专题06平行四边形专项训练(15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06平行四边形专项训练 题型01.平行四边形的性质 题型02.求平行线间的距离 题型03.利用平行线间距离解决问题 题型04.平行四边形的判定 题型05.平行四边形计数与三点构成问题 题型06.证明四边形是平行四边形 题型07.由平行四边形判定与性质求解 题型08.由平行四边形性质与判定证明 题型09.平行四边形性质和判定的应用 题型10.三角形中位线的求解问题 题型11.三角形中位线的证明问题 题型12.三角形中位线的实际应用 题型13.平行四边形的动点问题 题型14.平行四边形的折叠问题 题型15.平行四边形的最值问题 解答题9题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 符号语言：在△ABC 中，若 D、E 分别是 AB、AC 中点，则 DE∥BC 且 DE=BC 题型01.平行四边形的性质 1．已知平行四边形，和是对角，，求的度数_______ 【答案】/120度 【分析】首先由平行四边形的性质得出，然后根据平行线的性质求解． 【详解】解：∵平行四边形， ， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，若，，则______．    【答案】/126度 【分析】根据题意得，平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，即可解答． 【详解】∵以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．如图，在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可． 【详解】∵在中， ∴，， ∵AD//BC， ∴， 无法得出∠1=∠3， ∴A，B，C正确，D错误， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键． 4．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 5．如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于、的等式． 过作交的延长线于，判定，推出，，设，，则，，由勾股定理得到，因此，化简得，又因为，即，代入即可求解． 【详解】解：过作交的延长线于， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 设，，则 ，， ，， ， ， ∴ ． ∴ ∴ 故选：B． 6．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 7．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，若，，，求为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件证明，，过点作交延长线于点，证明，再利用勾股定理可得的长，进而可得的长． 【详解】如图，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可证：， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，，，根据勾股定理，得 ， ，，， ， ， ． 题型02.求平行线间的距离 8．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间的距离是______． 【答案】1或5 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况：当这个点在两条平行线之间，或者当这个点在两条平行线的同侧时，再列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一点到两条平行线的距离分别是，， ∴当这个点在两条平行线之间，则两条平行线的距离为， 当这个点在两条平行线的同侧时，则两条平行线的距离为， ∴这两条平行线之间的距离是1或， 故答案为：1或5． 9．如图，直线 l1∥l2∥l3，且 l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为3．把一块含有 45°角的直角三角板如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上， 则△ABC的面积为______． 【答案】 【分析】分别过作的垂线，垂足为，根据题意可得，根据，证明，即可求得，进而勾股定理可得，根据三角形面积公式即可求解 【详解】如图，分别过作的垂线，垂足为， l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为3, （AAS）， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线，证明全等是解题的关键． 10．如图，在中，，，，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，点在边上，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质，平行线间的距离，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，由四边形为平行四边形，得，又，则，根据平行线间的距离线段即可得出即有阴影部分的面积等于的面积，过作交于，再由勾股定理，所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于的面积， 过作交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 即阴影部分的面积等于． 故选：． 题型03.利用平行线间距离解决问题 11．如图，已知在中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行线之间的距离处处相等，先得出，结合为的中点，得出再记之间的距离为，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴之间的距离处处相等， ∵为的中点， ∴， 则记之间的距离为， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 【答案】75°/75度 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线间距离相等．直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两底角相等．掌握直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 过点作，由，则有，根据，可计算出，在中，，则有，所以，根据等腰三角形性质即可计算出． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则有， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 13．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：． 题型04.平行四边形的判定 14．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 15．如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A． 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D． 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 16．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：________，使四边形AECF是平行四边形．    【答案】或或． 【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件． 【详解】解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明的条件来得到，，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形． 17．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【答案】③ 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 题型05.平行四边形计数与三点构成问题 18．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4）， ∴点D的坐标不可能是（-3，2）. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题． 20．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 21．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 题型06.证明四边形是平行四边形 22．在四边形中，．则此四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】本题利用四边形内角和为，结合已知角度比例推导角度关系，再根据平行线的判定推出两组对边分别平行，进而得到四边形的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 设，，则，， ∵四边形内角和为， ∴， 解得，即， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 23．如图，在中，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是______．    【答案】5 【分析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，可得当时，最小即最小，证明四边形是平行四边形，得到，即得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴点O始终是的中点， ∴当时，最小，即最小． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．即的最小值为5； 故答案为：5． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定和性质，正确得出最小时的位置是关键． 24．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 题型07.由平行四边形判定与性质求解 25．如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．由题意得，，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：D． 26．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，于点．当时，_____． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及方程思想的应用，掌握直角三角形角的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 先利用直角三角形角的性质求出的长度，设为，结合条件推出四边形是平行四边形，再由得到，最后列方程求解． 【详解】解：，，， ． 设． ，，， 在中，． ， ， 四边形是平行四边形， ． 当时，． ， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB+180°， ∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BHC＝90°， ∵AM∥CF， ∴∠AOE＝∠BHC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE， ∴AB＝AE＝5， 又∵∠AOE＝90°， ∴BO＝OE＝3， ∴， 在△ABO和△MBO中， ， ∴△ABO≌△MBO（ASA）， ∴AO＝OM＝4， ∴AM＝8， ∵AD∥BC，AM∥CF， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴CF＝AM＝8， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 题型08.由平行四边形性质与判定证明 28．如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法和其性质是解答本题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴A、B、D正确，不符合题意； ∴不一定等于，与两张纸片的宽度有关，故C符合题意； 故选：C． 29．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 逐一分析判断，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故②正确． ∵，点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形．故③正确． 故答案为：①②③． 30．在中，，点，分别是的中点，于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图如图所示，根据平行四边形的性质和判定即可判断A选项，根据三角形全等的判定与性质即可判断B选项，根据三角形的三边关系即可判断C选项，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断D选项． 【详解】解：根据题意，画出图如图所示： 四边形为平行四边形， ，， 点，分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故A正确，不符合题意； ，分别是的中点， ， 故D选项正确，不符合题意； ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 在中，，， ， ， 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形的三边关系，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形的三边关系，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 题型09.平行四边形性质和判定的应用 31．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 【答案】③ 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②， 不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意； ③∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； ④， 不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 32．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 【详解】∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 33．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点， 过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图  所示， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大． 题型10.三角形中位线的求解问题 34．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】利用三角形的中位线以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴， 由勾股定理得， ∴． 35．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，分别是边上的点，且,连接．分别取的中点，连接，则的长为(  ·) A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．延长并延长，使,连接，证明，得出，证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：延长并延长，使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， 故答案为：． 题型11.三角形中位线的证明问题 37．如图，在中，点 D、E、F 分别是的中点，则图中与全等的三角形有（    ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．根据中位线定理，利用直接证明三角形全等即可． 【详解】解：在中，点 D、E、F 分别是的中点， ， ， 故选：C． 38．如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 39．如图，的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若的面积为24，则的面积为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用平行四边形的对角线、相交于点，可得，即点为的中点，由于点为的中点，所以为的中位线，可得，且；利用可得，进而得出；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用，可得，利用，可得，答案可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，三角形的面积，三角形全等的判定与性质，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比是解题的关键． 题型12.三角形中位线的实际应用 40．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 41．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 42．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题型13.平行四边形的动点问题 43．如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答． 根据平行四边形的性质得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 当为2秒时，四边形是平行四边形． 故答案为：2． 44．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出，求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 45．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 题型14.平行四边形的折叠问题 46．如图，E、F分别是的边上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的边的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出即可． 【详解】解：∵四边形沿翻折，得到， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 作于H，如图， 在中，， 又， ∴， ∴， 即的边的高是． 47．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握这些性质并能综合运用，推导出线段之间的等量关系是解题的关键． 先利用平行四边形的性质得到对边相等，再根据折叠性质和等边三角形的性质，推导出的边长，进而求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由折叠性质可知，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，平行四边形的性质，勾股定理，分别判断点落在三边时的长，再求出点落在的内部（包括边界）时的范围即可． 【详解】解：过作于，于， ∵中，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵把沿折叠到的位置， ∴，，， ∴， ∴点落在左边， 当点落在上时，，则与重合，此时，； 当点落在上时，如图，过作交直线于， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点落在的内部（包括边界），则的范围是， 故答案为：． 题型15.平行四边形的最值问题 49．如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到．取中点K，连接，过D作交的延长线于N，证明，推出，得到，根据勾股定理得出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∵， ∴， ∵H是中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ，中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 50．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 51．如图，在中，，，点在边上，，连接，点为上的动点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先理解题意，得出点的运动轨迹是，再过B作，此时的最小值即为的长度，然后结合平行四边形的性质证明是等边三角形，是等边三角形，运用三线合一的性质以及勾股定理得出，同理得，，根据平行线之间距离处处相等得出，即可作答． 【详解】解：过点作与平行的直线，分别与的延长线交于点W，与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∵点为上的动点，点为的中点， ∴点的运动轨迹是， 过B作，交于点G， 此时的最小值即为的长度， ∵， 当与点A重合时，则T与Y重合，即Y是AD的中点， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过作， ∵是等边三角形， 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴（平行线之间距离处处相等）， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线之间距离处处相等，垂线段最短，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解答题 52．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长，的周长， ∴，即， ∴； （2）解：，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 53．如图，在中，，分别延长、到点，，使得和都是正三角形．求证：； 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质以及等边三角形的性质得出相等的角和相等的线段，通过等量代换得到， 进而论证，最后根据“对应边相等”即可得证. 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，， 和都是正三角形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ． 54．如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，可得，由平行四边形的性质得，，即得，和间的距离相等，由三角形的面积公式可得，故点即为所求，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 55．已知，，求证：四边形为平行四边形 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质可得，易证可得，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 56．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，过E作于H，根据等面积法求出，再根据平行线间的距离的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 过E作于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与所在直线之间的距离为4.8． 57．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 58．如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明：分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 59．如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和平行四边形的性质，掌握利用折叠的边相等性质，将两个三角形的周长和转化为平行四边形的周长，再通过半周长与三角形周长的关系求边长是解题的关键． 利用折叠的性质得到对应边相等，再结合平行四边形的周长公式，通过两个三角形的周长和求出平行四边形的半周长，最后代入的周长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可得， 的周长的周长的周长． 四边形为平行四边形， ， 的周长， ． 60．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 【答案】(1) (2)的值不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图所示，连接，由四边形是平行四边形，得到，求得，于是得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． （2）解：的值不变． 如图，连接． 四边形是平行四边形，， ． ， ， ． ，， ，， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题是平行四边形综合性题目，考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，解决本题的关键是灵活运用知识点.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形专项训练 题型01.平行四边形的性质 题型02.求平行线间的距离 题型03.利用平行线间距离解决问题 题型04.平行四边形的判定 题型05.平行四边形计数与三点构成问题 题型06.证明四边形是平行四边形 题型07.由平行四边形判定与性质求解 题型08.由平行四边形性质与判定证明 题型09.平行四边形性质和判定的应用 题型10.三角形中位线的求解问题 题型11.三角形中位线的证明问题 题型12.三角形中位线的实际应用 题型13.平行四边形的动点问题 题型14.平行四边形的折叠问题 题型15.平行四边形的最值问题 解答题9题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 符号语言：在△ABC 中，若 D、E 分别是 AB、AC 中点，则 DE∥BC 且 DE=BC 题型01.平行四边形的性质 1．已知平行四边形，和是对角，，求的度数_______ 2．如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，若，，则______．    3．如图，在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 5．如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F，若，，，求为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 题型02.求平行线间的距离 8．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间的距离是______． 9．如图，直线 l1∥l2∥l3，且 l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为3．把一块含有 45°角的直角三角板如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上， 则△ABC的面积为______． 10．如图，在中，，，，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，点在边上，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型03.利用平行线间距离解决问题 11．如图，已知在中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则______． 12．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 13．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 题型04.平行四边形的判定 14．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：________，使四边形AECF是平行四边形．    17．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 题型05.平行四边形计数与三点构成问题 18．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 19．如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） . A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 21．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 题型06.证明四边形是平行四边形 22．在四边形中，．则此四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 23．如图，在中，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是______．    24．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型07.由平行四边形判定与性质求解 25．如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，于点．当时，_____． 27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 题型08.由平行四边形性质与判定证明 28．如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是______． 30．在中，，点，分别是的中点，于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型09.平行四边形性质和判定的应用 31．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 32．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 33．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10.三角形中位线的求解问题 34．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 35．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 36．如图，在中，分别是边上的点，且,连接．分别取的中点，连接，则的长为(  ·) A． B． C． D．3 题型11.三角形中位线的证明问题 37．如图，在中，点 D、E、F 分别是的中点，则图中与全等的三角形有（    ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______． 39．如图，的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若的面积为24，则的面积为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 题型12.三角形中位线的实际应用 40．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 41．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 42．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 题型13.平行四边形的动点问题 43．如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 44．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 45．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 题型14.平行四边形的折叠问题 46．如图，E、F分别是的边上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的边的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 47．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 48．已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是______． 题型15.平行四边形的最值问题 49．如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为______． 50．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 51．如图，在中，，，点在边上，，连接，点为上的动点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 解答题 52．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 53．如图，在中，，分别延长、到点，，使得和都是正三角形．求证：； 54．如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 55．已知，，求证：四边形为平行四边形 56．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 57．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 58．如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 59．如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 60．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $