精品解析：北京市第二中教育集团2025-2026学年第二学期九年级数学限时练习(4月2日)

初三（下）数学学科限时练习（4月2日） 一、选择题（本大题共8小题，共32分） 1. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“B”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于点成中心对称， 则对称中心点的坐标是______． 11. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为______． 12. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 三、解答题（本大题共．5小题，共36分） 17. 计算：． 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 19. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 21. 如图，在中，，点为边上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线的距离； （2）如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三（下）数学学科限时练习（4月2日） 一、选择题（本大题共8小题，共32分） 1. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“B”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵十亿， ∴． 2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ， 故选：B． 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以开头或以结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 【详解】解：列举出所有等可能的结果如下： - - - - 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码， ∴他设置的密码不会被系统排除的概率是． 7. 如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决． 【详解】由题意可得， OC为∠MAN的角平分线， ∵OA=OB，OC平分∠AOB， ∴OC⊥AB， 设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E， ∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB， ∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3， ∴CD=4， ∵， ∴， 解得，BE=， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确． 【详解】设正方形OABC的边长为a， 则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）． ∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900， ∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确． 根据勾股定理，，， ∴ON和MN不一定相等．结论②错误． ∵， ∴．结论③正确． 如图，过点O作OH⊥MN于点H，则 ∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM． ∵∠MON=450，MN=2， ∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50． ∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1． ∴． 由得，． 解得：（舍去负值）． ∴点C的坐标为．结论④正确． ∴结论正确的为①③④3个． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于点成中心对称， 则对称中心点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接与的对应点，其对应点连线的交点，即为对称中心点，进而得出坐标． 【详解】解：如图，连接，，两连线的交点，即为对称中心点， ∴对称中心点的坐标是． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、中心对称图形的定义，解本题的关键在正确找出对称中心． 11. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，合理作图是关键． 根据题意，由圆内接四边形得到，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴四边形是圆内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴所对的圆周角度数为， 故答案为：． 12. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为， 故答案为：． 13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 【答案】450 【解析】 【分析】本题考查了以样本估计总体的方法，通过样本100名学生中成绩不低于90分的学生占比直接乘以学生总数，便可估计出总体学生中成绩不低于90分的学生数量． 【详解】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的， 则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为：（名）， 故答案为：450． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键在于相似三角形的运用． 先由，设，则，再得到，那么可得，最后由由列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ． 故答案为：． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 ①. 53 ②. 28 【解析】 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 三、解答题（本大题共．5小题，共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简负整数指数幂、零指数幂、三角函数和二次根式，再算乘法，最后算加减即可求解． 【详解】解： ． 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 19. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接，     ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用等角的余角相等即可证明，再利用等腰三角形的判定定理即可证明； （2）设，则，利用三角函数的定义求出，根据勾股定理得出的长，然后利用，可得半径的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 21. 如图，在中，，点为边上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线的距离； （2）如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ∵，点为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为线段中点， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； （2）连接，交于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【小问1详解】 解：过点作延长线于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $