§8.5.1直线与直线平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 § 8.5空间直线、平面的平行 § 8.5.1直线与直线平行【导学】 【导学目标】 1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理． 2．理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题. 3．能用基本事实4解决一些数学问题. 【导学重点】能认识和理解空间直线平行的传递性，理解等角定理． 【导学难点】通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 【知识要点】 知识点1 基本事实 4 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⇒a∥c. 知识点2 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补 ． 【方法归纳】 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 题型一 概念判断 【例1-1】下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【例1-2】两等角的一组对应边平行，则(　　) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 【例1-3】(多选)下列命题中，正确的结论有(　　) A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【例1-4】若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论： ①∠BAC＝∠B′A′C′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°； ③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 一定成立的是 . 【例1-5】已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是 ． 题型二 基本事实4的应用 【例2-1】(衔接教材P134L1) 如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形. 【例2-2】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点， 求证：四边形B1EDF是平行四边形． 【变式2-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1 【变式2-2】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形． 题型三 等角定理的应用 【例3-1】如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点． 求证：△EFG∽△C1DA1. 【例3-2】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且＝＝，求证：△ABC∽△A1B1C1. 【变式3-1】已知点E，E′分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，则四边形BB′E′E的形状为 ，∠BEC与∠B′E′C′的大小 ．(填相等或互补) 【变式3-2】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 § 8.5空间直线、平面的平行 § 8.5.1直线与直线平行【导学】【解析】 【导学目标】 1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理． 2．理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题. 3．能用基本事实4解决一些数学问题. 【导学重点】能认识和理解空间直线平行的传递性，理解等角定理． 【导学难点】通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 【知识要点】 知识点1 基本事实 4 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⇒a∥c. 知识点2 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补 ． 【方法归纳】 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 题型一 概念判断 【例1-1】下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【解析】①在空间中，两条直线不相交，可能是异面直线，不一定平行。结论：错误 ②平行于同一条直线的两条直线平行，这是空间中的平行公理（传递性).结论：正确 ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，它和另一条可能异面,不一定相交.结论：错误 ④已知a∥b,c∥d,且a∥d,根据平行公理的传递性,可得a∥c,进而推出b∥c.结论：正确 综上，②和④正确， 故答案是:B 【例1-2】两等角的一组对应边平行，则(　　) A． 另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 【答案】A 【例1-3】(多选)下列命题中，正确的结论有(　　) A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【答案】BCD 【例1-4】若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论： ①∠BAC＝∠B′A′C′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°； ③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 一定成立的是 . 【答案】③ 【例1-5】已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是 ． 【答案】平行 题型二 基本事实4的应用 【例2-1】(衔接教材P134L1) 如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形. 【证明】连接BD, 因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点 所以EH//BD,且. 同理FG//BD,且 所以四边形EFGH为平行四边形. 【例2-2】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点， 求证：四边形B1EDF是平行四边形． 【证明】在长方体A1B1C1D1­ABCD，根据长方体的性质： 侧棱AA1∥CC1且AA1=CC1. 因为E是AA1的中点，F是CC1的中点， 所以：AE=AA1,CF=CC1 由此可得AE∥CF且AE=CF， 根据平行四边形的判定定理，四边形AECF是平行四边形， 因此EC∥AF且EC=AF. 又因为长方体中AD∥B1C1且AD=B1C1，结合E,F为中点的条件， 可推得：ED∥B1F,ED=B1F 所以四边形B1EDF是平行四边形. 【变式2-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1 【证明】(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中， ∵M，M1分别是棱AD和A1D1的中点， ∴AD∥A1D1且AD=A1D1 ∵ M是AD中点，M1是A1D1中点， ∴ MM1∥AA1且MM1=AA1（中位线性质）. 又∵ 在正方体中，AA1∥BB1且AA1=BB1， ∴ MM1∥BB1且MM1=BB1. 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴ 四边形BB1M1M为平行四边形. (2) 证明∠BMC=∠B1M1C1​ 由 (1) 知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴ B1M1∥BM且B1M1=BM。 同理，可证四边形CC1M1M为平行四边形， ∴ C1M1∥CM且C1M1=CM. ∵ B1M1∥BM，C1M1∥CM，且两组对边的方向相同， ∴ 根据空间中如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等， ∴ ∠BMC=∠B1M1C1. 【变式2-2】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点， 求证：四边形MNA′C′是梯形． 【证明】连接AC在正方体ABCD­A′B′C′D′中， ∵ M、N分别是CD、AD的中点， ∴ 根据三角形中位线定理，MN是△ADC的中位线， ∴ MN∥AC，且MN=AC. 在正方体中，AC∥A′C′，且AC=A′C′. 由MN∥AC，AC∥A′C′，可得MN∥A′C′。 又∵ MN=AC，AC=A′C′， ∴ MN=A′C′，即MN=A′C′。 ∵ MN∥A′C′且MN=A′C′， ∴ 四边形MNA′C′是梯形。 题型三 等角定理的应用 【例3-1】如下图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点． 求证：△EFG∽△C1DA1. 【证明】在△EFG中：EF是△ABB1的中位线， ∴EF=AB1=a；FG是△BB1C的中位线， ∴FG=B1C=a；EG是△ABC的中位线， ∴EG=AC=a. 即△EFG是等边三角形，三边均为a. 在△C1DA1中：C1D=DA1=A1C1=， 即△C1DA1是等边三角形，三边均为a. C1D=EF,DA1=FG,A1C1=EG ∴△EFG∽△C1DA1. 【例3-2】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且＝＝， 求证：△ABC∽△A1B1C1. 【证明】由已知＝，且∠AOB=∠A1OB1​（对顶角相等）。 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，∴△AOB∽△A1OB1. 由此可得：A1B1:AB=OA1：OA，且∠OAB=∠OA1B1，即AB∥A1B1. 由＝，∠BOC=∠B1OC1，可得△BOC∽△B1OC1， ∴B1C1:BC=OB1:OB​，且BC∥B1C1. 由＝，∠AOC=∠A1OC1​，可得△AOC∽△A1OC1， ∴A1C1:AC=OA1:OA，且AC∥A1C1. 结合上述结论：A1B1:AB=B1C1:BC=A1C1:AC. ∴△ABC∽△A1B1C1. 【变式3-1】已知点E，E′分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，则四边形BB′E′E的形状为 ，∠BEC与∠B′E′C′的大小 ．(填相等或互补) 【答案】平行四边形；相等. 【变式3-2】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 【证明】(1)连接BD. ∵ E、H分别是AB、DA的中点， ∴ 根据三角形中位线定理，EH∥BD，且EH=BD. 同理，∵ F、G分别是BC、CD的中点， ∴ FG∥BD，且FG=BD. ∴ EH∥FG，且EH=FG. ∴四边形EFGH是平行四边形. 而平行四边形的四个顶点必在同一平面内， 故E，F，G，H四点共面. (2) ∵ 四边形EFGH是矩形， ∴ EH⊥EF（矩形的邻边互相垂直）. 由 (1) 知EH∥BD， 同理可证EF∥AC（E、F是AB、BC的中点，EF是△ABC的中位线）. ∵ EH∥BD，EF∥AC，且EH⊥EF， ∴ AC⊥BD（如果一条直线与另一条直线的平行线垂直，则它与该直线也垂直）. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $