型01.矩形的性质与应用 1．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 2．如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   3．在矩形中，，则矩形的面积是____________． 4．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，则______，_______．    5．如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则______． 6．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，分别过点，作，的平行线相交于点．若，则点到的距离是____________． 8．如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 9．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，则的长为________． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 10．如图，矩形中，若的坐标为，则________． 11．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 12．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.矩形与折叠问题 13．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 14．如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 15．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 16．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.斜边的中线等于斜边的一半 17．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为______． 18．中，，点在边上，连接，若，则的面积为_____． 19．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 题型05.添条件使四边形是矩形 21．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 22．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 23．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 题型06.证明四边形是矩形 24．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 25．如图，四边形是平行四边形，下列条件①，②，③，④，⑤中能判定四边形是矩形的是______． 26．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 题型07.由矩形的性质与判定求角度 27．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 28．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 题型08.由矩形性质与判定求线段长 30．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 31．如图，在四边形中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为__________． 32．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型09.由矩形的性质与判定求面积 33．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 34．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 35．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 题型10.矩形与动点问题 36．如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是______． 37．如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 38．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型11.矩形与最值问题 39．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 40．如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 41．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 42．如图，矩形中，已知，F为BE的中点，连接，则的最小值为________． 题型12.矩形存在性问题 43．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)线段与有何数量关系，为什么？ (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 44．如图，中，对角线相交于点，点E，F是对角线的三等分点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，在中添加一个条件______，可使四边形是矩形． 45．如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 解答题 46．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 47．如图，矩形的两条对角线相交于O，．求矩形的面积． 48．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 49．在矩形纸片中，，．      (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①），设与相交于点，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由； (2)将矩形纸片如图②折叠，使点与点重合，折痕为．求的长． 50．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形的性质与判定专项训练 题型01.矩形的性质与应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.斜边的中线等于斜边的一半 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.证明四边形是矩形 题型07.由矩形的性质与判定求角度 题型08.由矩形性质与判定求线段长 题型09.由矩形的性质与判定求面积 题型10.矩形与动点问题 题型11.矩形与最值问题 题型12.矩形存在性问题 解答题5题 知识点01:矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有 2 条对称轴）。 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称+轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在□ABCD中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:直角三角形斜边中线定理（矩形推导，单独必考） 1. 定理内容 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2. 推导依据 矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线拆分可得两个全等直角三角形，斜边为矩形对角线，中线为对角线的一半。 3. 简单应用 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 题型01.矩形的性质与应用 1．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 2．如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 3．在矩形中，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理．根据矩形的性质可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 故答案为： 4．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，则______，_______．    【答案】 /60度 【分析】①根据矩形的性质可知是等边三角形，再根据等边三角形的性质可知即可解答；②根据矩形的性质可知，再利用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：①∵在矩形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为； ②∵在矩形中， ∴， ∵，， ∴在中，， 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 5．如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 7．如图，矩形的对角线，相交于点，分别过点，作，的平行线相交于点．若，则点到的距离是____________． 【答案】9 【分析】连接交于，由平行四边形的判定得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由矩形的性质得，，再由三角形中位线定理得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， 分别过点C、D作、的平行线相交于点E， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ∴，， ，是的中位线， ，， ，， ， 点E到的距离为：． 8．如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得的度数，再判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 9．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 10．如图，矩形中，若的坐标为，则________． 【答案】 【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB，过B作BM⊥x轴于M． ∵点的坐标是， ∴，，由勾股定理得：， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键． 11．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____． 【答案】或或 【分析】设点C的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：设点C的坐标为：， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， 即， 解得：， ∴点， ∵此时，为矩形的对角线， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 12．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10， ∵D为OA的中点， ∴OD=AD=5， ①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上， ∴点P的坐标为：（2.5，4）； ②当OP=OD时，如图1所示： 则OP=OD=5， ∴点P的坐标为：（3，4）； ③当DP=DO时，作PE⊥OA于E， 则∠PED=90°，； 分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示： OE=5-3=2， ∴点P的坐标为：（2，4）； 当E在D的右侧时，如图3所示： OE=5+3=8， ∴点P的坐标为：（8，4）； 综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）； 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果． 题型03.矩形与折叠问题 13．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案． 【详解】解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． ∴的面积为： 故答案为． 14．如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得 ∴ ， ∵ 四边形 是矩形 ∴ ，， ∴ 在 中， ∴ 由勾股定理得 ． ∴． 15．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键． 由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故选：A． 16．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型04.斜边的中线等于斜边的一半 17．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为______． 【答案】5千米 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，千米， ∴千米． 18．中，，点在边上，连接，若，则的面积为_____． 【答案】2或14 【分析】过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，再由勾股定理求出的长度，分类讨论点在点两侧的情况，分别计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 当点在点左侧时， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ； 综上，的面积为或． 19．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 20．如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理．由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 故选：C． 题型05.添条件使四边形是矩形 21．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定条件，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意； B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意． 故选：A． 22．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，掌握由平行四边形证明矩形的方法是解题关键． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误； 当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确． 故选：． 23．在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 题型06.证明四边形是矩形 24．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 【答案】50 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，首先根据题意平行四边形是矩形，进而求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形对角线相交于点O，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． 故答案为：50． 25．如图，四边形是平行四边形，下列条件①，②，③，④，⑤中能判定四边形是矩形的是______． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了平行四边形性质，菱形的判定，矩形的判定，等腰三角形性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一验证判断即可． 【详解】解：①四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，①能判定四边形是矩形； ②四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，②不能判定四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，③能判定四边形是矩形； ④四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 四边形是菱形，④不能判定四边形是矩形； ⑤， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形，⑤能判定四边形是矩形； 综上所述，能判定四边形是矩形的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 26．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 题型07.由矩形的性质与判定求角度 27．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 28．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 29．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形，矩形的判定与性质，轴对称，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且，连接，由，推导出，即与关于对称，可得，在直角三角形内根据面积公式可求得，同时根据已有的边与直角可推导出四边形是矩形，继而证明，，则，即可解答． 【详解】解：过点作，且，连接，如图 . ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即与关于对称， ∴， ∵， ∴F，E，共线，且， 在中，， ∴， ∵，， ， ∴四边形是矩形，且D，C，F共线， ∴，即，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型08.由矩形性质与判定求线段长 30．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 31．如图，在四边形中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点D作的垂线，交的延长线于点H，先根据勾股定理求出的长，再证明，证明四边形是矩形得，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作的垂线，交的延长线于点H，如图， 在中，， 由勾股定理可知． 由作图过程可知射线平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：． 32．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 题型09.由矩形的性质与判定求面积 33．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 【答案】8 【分析】由勾股定理可得AC＝5，根据角平分线的性质可证∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，则可求S△ABH的值，由P是中点，可得S△ABP的值． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，∠ABC＝90°， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5， ∵AH平分∠DAC， ∴∠DAH＝∠CAH， ∵ADBC， ∴∠DAH＝∠H， ∴∠H＝∠CAH， ∴AC＝CH＝5， ∵BH＝BC+CH， ∴BH＝8， ∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16， ∵P是AH的中点 ∴S△ABP＝S△ABH＝8； 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的应用． 34．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 35．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】作于，其反向延长线交于，可得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，从而得到，，，，，即可求解． 【详解】解：作于，其反向延长线交于． ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ． 题型10.矩形与动点问题 36．如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 37．如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时，判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 38．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得，，，根据两直线平行，内错角相等可推得，根据等角对等边可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得，结合直角三角形中两个锐角互余可得，推得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接、，如图， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴是直角三角形， ∴， 设，则， 即， 在中，， 在中，， 即，， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的定义，矩形的性质，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 题型11.矩形与最值问题 39．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 40．如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【分析】先判断四边形是矩形，连接，如图所示，由矩形性质得到，求的最小值就是求的最小值，由垂线段最短得到当时，线段最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 则四边形是矩形， 连接，如图所示： ， 则求的最小值就是求的最小值， 是定点、是线段上的一个动点， 垂线段最短可知，当时，线段最小， 在中，，则由勾股定理可得， 则由可得，，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长是解决问题的关键． 41．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小．根据两点之间线段最短得：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，当，，三点共线时取等号， 的最小值为的值， 在矩形中，，，点E是边的中点， ∴，则， 将沿所在直线折叠到，则， ， 故的最小值是8， 故选：A． 42．如图，矩形中，已知，F为BE的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】10 【分析】设的中点为G，连接，则，由勾股定理得，证明和全等得，则，由此得当的值最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，据此可得的最小值． 【详解】解：设的中点为G，连接，如图所示： . ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴BGBC＝6， 在中，由勾股定理得：DG， ∵F为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点D，E，G共线时，为最小，最小值是10， ∴的最小值是10． 故答案为：10． 题型12.矩形存在性问题 43．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)线段与有何数量关系，为什么？ (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明得到，再结合，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，由（1）得，当满足时，利用三线合一性质得到，再根据矩形的判定即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得，， 当时，则， ∴， ∴平行四边形是矩形． 44．如图，中，对角线相交于点，点E，F是对角线的三等分点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，在中添加一个条件______，可使四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （2）证，再由（1）得四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，是对角线的三等分点， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在中添加一个条件时，四边形是矩形，理由如下： ∵点，是对角线的三等分点， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴在中添加一个条件，可使四边形是矩形． 45．如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【答案】(1)① (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，则可得，即根据已知条件可推导出条件②，由此即可得添加的条件是①； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，即根据已知条件可推导出条件②， ∴添加的条件是①， 故答案为：①． （2）证明：添加条件①后， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形为矩形． 解答题 46．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质、正确地作出辅助线是解决本题的关键． 过点作交于点，先证明，求得，再证明为等腰直角三角形，求出，最终求得． 【详解】解：过点作交于点，如图． ∵四边形是矩形， ． 平分， ． 在和中， ， ，． 在中，， 为等腰直角三角形， ， ， ． 47．如图，矩形的两条对角线相交于O，．求矩形的面积． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，，，，证出是等边三角形，得出，．由勾股定理求出，即可得出矩形的面积． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在直角中，， 则矩形的面积是：． 48．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 49．在矩形纸片中，，．      (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①），设与相交于点，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由； (2)将矩形纸片如图②折叠，使点与点重合，折痕为．求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（）利用折叠和矩形的性质可得，，即得，得到，即可求证； （）过点作于点，由矩形和折叠的性质可得，，，，设，则，利用勾股定理可得，即得，，再证明，得，进而由四边形是矩形得，，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠得，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 50．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $