精品解析：四川成都市双流区棠湖中学实验学校2025——2026学年下学期九年级模拟适应性考试数学试题

四川成都市双流区棠湖中学实验学校2025-2026学年下学期九年级模拟适应性考试数学试题 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为9.2 B. 平均数为9.2 C. 中位数为9 D. 方差为0.006 6. 如图，在平行四边形中，，对角线 ，交于点O，点P是 的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 如图， 与位似，其位似中心为点O，且，则 与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，七人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有 人，可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知线段a和b满足，那么的值等于______． 10. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是________． 11. 一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 12. 如图， 为 的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 13. 如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程： 15. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知 ， ， ， ， 五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择 大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从 ， ， 三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 16. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 17. 如图，内接于 ，直径 交于点 ，过点 作射线 ，使得，延长 交过点 的切线于点 ，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若． ①求 的长； ②求 的半径． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与 轴、 轴分别交于点，其中． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线 于点 ，点 为直线上一动点，连接，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下， 轴上有一动点 ，平面内有一动点 ，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点 的坐标． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分) 19. 已知非零实数a、b满足，则__________． 20. 若 ，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 21. 如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，， ，，以C为圆心， 长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是________． 22. 已知菱形 中，，，点为 边上动点，过点作与 平行的直线交 于点 ，点 是线段上靠近点 的三等分点，连接，则的最小值为_____． 23. 对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10<x≤30） （1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于， 两点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点 ，作于点 ，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点 为点平移后的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川成都市双流区棠湖中学实验学校2025-2026学年下学期九年级模拟适应性考试数学试题 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的相反数是 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 3. 稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿吨吨， 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘、除，幂的乘方． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法则，幂的乘方法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确； 故选：D． 5. 某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为9.2 B. 平均数为9.2 C. 中位数为9 D. 方差为0.006 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断． 【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列 ， ，，，， A、 出现次数最多，众数是 ，故错误，不符合题意； B、平均数是，故正确，符合题意； C、中位数是，故错误，不符合题意； D、方差是，故错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，，对角线 ，交于点O，点P是 的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即 为 中点，又 是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，即 为 中点， ∵ 是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是 的中点， ∴，即， 故选： ． 7. 如图， 与位似，其位似中心为点O，且，则 与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出 与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，七人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有 人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知线段a和b满足，那么的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限． 根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， 解得， 故答案为：． 11. 一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据该公式，由已知条件求出的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴． 故该长方形的面积为9． 故答案为：9． 12. 如图， 为 的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5，然后利用面积法计算的边BC上的高． 【详解】 由作法得MN垂直平分BD， ∴MB＝MD，NB＝ND， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MDB＝∠NBD， 而MB＝MD， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴∠MBD＝∠NBD， 而BD⊥MN， ∴△BMN为等腰三角形， ∴BM＝BN， ∴BM＝BN＝ND＝MD， ∴四边形BMDN为菱形， ∴， 设▱ABCD的边BC上的高为h， ∵， ∴， 即▱ABCD的边BC上的高为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值； （1）先根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、实数的绝对值化简，再计算即可； （2）移项后用因式分解法解方程即可； 【详解】解：（1）原式＝ ． （2）， ， 或 ． 15. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知 ， ， ， ， 五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择 大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从 ， ， 三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据 的人数除以占比得到总人数，进而求得 的人数，补全统计图即可求解； （2）根据 的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择 的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择 大学的人数为． 【小问2详解】 在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 16. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，直接利用的余弦即可求出 ，从而得到 的长度； （2）过点 作于点，于点 ，过点 作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为； 【小问2详解】 过点 作于点，于点 ，过点 作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 17. 如图，内接于 ，直径 交于点 ，过点 作射线，使得，延长 交过点 的切线于点 ，连接 ． （1）求证：是 的切线； （2）若． ①求 的长； ②求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∵， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即 ， ∴， 又∵ 为 的半径， ∴是 的切线； （2）① ；②． 【解析】 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （ ）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵ 是 的切线， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ 的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与 轴、 轴分别交于点，其中． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图2，点 为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线 于点 ，点 为直线上一动点，连接，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下， 轴上有一动点 ，平面内有一动点 ，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1）， （2）的周长的最小值为 （3）符合条件的点 的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点可得，根据可得，由此求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，连接交于点N，则此时，周长的最小，然后运用勾股定理求解即可； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组求解即可；当 或 为对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：一次函数中，当时，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴在一次函数中，当 时，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，，即， ∴反比例函数中，， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，取,过点Q作交反比例函数于点P，则此时,则点， ∵， ∴设直线的表达式为：，则有：, ∴， 联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点， 由点A、P的坐标得，直线的表达式为：， 作点C关于直线的对称点， 连接交于点N，则此时，周长的最小， ∴，即的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：设点，由点A、M的坐标得，, ①当为对角线时，由中点坐标公式和得： 解得：，则点； ②当 或 为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， ∴点或， 综上，或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例图象与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析，图像与坐标轴交点与二元一次方程组的计算，几何图形面积的计算方法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分) 19. 已知非零实数a、b满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握约分是关键．先根据分式的混合计算法则化简所求式子，再根据已知条件式得到，据此代值计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式， 故答案为： ． 20. 若 ，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， 因为 ，是一元二次方程的两个实数根， 所以，，且， 则， 所以； 故答案为： 21. 如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，， ，，以C为圆心， 长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、 交于点 ，设圆的半径为1，可证为等边三角形，先求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：连接、 交于点 ，设半径为1， ∵，， ∴为等边三角形， ∵ 为弦，为半径， ∴垂直平分 ， 在中，，， ，， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，几何概率，根据图形作出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键． 22. 已知菱形 中，，，点 为 边上动点，过点 作与 平行的直线交 于点 ，点 是线段上靠近点 的三等分点，连接，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，以菱形 的对角线 为 轴， 为 轴， 与 的交点 为坐标原点，建立直角坐标系，分别求出E、F的坐标，再利用勾股定理求出，再求出最小值． 【详解】解：如图，以菱形 的对角线 为 轴， 为 轴， 与 的交点 为坐标原点，建立直角坐标系， ∵四边形 是菱形，， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， 则， 解得：， ∴ 边的解析式为， ∵点P为 边上的动点， ∴设， ∴， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 设 边的解析式为， 则， 解得：， ∴ 边的解析式为， ， ∴设的解析式为， ， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 过点P作y轴的垂线交于点I，过F分别作x、y轴的垂线分别交y轴于点G，交于点H，交 轴于点， 则，， ，， ，， 又点F是线段上靠近点B的三等分点， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ∴有最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，图形与坐标，求一次函数解析式，等边三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 23. 对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是能灵活运用相关性质和新定义求解．把 、 的坐标代入函数解析式，即可求出，，代入得出抛物线表达式为，得出对称轴为，再结合图象进行判断即可． 【详解】解： 抛物线经过点和点，  ， ， 得：， 即与互为相反数， 得：； 抛物线表达式为， 对称轴为， 当时，抛物线开口向下，且， 抛物线经过点和点， 画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去； 同理，当 时，抛物线开口向上，且， 画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去； 综上所述：的取值范围是或． 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10<x≤30） （1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元 【解析】 【分析】（1）由图像可知，当10<x≤14时，y=640；当14<x≤30时，设y=kx+b，将（14，640），（30，320）代入得到解方程组求解即可； （2）分10<x≤14和14<x≤30两种情况，分别求出函数最值，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：（1）由图像知，当10<x≤14时，y=640； 当14<x≤30时，设y=kx+b， 将（14，640），（30，320）代入得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920； 综上所述，； 【小问2详解】 解：设每天的销售利润为w元， 当10<x≤14时w=640×（x-10）=640x-6400， ∵k=640>0， ∴w随着x的增大而增大， ∴当x=14时，w=4×640=2560元； 当14<x≤30时，w=（x-10）（-20x+920）=-20（x-28）2+6480， ∵-20<0，14<x≤30， ∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480， ∵2560<6480， ∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意得到每天的销售利润的关系式是解答本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于， 两点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作轴交抛物线于点 ，作于点 ，求的最大值及此时点 的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点 为点 平移后的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交 轴于 ，过 作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线 方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当 在 轴的左侧时，过 作轴于，证明，可得，证明，如图，当 在 轴的右侧时，过 作 轴的垂线，过作过 的垂线于 ，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴交于， 两点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交 轴于 ，过 作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设 为， ∴，解得：， ∴直线 为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线 方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当 在 轴的左侧时，过 作轴于， ∵， 同理可得：直线 为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当 在 轴的右侧时，过 作 轴的垂线，过作过 的垂线于 ， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $