精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高二四月阶段性考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A. B. C. D. 3. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 4. 将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ） A. 180 B. 240 C. 320 D. 360 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 6. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 432 D. 576 8. 在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（ ） A. 黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种 B. 黑猫警长从S必须经过到达T的最短路径方法有36种 C. 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D. 黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（ ） A. 若采取有放回摸球， B. 若采取不放回摸球，则 C. 若采取有放回摸球，则 D. 若采取不放回摸球，则 11. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 多项式的展开式中项的系数为______． 13. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 14. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 四．解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前项和为，求证：． 16. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量． （1）求第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望． 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高二四月阶段性考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质以及组合数计算公式可得. 【详解】因为，所以， 即，解得，（舍），所以. 2. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D. 3. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 4. 将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ） A. 180 B. 240 C. 320 D. 360 【答案】B 【解析】 【详解】符合要求的分配方法可分为两步完成， 第一步，将5名志愿者分成一个人数为2，三个人数都为1的四组，该步有种完成方法， 第二步，将4组志愿者分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为. 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 6. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 7. 给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 432 D. 576 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据，，，，，，按顺序涂色，逐步分析各个步骤的可能数，最后根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 8. 在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（ ） A. 黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种 B. 黑猫警长从S必须经过到达T的最短路径方法有36种 C. 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D. 黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】从S到T的最短路径共需走8步，其中4步向右4步向上，据此逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，如图所示，从S到T的最短路径共需走8步，其中4步向右4步向上， 由黑猫警长从S到T的最短路径方法有种，故A错误； 对于B，黑猫警长从S必须经过到达T， 则需前4步有1步向右，3步向上，后4步有3步向右，1步向上， 故黑猫警长从S必须经过到达T的方法有种，故B错误； 对于C，黑猫警长与白鸽侦探在处相遇， 则黑猫警长前4步有2步向右，2步向上，白鸽侦探前4步有2步向左，2步向下， 则黑猫警长与白鸽侦探在处相遇总的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为，故C正确； 对于D，同C可知黑猫警长与白鸽侦探在相遇的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇时的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探能相遇的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，求出可判断A；求出可判断B；令，求出的值，令，求出的值，两式相加可判断C，D. 【详解】对于A，令，，所以A正确； 对于B，的前面的系数为，所以B正确； 对于C，令，①， 对于D，令，②， 得，所以，则，所以D错误． 故选ABC． 10. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（ ） A. 若采取有放回摸球， B. 若采取不放回摸球，则 C. 若采取有放回摸球，则 D. 若采取不放回摸球，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC 11. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确. 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）. 由全概率公式：. 由条件概率公式：，B错误. 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率. 由概率的加法公式：. 其中. 代入得：，C正确. 选项D：递推关系：. 整理为：. 初始值，故. 因此，即，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 多项式的展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，分两步展开研究即可. 【详解】根据二项式定理可得： ， 由上可得含只能是这一项展开得到， 所以含项的系数为：， 即展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 【答案】0.087 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为 所以． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键． 14. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 【答案】 【解析】 【分析】设射击总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设射击总次数的数学期望为， 若第一次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，且第二次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，第二次中靶，则此情况发生的概率为，射击总次数为2， 则射击总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 四．解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前项和为，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项的关系化简，即可证明； （2）利用等比中项可求出首项，再通过裂项相消法可求和，问题即可得证. 【小问1详解】 记为数列的前项和，已知， 则， 当时，， 两式相减可得， 化简可得， 由于，故，即为常数， 因此数列为等差数列； 【小问2详解】 由（1）知数列为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，根据等比中项和等差数列的通项公式可得： ，解得， 故， 故， 故 ， 因为， 所以，即. 16. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量． （1）求第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望． 【答案】（1）； （2） 3 4 5 ． 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是红球”， 所以， 事件“第一次取出的是黑球且第二次取出的是红球”， 故， 所以第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率为： ； 【小问2详解】 根据题意可得可能的取值为3，4，5， 当时，前三次分别取出1个红球、1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 所以． 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，，，，直线， 将代入，整理得 所以，， 所以，， 所以， 同理可得， 所以， 所以直线，即， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，结合即可求出答案； （2）设，，，，直线，将直线方程与椭圆方程联立求出，进而得到点坐标，同理得到点坐标，从而求出直线的方程，即可证明. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题意知，，， 由椭圆的几何性质知，，， 所以，则， 所以， 所以，，故的方程为. 【小问2详解】 略 18. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 【答案】（1） （2） （3）1天 【解析】 【分析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，利用全概率公式计算可得； （2）设表示第天去餐厅用餐，则，由全概率公式可得，即可得到，从而求出； （3）依题意只需，从而得到，再结合指数函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，，， 所以. 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【小问3详解】 由题意，只需，即， 则，即， 显然必为奇数，为偶数时不成立， 当时，考虑的解， 当时，显然成立，当时，，不成立， 由单调递减得，时，也不成立， 综上，该同学只有1天去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】（1） （2）当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）2． 【解析】 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【小问1详解】 当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． 【小问3详解】 由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $