精品解析：湖北襄阳市樊城区襄阳高新技术产业开发区第四中学等2025-2026学年下学期八年级 数学学情自测试题

八年级数学月考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 二次根式有意义，则x满足的条件是（　　） A. x＜2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≤2 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三条边分别是a，b，c，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ） A. B. 、、 C. D. 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 5. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 6. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A. x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 9. 如图，在矩形中，将其折叠，使点与点重合， 则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 如图所示，平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在坐标轴上，AD=5，AB=9，点A的坐标为(﹣3，0)，则点C的坐标为_______． 13. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 14. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     15. 如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点． （1）若，则______°； （2）若，且三点共线，则______． 三、计算题：本大题共4小题，共12分． 16. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 四、解答题：本题共8小题，共63分． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，已知点，画一个，使它的三边长分别为，，； （2）仅用无刻度的直尺，在图中作出边上的中线，保留作图痕迹； （3）在（1）的条件下，求点到直线的距离． 18. 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 19. 现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． （1）求图①中阴影部分的周长； （2）小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 20. 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 21. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且，求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，点、分别是边、的中点．求证：，且． 23. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 24. 如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． （1）①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； （3）如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． （4）若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学月考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 二次根式有意义，则x满足的条件是（　　） A. x＜2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x﹣2＞0， 解得，x＞2． 故选：B． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 三条边分别是a，b，c，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ） A. B. 、、 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出三个内角的度数即可判断A选项；用勾股定理的逆定理判断B、C、D选项． 【详解】解：A．∵， ∴设，则，， 根据三角形内角和定理可得：， 解得：， 则，，， ∴不是直角三角形，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴是直角三角形，故B符合题意； C．∵， ∴设，则，， 则，，， ∵， ∴， ∴此时三边不能组成三角形，更不可能组成直角三角形，故C不符合题意； D．∵， ∴设，则，， ∴， ∴不是直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，勾股定理逆定理的应用，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和三角形三边关系． 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等； 故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 5. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE=DC，OE∥DC， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=∠OBA， ∴选项A、B、C正确； ∵OB≠OC， ∴∠OBE≠∠OCE， ∴选项D错误； 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，还考查了三角形中位线定理，解决问题的方法是采用排除法解答． 6. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质；先利用平行四边形的性质、平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质得到，，即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 四边形的周长： ∵，， ∴四边形的周长， 故选：B． 8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A. x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可； 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，将其折叠，使点与点重合， 则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设DE＝xcm，由翻折的性质可知DE＝EB＝x，则AE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理求得ED的长；由翻折的性质可知∠DEF＝∠BEF，由矩形的性质可知BC∥AD，从而得到∠BFE＝∠DEF，故此可知∠BFE＝∠FEB，得出FB＝BE，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设DE＝xcm． 由翻折的性质可知DE＝EB＝x，∠DEF＝∠BEF，则AE＝（9﹣x）cm． 在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2＝EA2＋AB2，即x2＝（9﹣x）2＋32． 解得：x＝5． ∴DE＝5cm． ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD． ∴∠BFE＝∠DEF． ∴∠BFE＝∠FEB． ∴FB＝BE＝5cm． ∴△BEF的面积＝BF•AB＝×3×5＝（cm2）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，，AD=BC=5， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE， 则BE=2AB=4， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∴CE=， ∴PC+PB的最小值为， 即PC+QD的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断的正负性，再利用二次根式的性质将原式变形，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 如图所示，平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在坐标轴上，AD=5，AB=9，点A的坐标为(﹣3，0)，则点C的坐标为_______． 【答案】（9，4） 【解析】 【分析】先求OD，则点C纵坐标可知，再运用平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，即可求得点C的横坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=9， ∵点A的坐标为（-3，0）， ∴OA=3， ∴OD= ∴点C的坐标为（9，4）． 故答案为：（9，4）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OD是解决问题的关键． 13. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 的角平分线交于点E，的角平分线交于点， ， ， ， ． 15. 如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点． （1）若，则______°； （2）若，且三点共线，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质及折叠性质得的度数，再由矩形的性质及角平分线的条件即可求解； （2）由面积相等可求得，从而得，由勾股定理得，则可表示，在中由勾股定理建立方程即可求得． 【详解】解：（1）矩形中，， ∴，； 由折叠知：， ∴，； ∵平分， ∴； 故答案为：55； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 由折叠知，，； ∵E为中点， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：, 即， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，灵活运用这些知识是关键． 三、计算题：本大题共4小题，共12分． 16. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简所有二次根式为最简形式，再合并同类二次根式； （2）先分母有理化并化简各二次根式，再合并同类二次根式； （3）分别计算零指数幂、二次根式乘法、负整数指数幂，再按顺序加减； （4）利用平方差和完全平方公式展开，去括号后合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 四、解答题：本题共8小题，共63分． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，已知点，画一个，使它的三边长分别为，，； （2）仅用无刻度的直尺，在图中作出边上的中线，保留作图痕迹； （3）在（1）的条件下，求点到直线的距离． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，线段即为所求作； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用勾股定理结合网格画出，使得，，即可； （2）取格点，连接、，连接交于，线段即为所求作； （3）过点作，交于点，则即为点到直线的距离，利用等面积法计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵，，，且， ∴，是直角三角形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为边上的中线； 【小问3详解】 解：过点作，交于点，则即为点到直线的距离． ， 由（1）可得：是直角三角形，， ∵， ∴，即点到直线的距离为． 18. 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵ ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴． ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． 直接根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理可得出的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】略 19. 现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． （1）求图①中阴影部分的周长； （2）小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为，原长方形纸片的长为 则， ∴不能在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片． 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，即可计算正方形纸片A、B的边长，再得出阴影部分的长，宽，即可作答； （2）先求出原长方形纸片的长为，然后计算，则，据此即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，正方形纸片A的边长为；正方形纸片B的边长为， 则阴影部分的宽为，长为， ∴图①中阴影部分的周长为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 【答案】84． 【解析】 【分析】先作出三角形的高，然后求出高，利用三角形的面积公式进行计算． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣(14﹣x)2， ∴152﹣x2＝132﹣(14﹣x)2， 解得x＝9， 此时AD2＝152﹣92＝122， 故AD＝12， ∴△ABC的面积：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 21. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且，求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ， 在和中， ， ． ． （2） 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质推出，，利用线段的和差得到，证明，再利用全等三角形的性质可得出：； （2）根据全等三角形的性质得到，可得，根据平行线的判定得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理． 22. 如图，在中，点、分别是边、的中点．求证：，且． 【答案】 证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF， ∵AE=EC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF平行且等于DA， ∵为AB的中点， ∴ ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF平行且等于BC， 又∵DE=DF， ∴，且DE=BC． 【解析】 【分析】延长DE到点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF，利用平行四边形的对边平行且相等可以证明结论． 【详解】略． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理的数量关系，熟练掌握定理是解题的关键． 23. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 24. 如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． （1）①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； （3）如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． （4）若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴轴， ∵轴轴， ∴轴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2） （3） （4）；4 【解析】 【分析】（1）①利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； ②首先可得，是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得； （4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度．最小时，最小，即可求得答案． 【小问1详解】 解：①在中，， ， ∴点的坐标为； ②略． 【小问2详解】 解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴， ， 由折叠得， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 则， ∴是等边三角形， ， ， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， ∵是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∴点是的中点， ， ， ∴、、三点在同一条直线上， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则， ∵是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 当线段的长度最小时，最小， ， ∴的最小值为4，此时点落在线段上，， ∴的最小值为4； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $