精品解析：北京市第二中教育集团2025-2026学年第二学期九年级数学综合练习试卷

北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 未来将是一个可以预见的 时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 3. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C. 抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 4. 如图，是的直径，C，D是上两点，若点C为弧中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 7. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当 取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到 （的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 11. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 12. 点，在二次函数的图象上，若 ，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 13. 如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为_____． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 15. 如图，在正方形中，点在上， 于点， 于点．若 ， ，则的面积为_________． 16. “北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 已知实数是的根，求的值． 19. 如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下： ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆． 即为所求作的圆． （1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． 垂直平分， ， ． 四边形是矩形， ． ． 为半径， 与相切．（______）（填推理的依据） 垂直平分线段， ______． ． 经过，两点且与边相切． 20. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 22. 已知，二次函数 （，， 是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当 时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 23. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 24. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点的离地高度为 ； （2）求出该抛物线的解析式； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 25. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在弦上，过点作半圆的切线交射线于点，与半圆交于点，且． （1）求证：平分 ； （2）若半圆的半径为，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为． （1）求b的值； （2）当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； （3）过点P作 轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围． 27. 在 中， ， ，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转 得到线段，连接，取的中点F，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：； （2）如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②用等式表示的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． （1）如图，的半径为，直线， ①在点，，中，点______是关于直线的映像点，该点与的映像距离为______； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最小时，点的坐标为______； （2）已知点，，点在轴的正半轴上且 为等边三角形．点， 的半径为．若 上存在 关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 未来将是一个可以预见的 时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0）， ∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2． 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C. 抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念，包括必然事件、概率的意义、列举法的适用条件以及频率与概率的关系，因此此题可根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵A选项：射击运动员射击一次，命中靶心不是必然事件，可能发生也可能不发生，∴A错误； ∵B选项：彩票中奖概率并不意味着买100张一定中奖，因为每次购买独立，可能都不中奖，∴B错误； ∵C选项：抛掷图钉时，针尖朝上和朝下不是等可能事件，无法用列举法求概率，∴C错误； ∵D选项：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于常数p，则，符合概率的统计定义，∴D正确． 故选：D． 4. 如图，是 的直径，C，D是 上两点，若点C为弧中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等得到，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：∵点C为弧中点，， ∴， ∴， ∴，故选项A符合． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ，据此求出 的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴，只有A选项的满足． 6. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知 ，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得 ，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴ ， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 7. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当 取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即 取得最大值， 故选：C 8. 如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到 （的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边对等角，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质并添加适当的辅助线构造全等三角形． 添加辅助线，先由边角边的判定方法证明与全等，由此可得，再证明 与全等，由此可得，即可验证结论①；根据图形旋转的角度即可验证结论②；先由边边边的判定方法证明与全等，即可得到随着的增大，的长会减小的结论，由此可验证③；再由旋转角度可得到，由等边对等角可验证结论④． 【详解】解：连接，过点作于，于，如图， ∵，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， 在 与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 连接，如图， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ， ∴，，， ∴随着的增大，的长会减小； 当时，； 当时，， ∴的取值范围是，故③正确； ∵ ， ∴， 由旋转可知，； 当时，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据“分式有意义的条件是分母不为零”，令分母，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由代数式有意义得：， 解得． 10. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，用频率的集中趋势来估计概率． 当试验次数很大时，频率会在某个常数附近摆动，这个常数就可以作为该事件发生的概率的估计值.求解计划是观察表格中回复满意的频率数据，随着调查人数的增加，看频率的稳定趋势，从而估计出平台用户回复满意的概率． 【详解】解：从表格中可以发现，随着调查人数的不断增多，回复满意的频率在0.9附近波动． 所以估计平台用户回复满意的概率为0.9． 故答案为：0.9． 11. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形，边长为， ∴ ，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 12. 点，在二次函数的图象上，若 ，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键；先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，抛物线开口向上， 且 ，， ∴点横坐标离对称轴的距离小于点横坐标离对称轴的距离， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角．由旋转得，，则，根据平行线的性质可得，求得，根据求解可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解． 【详解】解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方， 即不等式的解集是：或． 15. 如图，在正方形中，点在上， 于点， 于点．若 ， ，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键．设，则，得出，解，得出，解，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则 ∵ ， ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴的面积为 故答案为：． 16. “北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为： ． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质是解答关键． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质来计算求解． 【详解】计算： ． 18. 已知实数 是的根，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数 是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数 是的根， ∴，即， ∴ ． 19. 如图，在矩形中，求作 ： 经过，两点且与边相切．小明的做法如下： ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆． 即为所求作的圆． （1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． 垂直平分， ， ． 四边形是矩形， ． ． 为 半径， 与相切．（______）（填推理的依据） 垂直平分线段， ______． ． 经过，两点且与边相切． 【答案】（1）见解析 （2）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【解析】 【分析】（1）根据题目提供的尺规作图步骤依次作图即可；（2）根据（1）中所作图形，结合证明过程可知填空内容，完善即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求； 【小问2详解】 解：证明：连接，． 垂直平分， ， ． 四边形是矩形， ． ． 为 半径， 与相切．（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据） 垂直平分线段， ， ． 经过，两点且与边相切． 故答案为：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作垂直平分线，矩形的性质，切线的判定和圆的概念，会尺规作垂直平分线是解题的关键． 20. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接 ，由垂径定理可得．设 半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【小问1详解】 解：如图，连接 ， 过圆心，， ， 设 半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴ 半径为． 【小问2详解】 解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）因式分解法求出方程的解，根据方程有两个互不相等的负整数根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵； ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴或． 22. 已知，二次函数 （ ，， 是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当 时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）二次函数的解析式为  （2） 见解析； 或 ． 【解析】 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入  ，可得 ，， ，即可得二次函数的解析式； （2） 描点连线，画出函数图象即可； 由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，即可得的取值范围；函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴二次函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解： 函数图象如下图： ， 开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，随着增大，减小， 当时，随着增大，增大， 当时， ， 当时，， ∴当 时，的取值范围是． 故答案为：． 函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象和性质，求（自变量）函数的取值范围． 23. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为 ，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为 ， 根据题意得， ， （舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、 ， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 24. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点的离地高度为 ； （2）求出该抛物线的解析式； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 【答案】（1） （2） （3）不能． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）根据表中的数据即可得的答案； （2）根据表中的数据利用待定系数法求出二次函数解析式； （3）把代入函数解析式求解，比较即可得的答案． 【小问1详解】 解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问3详解】 当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 25. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在弦上，过点作半圆的切线交射线于点，与半圆交于点，且． （1）求证：平分 ； （2）若半圆的半径为 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为半圆的直径，是半圆的切线， ∴ ，， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平分 ； （2） 【解析】 【分析】（）由切线的性质和圆周角定理可得， ，再根据等腰三角形和对顶角的性质得 ，即得 ，即可求证； （）连接，设 ， ，由等腰三角形的性质得 ，即得 ，进而由 可得 ， ，得到 ，即得 ，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴设 ， ， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵半圆的半径为 ， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， 在 中， ∵ ，， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为． （1）求b的值； （2）当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； （3）过点P作 轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求出的值； （2）分两种情况：当时；当时，分别画图求解即可； （3）先求出，分两种情况：当或时，当时，分别根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为， 设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解： 由（2）的解答可知：，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵ 轴交抛物线于点， 设， ∴， ∴， 当时， 解得：或， 当或时，， ∴， ∴当时，随m的增大而增大， ∴时，随m的增大而增大； 当时，， ∴， ∴当时，随m的增大而增大， ∴时，随m的增大而增大； 综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或． 27. 在 中， ， ，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转 得到线段，连接，取的中点F，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：； （2）如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析，②，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线定理即可得解； （2）①依据题意补全图形即可； ②先理解题意，证明，得故，又因为，得，即 ，， 进而可求出，又根据为中点，得． 【小问1详解】 证明：∵将线段绕点D顺时针旋转 得到线段， ∴ ， ∴， ∵为中点， ∴在 中， ， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图如图所示； ②，证明如下： 延长至点，使得，连接，延长与交于点， ∵为中点， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， 即， 又∵为中点， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和 ，给出如下定义：若点关于直线的对称点在 上，则称点是 关于直线的映像点，称线段的长度为点与 的映像距离． （1）如图， 的半径为，直线， ①在点，，中，点______是 关于直线的映像点，该点与 的映像距离为______； ②点是 关于直线的映像点，当点与 的映像距离最小时，点的坐标为______； （2）已知点，，点在轴的正半轴上且 为等边三角形．点， 的半径为．若 上存在 关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①作 关于直线的对称，则点必定在，由此作出判断，并计算距离即可； ②连接，与的交点即为所求的点，作，垂足为，容易证明，使用三角函数求出点的坐标即可； （2）设点为 的映像点，同理①可得，点在 的对称上．观察可得，直线过定点，根据对称性可知，结合 的半径为1可得点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上．当外圆与相切时， 最小；当内圆过点时， 最大，分别计算对应的 的值，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图，作 关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在 上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 判断题干的点： 对于，与点重合，不符合题意； 对于，由勾股定理可得，不符合题意； 对于，，符合题意， ∴点是 关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在 上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：点为 关于直线的映像点， 关于直线的对称圆为， 由①可知，点在上， 对于直线，当 时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心， 为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即 最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 轴，轴，， ∴， ∴， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即， ②当内圆过点时，圆最大，即 最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系和轴对称的性质，运用逆向思维将圆反对称回去是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $