福建南安市华侨中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若,则（ ） A. B. C. D. 2.梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 3.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D.或 4.已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A.5 B.9 C. D. 7.已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C D. 8.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A.已知，，则 B.若非零向量满足，则 C.若G是的重心，则点G满足条件 D.若是等边三角形，则 10.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为 11.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B.的面积为 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若复数，则复数z在复平面内对应的点在第_________象限. 13.向量在上的投影向量是________(用坐标表示). 14.平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 16.已知，，. （1）求 （2）求. 17.的内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知 （1）求角C． （2）若D是边BC的中点，求的长 18.如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 19.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题： 1、B 2、A 3、A 4、A 5、D 6、D 7、A 8、B 二、选择题： 9、BC 10、AD 11、ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、第一象限 13、 14、12 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：（1）． （2）把代入， 得， 整理得， 所以解得 16．解：（1）， ， 即， 即，， （2）， 而， ， 17．解析：（1）， ∴由正弦意理得， ， ， ， ，， ，． （2）在中，由余弦定理得， ， 或 当时，， 中，由余弦定理得， ， 当时，， ． ． 或． 18．（1） （2） （3） 平面向量的基本定理+平面向量的数量积 解：（1）在中，是边的中点， 则． （2）． 因为是边的中点，， 所以，， 所以， 所以，① 又， 所以，②（题眼）（提示：两次运用平面向量基本定理、三点共线定理，构造方程组） 由①②组成方程组，解得， （3）设，，，， 则， 所以解得 所以． 又， 所以． 又， 所以， 所以， 故的值为． 解：（1）因为向量，所以， 又因为，， 所以． ， 所以； （2）证明：因为向量，， 所以，， 所以 ； （3）①由（2）得 所以， 则方程的根等价于的根， 如图所示， 在的一个周期内，方程根的个数为3， 因为， 则当时，根的个数， ②，理由如下： 令，，则， 又因为，， 所以，又因为， 所以，由零点存在定理可得， 由（1）可知在上单调递减， 所以，即， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $