精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第一学程考试数学试题

吉林长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第一学程考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ） A. B. C. D. 3. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 4. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 8. 随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 13. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 14. 从1，2，3，4，5这5个数中随机抽一个数记为，再从1，2，…，中随机抽一个数记为，则为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； （3）由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18. 已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 19. 口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. （1）分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； （2）求； （3）对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第一学程考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 2. 某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立性检验的原理的理解辨析可判断. 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 3. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 4. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原个样本的值总和为：， 去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为： 因此新的样本中心点为：， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得： ，解得：. 5. 已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：，， 即，，且，即②、③正确； 因，故数列是递减数列，故①正确； 因，，即当时，取得最大值，故④正确. 综上所述：正确结论的个数为4. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据求解点的轨迹方程为圆，进而结合直线和圆的位置关系建立关于圆心到直线的距离和圆的半径的不等式并求解. 【详解】设，已知，则, 由得：,整理配方得:, 即的轨迹是圆心为，半径的圆. 由直线，得：，可知直线恒过定点. 因为直线上存在点满足条件，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离. 因为圆心到直线的距离：， 所以， 即，故选项D，满足. 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 8. 随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出第n次推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，显然数列递减， 所以当时，， 所以M的最小值为． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确； 对于B：； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得， 所以，故D正确． 11. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，事件:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子，事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，利用条件概率公式计算、全概率公式逐项判断即可. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，A正确； ，，B错误； ， 当时，， 由题知，， 所以，C正确； 又， 所以.D正确. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】， 令，得， 故展开式中的常数项为． 13. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【解析】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 14. 从1，2，3，4，5这5个数中随机抽一个数记为，再从1，2，…，中随机抽一个数记为，则为________． 【答案】 【解析】 【详解】的取值为，2，，4，，且. 当时，的取值为，2，，，且. 根据全期望公式， 先求，当时，的期望， 则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式与通项公式构建方程组，可求出首项和公差，即可写出通项公式. （2）写出数列的通项公式，由，可判断出数列是等比数列，再求和. 【小问1详解】 ∵为等差数列，， ∴. 化简得，又∵，∴. 当时，，求得， 公差. 数列的通项公式为 【小问2详解】 由第一问可知， 则，， 因此数列是首项为3，公比为9的等比数列， . 16. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； （3）由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【答案】（1），76分 （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. 【小问2详解】 由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 【小问3详解】易知平均值为， 即可得， ∴. 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 18. 已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）①直线过定点，证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意有，求出，可得椭圆C的方程； （2）①联立直线和椭圆的方程可得，利用和韦达定理化简整理可得，即可求得直线过定点； ②联立直线与的方程可得，进而求得和，再求解即可 【小问1详解】 因为焦距为2，所以， 又左顶点到左焦点的距离为1，所以，所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 ①设直线方程为， 与椭圆联立，消去得， 则即. 设，由韦达定理得：； 直线的斜率，直线的斜率， 因此， ， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为，即， 直线过和，其方程为， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以 19. 口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. （1）分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； （2）求； （3）对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】（1）两种游戏中第二次摸到白球的概率均为； （2）； （3），游戏一的“不确定性”更高. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求游戏一中第二次摸到白球的概率，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求游戏二中第二次摸到白球的概率； （2）根据已知分别写出、的可能值，进而求出其分布列，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求； （3）根据已知求出与，作差比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则； 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则； 【小问2详解】 对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ； 【小问3详解】 由（2）知， ； 同理 . 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $