精品解析：福建省南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试题

保密 ★ 启用前 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：陈晓婴 李垂锴 审题人：吴钰明 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 2. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10 5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 7. 复数满足条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，不正确的有（    ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若为非零向量，则与同向 C. 若，则 D. 已知λ，μ为实数，若，则与共线 10. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 在的外接圆上，则的最大值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 13. 钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为_________米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）． 14. 已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求在方向上投影向量的坐标. 16. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 18. 在中，角的对边分别是，的面积为，且. （1）求角的大小； （2）在中，，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长. 19. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密 ★ 启用前 2026年春季高一年第一次阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：陈晓婴 李垂锴 审题人：吴钰明 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 2. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 3. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解. 【详解】因为， 且，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得. 故选：B 4. 已知夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 故选：A 5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 6. 已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】，， 由余弦定理可得，去分母得：，即， 则为直角三角形. 7. 复数满足条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模整理得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】由且，得， ∴，整理得， ∴， 当且仅当，即，时，取得最小值. 故选：C 8. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果． 解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果． 解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果． 【详解】解法一 ：如图所示： 连接，设，连接，依题意得，，，， 则， ． 因为，所以，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法二 如图， 以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则依题意可得，，， 因为圆的半径为1，所以可设， 所以，，所以， 又，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法三 如图所示： 设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，不正确的有（    ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若为非零向量，则与同向 C. 若，则 D. 已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 10. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 在的外接圆上，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D. 【详解】在三角形中，由余弦定理， ，故，故正确； 在中，由余弦定理得：， ，故正确； 由余弦定理可知：，， 平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故不正确； ，，，， ， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1， 显然当取得最大值时，在优弧上． 故，设，则，， ， ，， ，其中，， 当时，取得最大值，故正确． 故选：． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得. 【详解】依题意，为实数 所以. 故答案为： 13. 钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为_________米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得，进而可得钟楼高度. 【详解】由已知得， 因为 所以， 即，解得， 所以钟楼高度AB约为米. 故答案为：. 14. 已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足， 可得，解得； 又，，所以， ，， ，的夹角为，则， 所以时，取得最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求在方向上投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再通过向量模长公式计算； （2）先求出的坐标，再由向量平行的坐标表示求得参数； （3）根据投影向量求法求解即可. 【小问1详解】 时，，所以， 故. 【小问2详解】 ， 由，可得， 解得. 【小问3详解】 时，， 此时在方向上的投影向量的坐标为. 16. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【小问1详解】 由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18. 在中，角的对边分别是，的面积为，且. （1）求角的大小； （2）在中，，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由三角形的面积公式及余弦定理可得； （2）先由正弦定理进行边化角，进而将所求边转化为角的函数关系，由三角函数性质可得； （3）先作等腰三角形的高，再由直角三角形的边角关系可得等腰三角形底角的余弦值，进而可得正弦值，再由正弦定理可得外接圆的半径值. 【小问1详解】 因为的面积为，所以，代入， 得，即， 所以，即，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，由正弦定理得， 所以，且， 所以 ， 因为，所以. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设，则，， 所以，， 因为，所以，所以. 因为在中，设为的中点，则，且 在直角三角形中，，， 在中，由正弦定理得 ，所以. 故外接圆半径. 19. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和面积公式即可证明； （2）利用面积代换，再结合三角恒等变形，即可求解； （3）设对应边长，再利用余弦定理得到边角关系，然后利用方程组思想来求解即可. 【小问1详解】 证明：由正弦定理可得，则， 又因为，所以； 【小问2详解】 将代入， 得 即，所以， 即，解得：， 又因为，所以； 【小问3详解】 由余弦定理得，则， 即，所以解得 则； 设折痕为线段，其中在上，在上，设，， 则，，， 在中，由余弦定理得，解得 在中，由余弦定理得，解得 重叠部分的面积为的面积，. 因为 所以. 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $