专题02 矩形的性质与判定（8大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题02 矩形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用矩形的性质求角度 1 题型二、利用矩形的性质求线段长 4 题型三、利用矩形的性质求面积与坐标 7 题型四、利用矩形的性质求折叠问题 10 题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 16 题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 20 题型七、与矩形的性质与判定有关的作图 28 题型八、矩形的性质与判定的综合问题 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用矩形的性质求角度 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到． 【详解】∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【答案】102.5° 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形中，所以，因为平分，所以，因为，，由矩形的性质可知，利用三角形外角的性质即可求． 【详解】解：∵在矩形中， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】124° 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度． 结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出的度数，再利用平行四边形对角相等得到的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ． 又， ． 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 题型二、利用矩形的性质求线段长 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则 ． 【答案】8 【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．连接，由矩形的性质得，，，根据勾股定理求出，再由，可知垂直平分，则，即可求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，熟练掌握是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，在中得，由三角形中位线性质得． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点O，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理及分类讨论思想．关键是由于的直角顶点不确定，需分三种情况(、、)讨论，利用勾股定理列出方程求解，同时验证解是否符合矩形边长的实际意义． 【详解】解：如图，设的长为， ∵四边形是矩形， ∴，，． 由，得； 由，得． 在中，； 在中，； 在中，． ①若，则， 即，解得； 此时，符合题意． ②若，则， 即，化简得， ∵判别式， ∴该方程无实数根，此情况不存在． ③若，则， 即， 解得； 此时，符合题意． 综上，的长为或． 故答案为：或． 题型三、利用矩形的性质求面积与坐标 9．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 题型四、利用矩形的性质求折叠问题 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质直角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设，根据折叠性质得出，结合矩形性质得出；由为直角三角形，分为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解； 【详解】解：设，由折叠性质得：，，， 矩形中，，，则． 情况1：， ，即、、三点共线． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ， 解得，， ； 情况2：，则， ， ， 四边形为矩形， ， 故四边形为正方形， 情况3：当时，此时点与点重合，此时，这显然不成立，不存在此种情况． 综上，当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形纸片中，点分别在上（端点除外）．连接，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则 度． 【答案】或 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，关键是利用折叠的性质得出解答.先利用折叠的性质得出，再利用平角的应用求出，最后利用长方形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上方时， 如图，由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：是边的中点， ， 当时，如下图： ，， 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， 在矩形中，， ， ， ； 当时，如下图： 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或1． 16．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，矩形与折叠问题，勾股定理；根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】解：∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∵矩形中，，， ∴ ∴ ①如图，当时， ∵ ∴ 过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分， 在中， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ②当时， ∵， 在中，，不合题意， ③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， 在中， ∴ 设，则，，则 在中，， ∴ 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或 故答案为：或． 题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 17．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，找出四边形周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键． 由条件可证四边形为平行四边形，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点， 由对称可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】求的最小值：利用轴对称的性质，作点关于的对称点，将转化为，再根据两点之间线段最短，求出的长度即为最小值．求 的最小值：通过作辅助线构造矩形和全等三角形，确定点的运动轨迹是一条垂直于的直线，再根据垂线段最短，求出点到该直线的距离即为最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、、，过作，交延长线于， ∵点与关于对称， ∴，，． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． 在中， ， ∵， ∴的最小值为． 过作于，过作于． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴(AAS)． ∴， ∴即点在过点且垂直于的直线上， 当时，取最小值． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 故答案为：，． 题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 21．（25-26八年级上·吉林长春·月考）矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对①进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对②进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对③进行判断；由可对④进行判断． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，故①正确，符合题意； ∵为等边三角形， ， 又，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰三角形，故②正确，符合题意； ，， ， ，， ， ，故③错误，不符合题意； ， ，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 22．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．证明四边形是矩形，可得，可判断①；连接，根据矩形的性质可得当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，可判断②；设，则，可得到的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 即，故①正确； 如图，连接， ∵点G，H分别是的中点，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴点G，D，A三点共线，，且， ∴， ∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是，故②错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴的面积为， ∴的面积随x的变化而变化，故③错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确． 故答案为：①④ 23．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F，且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②四边形是轴对称图形； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【详解】解：①∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，   ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：①②③． 24．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是 （只填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】由矩形的性质可得，，，，求出，，，即可判断①；由①可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；证明、为等腰直角三角形，得出，，即可判断③；作于，于，由角平分线的性质定理可得，结合等腰直角三角形的性质得出，分别表示出和，即可判断④；证明，得出，，从而得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故①正确； ②由①可得：， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴，即，故③正确； ④如图，作于，于， ， ∵， ∴， ∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，故④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 题型七、与矩形的性质与判定有关的作图 25．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在长方形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为点，在垂线上截取即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，由对称性得到，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而得到，设，则，在中，列方程求解得到，则，再由三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：如图所示： 由（1）中的作图过程可知，， ， 在长方形中，，则， ， 在和中， ， ， ， 在长方形中，，则， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 26．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． (1)如图1，在上找一点，使； (2)如图2，在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，两点确定一条直线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点O，作直线交于点F，点F即为所求； （2）在（1）图的基础上，连接交于点M，点即为所求． 【详解】（1）解：点F即为所求； （2）解：点即为所求 27．（24-25八年级下·江西上饶·期末）（1）四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高； （2）四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作矩形的对角线，它们相交于点O，连接EO并延长交BC于H，则EH⊥BC； （2）分别延长BE和CF，它们相交于点M，再作矩形的对角线，它们相交于点O，连接MO并延长交BC于P，则BP=CP． 【详解】解：（1）如图1，EH为所作； （2）如图2，点P为所作． 28．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—过一点作垂线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据作垂线的步骤进行作图即可； （2）①根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，根据线段的和差得出，证明四边形是平行四边形，根据垂直得出直角，即可得出结论； ②根据含角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理得出，最后利用矩形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由①得，四边形是矩形， ∴． 题型八、矩形的性质与判定的综合问题 29．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 30．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 31．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证是的中位线，得，由，，得，，即可解答； （2）过点E作于H，证是等腰三角形，得，由勾股定理求出、即可解答； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， （2）解：过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①   ② 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握先判定平行四边形再结合直角判定矩形，利用全等和勾股定理计算边长与坐标是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合一个直角判定为矩形； （2）①通过证明三角形全等，得到与相等，从而求的长； ②由（2）①的全等三角形结论得到，结合的长度求出的长度；再利用矩形对角线互相平分的性质得到；最后通过线段的和差计算出的长度，从而确定点坐标． 【详解】（1）证明：，， ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①∵四边形为矩形，点的坐标为， ，，，， ，． 由（1）知，四边形是矩形， ，， ， ． 在和中， ， ． ②由（2）①知，， ． ∵四边形为矩形，对角线，交于点， ， ， 点的坐标为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据直角三角形所对的边是斜边的一半解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴矩形对角线的长为2． 故选：B ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质应用、三角形全等、勾股定理，结合三角形全等、勾股定理进行计算是解题的关键． 根据四边形是矩形，，，证明，即可得到，进而得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，四边形内角和是， ∴， 故①正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 延长交于，延长交于， 根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离， ∵，， ∴，， ∴，， 由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确； 在直角三角形中，，当点重合时最大， ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，，，则，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵是矩形对角线的中点，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴的度数为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则 ，的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值，此时， ∴的最大值为． 故答案为：；． 9．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 10．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点且在第一象限，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为 ． 【答案】，或 【分析】分、两种情形，两种情形再分别分为锐角三角形、为钝角三角形两种情况，分别求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图，过点P作轴于点C， 则，，， 又轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时， 若是锐角三角形，如图， ， ∴， ∴此时， ∴点P的坐标为； 若是钝角三角形，为钝角，如图， 在中，， ∴； ∴点P的坐标为； 当时， 若为锐角三角形，如图， 则， 此时， ∴点P的坐标为； 若为钝角三角形，则为钝角， 此时点在第二象限，不符合； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为，或， 故答案为：，或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【详解】（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； （2）解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 12．（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 14．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过点D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，过点D作于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判定即可得证； （2）利用，，证明是等边三角形，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴矩形的面积． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)当时，求的长度； (3)①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，，当时，； (2) (3)①或或或；②或或． 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，分情况讨论是关键． （1）根据t的取值范围分别列代数式即可； （2）当时，，，根据勾股定理进行解答即可； （3）①由勾股定理可知，分情况进行解答即可；②根据t的取值范围分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）过点作于点，如图， 当时，，， ∴， ∴， ∴； （3）①由勾股定理可知， 当时，， 当即时，即，解得或（不合题意，舍去）； 当即时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，， ∵是等腰三角形， ∴，即 解得， 综上可知，当是等腰三角形时，的值为或或或； ②当时，， ∵是直角三角形， ∴或， 当时，， ∴，即 ∴， 解得， 当时，，即， 解得， 当时，， ∵是直角三角形， ∴点与点重合， ∴， 综上可知，当是直角三角形时，的值为或或． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由； (2)当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】(1)①4；②，理由见详解； (2)5或或20或10 【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求，进而得；②通过平行线和折叠性质推导与的关系； （2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：①由题意可知，， 在中，，， 则 因为， 所以； ② 由题意可知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵（翻折性质）， ∴， ∴； （2）第一种可能： 当点在上并且时： 即为直角三角形， 设，则， 由①， ∵， ∴ 解得，即， 第二种可能： 当点在上时： 折叠性质可知， ∴, ∴为直角三角形 ∵，, ∴ 设, ∵ ∴ 解得 第三种可能： 当点在延长线上时, 使为直角三角形，则点在延长线上， ∵，， ∴在中, 则， 由折叠性质得 设则 ∵在中 ∴ 解得，即 第四种可能： 当点在延长线上并且时，为直角三角形， 此时由折叠性质得 又∵ ∴四边形为正方形 ∴ 所以的长为5或或20或10． 18．（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现： (1)如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_____． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，求出的面积． 【答案】(1) (2)是定值，值为24 (3) 【分析】（1）如图1，记与的交点为O，连接，则，，根据，计算求解即可； （2）由四边形是矩形，可得，则，如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，则，可得到，由勾股定理得：，根据，即，可求的值，然后求周长即可； （3）由等边，可知，，如图3，连接，作于，可求，则，即，求的值，然后求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，记与的交点为O，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：的周长是定值，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的周长是定值，值为24； （3）解：∵等边， ∴，， 如图3，连接，作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用矩形的性质求角度 1 题型二、利用矩形的性质求线段长 4 题型三、利用矩形的性质求面积与坐标 7 题型四、利用矩形的性质求折叠问题 10 题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 16 题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 20 题型七、与矩形的性质与判定有关的作图 28 题型八、矩形的性质与判定的综合问题 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用矩形的性质求角度 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 题型二、利用矩形的性质求线段长 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 6．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则 ． 7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为 ． 8．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为 ． 题型三、利用矩形的性质求面积与坐标 9．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 11．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 题型四、利用矩形的性质求折叠问题 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形纸片中，点分别在上（端点除外）．连接，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则 度． 15．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为 ． 16．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为 ． 题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 17．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为 ． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为 ，线段的最小值为 ． 题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 21．（25-26八年级上·吉林长春·月考）矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 22．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形． 23．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F，且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②四边形是轴对称图形； ③； ④． 24．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是 （只填序号）． 题型七、与矩形的性质与判定有关的作图 25．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在长方形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 26．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． (1)如图1，在上找一点，使； (2)如图2，在上找一点，使． 27．（24-25八年级下·江西上饶·期末）（1）四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高； （2）四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点． 28．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 题型八、矩形的性质与判定的综合问题 29．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 30．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 31．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为 ． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则 ，的最大值是 ． 9．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为 ． 10．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点且在第一象限，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 12．（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 14．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)当时，求的长度； (3)①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由； (2)当为直角三角形时，的长为 ． 18．（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现： (1)如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_____． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，求出的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $