圆 专题复习 2026年北师大版中考数学复习

《圆》专题复习——2026年北师大版中考数学复习 高频考点 1、 圆周角定理及推论：同弧所对的圆周角是圆心角的一半、同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径、圆内接四边形的对角互补； 2、 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； 3、 弧长公式和扇形面积、弓形面积：弧长= ，扇形面积= 弓形面积=扇形面积—三角形面积 经典考题 1、 求角度 1. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 2. 如图，是的直径，点在上，直线与相切线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为直径，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于，．点在右侧的半圆上运动不与、重合，则(　　) A. B. C. D. 4. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ） A. 70° B. 64° C. 62° D. 51° 7. 如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　） A. 38° B. 28° C. 30° D. 40° 8. 如图，在△ABC中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 9. 如图，是的外接圆弧的中点，连接，，若，则(　　) A. B. C. D. 10. 若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、求线段长 11. 如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（　　） A. B. 2 C. D. 12. 如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC=CB．则下列结论：①BA⊥DA；②OC∥AE；③∠COE=2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 15. 如图，已知△ABC内接于半径为1的，，则△ABC的面积的最大值为______． 三、求阴影部分的面积 16. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则△ABC（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号） 17. 如图，线段．以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ___________． 18. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留） 19. 如图，矩形ABDC与⊙O交于E，F两点，且AE=EF，CD是⊙O的直径，且CD=4，则阴影部分的面积为_____． 20. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A. π﹣ B. π﹣2 C. π﹣4 D. π﹣2 21. 如图，，，以为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，为半径作弧，过点O作的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______． 22. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 23. 如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 24. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 25. 如图，扇形的圆心角为，，点C在弧上，以，为邻边构造平行四边形，边交于点E，平分，若，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 26. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 27. 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．则图中阴影部分的面积为____． 28. 如图所示，，，将扇形绕边的中点D顺时针旋转得到扇形，弧交于点E，则图中阴影部分的面积为______． 29. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 30. 如图，等边三角形的边长为6，以A为圆心，3为半径作圆分别交，边于D，E，再以点C为圆心，长为半径作圆交边于F，连接E，F． （1）的长为__________． （2）图中阴影部分的面积为__________． 四、解答题 31. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长．（结果保留π） 32. 如图，是△ABC的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 33. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 34. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 35. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 36. 如图，在中，∠B=900，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：①是的切线； ②； （2） 若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 37. 如图，是的内接三角形，AB是的直径，，交于点F，点E在的延长线上，射线经过点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求的长． 38. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 39. 在中，，，，点从点出发，以的速度在边上向终点运动，过点作交边于点，设运动时间为，作以为直径的． （1）如图1，若交边于点和在上方，若四边形是平行四边形，求证：点是弧的中点． （2）若恰与相切，求值； （3）如图2，过点作交边于点，连交于点，若是等腰三角形，求的值． 《圆》专题复习——2026年北师大版中考数学复习解析 经典考题 一、求角度 1. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数． 【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图： ∵， ∴ ∴ ∴点是△ABC三条角平分线的交点，即三角形的内心 ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单． 2. 如图，是的直径，点在上，直线与相切线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，根据与相切可得，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，根据等边对等角可得，进而求出，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 直线与相切线于点，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 故选C． 3. 如图，为直径，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于，．点在右侧的半圆上运动不与、重合，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．首先连接，由为的直径，是的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得，，又由同角的余角相等，证得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图，四边形内接于，，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据补角的性质求出的度数，再由圆内接四边形的性质求出的度数，由等腰三角形的性质求得的度数，再有圆周角圆心角的关系得出结论． 【详解】解：， ， 四边形为的内接四边形， ， DA=DC， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ） A. 70° B. 64° C. 62° D. 51° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解． 【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB， ∵BD＝OB， ∴AB垂直平分OD， ∴AO＝AD． ∴△AOD为等腰三角形， ∴∠BAO＝∠BAD， ∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD， ∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°， ∴3∠BAD＝78°， 解得∠BAD＝26°， ∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理． 7. 如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　） A. 38° B. 28° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论． 【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线， ∴PB＝PC， ∵∠P＝44°， ∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°， ∵∠D＝98°， ∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°， ∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 9. 如图，是的外接圆弧的中点，连接，，若，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，根据圆周角定理得出，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图，连接， 则， 是弧中点， ∴弧BE=弧CE， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键． 先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，最后减去3即可解答． 【详解】解：∵五边形的内角和为， ∴正五边形的每一个内角为， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则，， ∵已经有3个五边形， ∴， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 二、求线段长 11. 如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接OB、O C,先根据圆的内接四边形对角互补得到∠C=67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC=45°，再根据圆周角定理可得∠BOC=90°，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5° ∴∠C=180°-∠D＝180°-112.5°=67.5° ∵AC=AB ∴∠BAC=180°-2∠C=45° ∴∠BOC=90° ∴BC=． 故答案为C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的突破口． 12. 如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，由是的直径，可得，结合角平分线的定义可证明，得到，根据勾股定理求出，进而可求出，根据切线的性质可得，由角平分线的性质和圆的性质可推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ∠ACE=1800-∠ACB=900， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， S△AEC=×4×3=6， 切于点， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 13. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点作于点，解直角三角形即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ∵∠EHF=∠DGC=900，CD=EF， ∴△CDG≌△FEH（AAS）， ， ∴四边形矩形， ， ∵EF=CD=2， ∠DCG=∠EFH=∠OFE-∠OFH=600， ， ， 过点作于点， ， ， ∴的半径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC=CB．则下列结论：①BA⊥DA；②OC∥AE；③∠COE=2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据切线的性质得出AD⊥AB； ②由弦相等可知所对的弧相等，则，所以∠COB=∠EAB，OC∥AE； ③在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍； ④因为E不是弧AC的中点，所以OD与AC不垂直． 【详解】解：①∵AB是D的直径，AD切D于点A， ∴AD⊥AB； 故①正确； ②∵EC=CB， ∴， ∴， ∴∠COB=∠EAB， ∴OC∥AE； 故②正确； ③∵O是圆心， ∴∠COE=2∠CAE； 故③正确； ④∵点E不一定是AC的中点， ∴OE与AC不一定垂直， 故④不正确； 正确的有①②③， 故选B. 【点睛】本题主要考查切线的性质, 垂径定理, 圆周角定理，灵活运用是关键. 15. 如图，已知△ABC内接于半径为1的，，则△ABC的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理、解直角三角形是关键．作直线交于点H，交于点，当在位置时，△ABC面积最大，进一步求解即可． 【详解】解：如图，作直线交于点H，交于点， 由题意可知，当在位置时，△ABC的面积最大， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、求阴影部分的面积 16. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则△ABC（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先求出六边形的内角，根据对称性可知，，再根据等腰三角形的性质得，进而得出△ABC是直角三角形，根据勾股定理和直角三角形的性质得出答案． 【详解】∵该图形是正六边形， ∴． ∵正六边形具有对称性， ∴. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质等，确定△ABC是直角三角形是解题的关键． 17. 如图，线段．以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的周长为弧，弧和半圆的和，据此计算． 【详解】解：∵分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中． 18. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质得到，然后得到，最后利用阴影部分的面积为代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由平行四边形的对称性可得，阴影的面积和阴影的面积相等， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，矩形ABDC与⊙O交于E，F两点，且AE=EF，CD是⊙O的直径，且CD=4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】2﹣π． 【解析】 【分析】如图，连接OE、OF，可知阴影部分面积=2个梯形面积＋1个扇形面积－2个扇形面积－1个三角形面积，计算即可得到答案. 【详解】如图，连接OE、OF， ， ， ∵CD是⊙O的直径， ，， ，是等边三角形， 等边三角形的高， 矩形ABDC中，， 阴影部分ACE的面积=梯形ACOE的面积-扇形COE的面积，即， 同理，， ， . 【点睛】本题主要考查图形的面积公式，画出辅助线OE、OF是解题的关键. 20. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A. π﹣ B. π﹣2 C. π﹣4 D. π﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，求出，求出，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∠ADC=∠BCD=900， 中，，， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形和三角形的面积，题目比较好，难度适中． 21. 如图，，，以为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，为半径作弧，过点O作的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 分析】如图，连接，．图中．根据已知条件易求得，．，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作弧， ，，，， ， 是等边三角形， ． 又， ． 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算． 22. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 23. 如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，过作于点,此时根据直角三角形的性质求得，，再根据等边三角形判定得出为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最终求阴影部分的面积转化为求解即可． 【详解】如下图，连接，过作于点, 在矩形中， ∵，， ， ∴，, 又∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键． 24. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，不规则图形，30度的直角三角形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图，扇形的圆心角为，，点C在弧上，以，为邻边构造平行四边形，边交于点E，平分，若，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求解扇形的面积，根据平行四边形得到，，证明为等边三角形，，如图，过作于，根据含30度直角三角形的性质得到，由勾股定理得，结合扇形面积公式减去梯形面积公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∵扇形的圆心角为，平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作于， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：； 26. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 27. 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．则图中阴影部分的面积为____． 【答案】π﹣2． 【解析】 【分析】根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．在求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可 【详解】连接OF． ∵直径AB⊥DE， ∴CE＝DE＝． ∵DE平分AO， ∴CO＝AO＝OE． 又∵∠OCE＝90°， ∴sin∠CEO＝＝， ∴∠CEO＝30°． 在Rt△COE中， OE＝＝2． ∴⊙O的半径为2． 在Rt△DCP中， ∵∠DPC＝45°， ∴∠D＝90°﹣45°＝45°． ∴∠EOF＝2∠D＝90°． ∴S扇形OEF＝×π×22＝π． ∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝2， ∴SRt△OEF＝×OE×OF＝2． ∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣2． 故答案为π﹣2． 【点睛】此题考查扇形面积的计算，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解题关键在于掌握运算公式和作辅助线. 28. 如图所示，，，将扇形绕边的中点D顺时针旋转得到扇形，弧交于点E，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将阴影部分转化成，作出辅助线，分别求出三个部分的面积进行求解即可． 【详解】连接，延长交于 由题可知，四边形是正方形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在正方形中的阴影部分面积为 ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】此题考查圆中阴影部分面积，解题关键是将不规则的图形面积转化为规则的图形面积的和差，再进行计算． 29. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得． 【详解】解：连接AC，延长AP，交BC于E， 在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2， ∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， 在△APB和△APC中， ， ∴△APB≌△APC（SSS）， ∴∠PAB＝∠PAC， ∴AE⊥BC，BE＝CE＝1， ∵△BPC为等腰直角三角形， ∴， 在Rt△ABE中，AE＝AB＝， ∴AP＝﹣1， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA、PE是解题的关键． 30. 如图，等边三角形的边长为6，以A为圆心，3为半径作圆分别交，边于D，E，再以点C为圆心，长为半径作圆交边于F，连接E，F． （1）的长为__________． （2）图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由，，根据等边三角形的性质可得，，利用弧长公式即可求解； （2）过于，可得，求得，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，， 是等边三角形， ， ，， 的长为． 故答案为：； （2）过于， 等边三角形的边长为6，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 四、解答题 31. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求的长．（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=CD，从而有，进一步得到 ，从而得到结论； （2）连接OM，OB，OC．由，得到∠BOM=∠COM，由正方形ABCD内接于⊙O，得到∠BOC=90，进而得到∠BOM=135°，由弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD， ∴， ∵M 为中点， ∴ ， ∴ ， ∴BM＝CM； 【小问2详解】 连接OM，OB，OC． ∵， ∴∠BOM=∠COM， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BOC=360°÷4=90°， ∴∠BOM=135°， ∴ = ． 32. 如图，是△ABC的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质得到，进一步证明，得到，利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：证明：连接，如图， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 连接，，交于点，如图， 由（1）知：， ， 四边形为平行四边形， ，． ， ． ． 设半径的长为，则， ， ， 解得：． 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 33. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 小问1详解】 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵△ABC等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 34. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论； （2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案． 【小问1详解】 证明：连接OD． ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：∵AC＝CD，∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形． ∴∠ACD＝60°． ∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°． 在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2． ∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝30°． ∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°． ∴的长． 【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 35. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由为的直径，可得，由切线的性质可得，则，由，可得，进而可得； （2）由，可得，证明，则，即，可求，，则，进而可求的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，等边对等角，正切，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，切线的性质，等边对等角，正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36. 如图，在中，∠B=900，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． （1）求证：①是的切线； ②； （2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）①连接，根据角平分线性质和平行线的性质，即可得到答案； ②连接，根据相似三角形的性质和判定，即可得到答案. （2）连接、，设圆的半径为，由中垂线定理和平行线的性质以及三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）①连接， ∵是的平分线，∴， ∵，∴， ∴， ∴，而∠B=900， ∴， ∴是的切线； ②连接， ∵是的切线，∴， ，∴， ∴； （2）连接、，设圆的半径为， ∵点是劣弧的中点，∴是是中垂线， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴、是等边三角形， ∴， ∴，而， ∴， . 【点睛】本题考查角平分线性质、平行线的性质、相似三角形的性质和判定及中垂线定理，解题的关键是熟练掌握角平分线性质、平行线的性质、相似三角形的性质和判定及中垂线定理. 37. 如图，是的内接三角形，AB是的直径，，交于点F，点E在的延长线上，射线经过点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，得到，再根据，，得到，利用，得到，即：，即可得证； （2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得到，根据，得到，从而得到是等边三角形，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：连接OC，如图． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键． 38. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 39. 在中，，，，点从点出发，以的速度在边上向终点运动，过点作交边于点，设运动时间为，作以为直径的． （1）如图1，若交边于点和在上方，若四边形是平行四边形，求证：点是弧的中点． （2）若恰与相切，求值； （3）如图2，过点作交边于点，连交于点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由及，可证得，进而命题得证； （2）作于交于，连接，求得和，根据列出方程求得； （3）分为，及三种情形，可转化为，及，从而列出方程求得． 【小问1详解】 证明：如图1， 四边形是平行四边形， ，， 是的直径， ， ， ， 即点是的中点 【小问2详解】 解：如图2， 作于交于，连接， ， 可得矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 由（2）得，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ①当时， ， ， ， ， ②当时， ， ， ， ， 这种情况不存在， ③当时， ， 是的中点， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和分类等知识，解决问题的关键是转化条件，利用方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 $