专题08 导数与不等式放缩问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题08 导数与不等式放缩问题 目录 典例详解 类型一、与，有关的放缩 类型二、与，，有关的放缩 类型三、与数列有关的不等式放缩问题 压轴专练 类型一、与，有关的放缩 利用导数证明不等式时，经常会遇到和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明． 1.常见的指数放缩 (1)放缩成一次函数：，，； (2)放缩成二次函数：，； (3)放缩成类反比例函数：，； 2.常见的对数放缩 (1)放缩成一次函数：，，； (2)放缩成二次函数：，， ； (3)放缩成类反比例函数：，，，． 3.常见的指对放缩 ． 4.核心原理（切线放缩） 利用函数在某点的切线方程对原函数进行单向放缩，核心依据：凸/凹函数在切点处与切线相切，且函数图像全程在切线一侧（凸函数≥切线，凹函数≤切线），通过切线的一次函数替代复杂函数，实现化繁为简，用于不等式证明、最值求解。 结论：函数在处的切线为，若为凸函数，则切线方程；若为凹函数，则切线方程（等号仅在处成立） 例1．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同构变形得到，设，故，构造函数得到在上恒成立，故只需在区间上单调递增，求导，得到当时，在区间上恒成立，从而得到答案. 【详解】不等式可化为，设， 则不等式满足， 设，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以在上恒成立， 故要不等式解集为， 只需在区间上单调递增，而， ，故，即，其中，， 故当时，在区间上恒成立， 所以实数的取值范围为. 故选：A． 变式1-1．已知，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先利用导数证明和，再利用其放缩得出，最后利用基本不等式即可求最值. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时， 则，等号成立时，即，等号成立时； 则，等号成立时，，等号成立时， 则， 等号成立时， 所以， 等号成立时，显然时成立， 综上，当时，取最小值. 故答案为：. 变式1-2．已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数的单调性，分类讨论进行求解即可； （2）构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值，结合新函数的最值进行求解即可； （3）根据（2）的结论，构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，即当时，单调递减； 当时，即当时， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述：当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）， 当， 时， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想对任意的恒成立， 只需， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知：当时，不等式恒成立， 当时，有， 即， 令， 所以， 即， 令， 当时，单调递增， 所以当时，， 即，所以. 变式1-3．已知（为自然对数底数，，）． (1)若在R上单调递减，求a的取值范围. (2)若存在两个极值点，（<），，求证：. (3)试探究：对，是否存在不为1的正整数a使得恒成立． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在 【分析】（1）根据函数单调递减得出恒成立，转化为求解最值即可； （2）根据题意得出，为的两根，有，令，得即可求出； （3）根据题意得出，分类讨论，再令求导判断单调性，最后借助即可求出. 【详解】（1），由在R上单调递减，则恒成立， 令，则，令，得；令，得． 故在单调递增，在单调递减． 则． 则． （2）由若存在两个极值点，， 结合（1）知时，时， 则且，为的两根，． 有，则． 则，． 记，则，， ． 因为，即，所以，所以，所以． （3）不等式即，即． 当时，且均成立． 当时，．记． 则． 记，则． 因，则恒成立，则在单调递增． 则，由得；由得． 则在单调递减，在单调递增． ，故． 记，则，则在单调递减，在单调递增． 且，时；时． 同时观察到，． 故存在使得，由可知． 则存在正整数使得不等式成立． 类型二、与有关的放缩 对于含有三角函数的不等式的证明，其三角函数部分可以采用有界性或常见的三角不等式进行放缩处理，为整个不等式的证明创造条件． 1.常见的三角放缩不等式有： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（多选）时，下列不等关系能成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据各选项的不等式构造函数，再依次求出导数并借助函数的单调性推理判断即可. 【详解】对于A，，求导得， 函数在上递减，，即，A正确； 对于B，令，求导得，函数在上递增， ，即；令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，B正确； 对于C，令，求导得，函数在上递减， ，则，因此，C错误； 对于D，令，求导得，令， 求导得，令，求导得， 函数在上递增，而，存在， 使得，当时，，当时，， 函数在上递减，此时； 在上递增，此时， 即，函数在上递减，，因此，D正确. 故选：ABD. 变式2-1．若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得时恰有一个解，由满足上式，从而得到时无解，令，，求出的值域，即可得到关于的不等式，解得即可. 【详解】因为时曲线与恰有一个交点， 所以当时恰有一个解， 即当时恰有一个解， 显然满足， 所以当时无解， 即时无解， 令，， 则，所以为偶函数， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又当时，所以， 综上可得在上恒成立， 所以当时，又为偶函数，所以当时， 由上述分析可得与在无交点， 所以或，解得或， 即的取值范围为. 故选：D. 变式2-2．下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 【答案】③ 【分析】先证明，将替换为，则，令可判断①；取结合，可判断②；先证明，再通过（），得到，即，利用累加法推出即可判断③；利用放缩法可判断④. 【详解】令，， 当可得，当可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 对于①，将替换为，则，所以， 令得， 即，所以①正确； 对于②，将替换为，则，所以， 可得，故，又由题设得， 故，即，故②正确； 对于③，先证，. 令，，则，故在单调递增， 所以，，， 则得， 又因为， 令，则，故，因此， 则， 则，，故③错误. 对于④，由可得， 则， 即证：，令， ，令， ，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以，故④正确. 故答案为：③. 变式2-3．设函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若，，证明：. 附：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导代入得到，再写出切线方程即可； （2）分离参数得，再设新函数求导得到右边最值即可； （3）累乘得，设，求导得其单调性则有，再结合（2）得，最后累加即可证明. 【详解】（1）由可得切点， 因为 所以， 所以切线方程为，即． （2）在区间上，由恒成立，得， 设，当时，， 故只需研究时的情形．， 设， 在区间上，， 所以，在区间上单调递减，所以， 即在区间上递减，所以， 所以，解得． （3）由，得即， 所以， 令， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 所以当时，，即， 所以当， 当时，有， 又由（2）知当时，，所以， 所以，故， 所以， 所以． 类型三、与数列有关的不等式放缩问题 用导数方法来证明形如（或）的数列型不等式，构造是难点，即构造一个不等式，其一般解题思路为： (1)令（注：有时需要简单放缩或变形，若证， 则令，其中）； (2)证明，而这一步基本上用导数法来完成（即把作为自变量，构造函数，然后用导数法证明）； (3)自累加（若，则采用累乘法），即可得证． 例3．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系，即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据累加法以及放缩法即可判断C；根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D. 【详解】数列中，，，显然，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D，令，求导得， 因此在上单调递增，，于是当时，， 则有，当时，， 则 ， 因此，，则， 显然，所以，D正确. 故选：D. 变式3-1．（多选）已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】赋值计算即得A项；由数列和式的有界性可得，排除B项；由数列递推式中项的关系得到，整理即可判断C项；对于D项，将数列和式进行放缩裂项求和得到，于是可得，进而得到，设，利用求导判断其单调性，推得，即得，进而，故得，赋值累加可得，利用对数的运算性质和对数函数单调性即得. 【详解】对于A，由题意，，解得，故A正确； 对于B，当时，有，则有，故B错误； 对于C，，则得， 即，故C正确； 对于D，考虑不等式两边取对数，若D项正确， 则必有成立. 已知，当时， ， 则得．所以（*）． 设，则， 即函数在上单调递减，则， 即，故有，结合（*）可得， 故 ，即， 而当时，，原不等式成立，故D正确． 故选：ACD． 变式3-2．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，若对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）由得，两式作差，再结合等比数列的定义可证； （2）构造等比数列，再利用等比数列的通项公式即可； （3）先求证数列为递增数列，再通过导函数求证，利用放缩法可得，再计算，即可求出. 【详解】（1）因，则， 两式作差得， 因，则，则， 由递推关系可知，数列各项均不为零，故， 则数列是等比数列； （2）因，则，又， 结合以上递推关系可知，数列各项均不为零，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则； （3）由（2）可知，， 令， 则， 因，则，即，则数列为递增数列， 下面求证：， 令，则， 则在上单调递增，则，即，得证； 下面求证：， 因，则， 则 ， 因，则， 故若对恒成立，则， 又，则b的最小值为. 变式3-3．已知函数在上的最小值为0. (1)求实数a的值； (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1； (3)在（2）的条件下，若为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)2；(2)证明见详解；(3)证明见详解 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，判断的单调性和最值，结合题意运算求解即可； （2）根据题意可得，构造，利用导数判断单调性，结合单调性分析证明； （3）构造，利用导数可得，分析可得，，放缩结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）当时，， 当，即时，则，可知函数在内单调递增， 所以函数在内无最小值，不合题意； 当，即时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取最小值，可得，解得； 综上所述：. （2）由（1）可知：，， 构造，则 可知在上单调递增，则， 所以当时，. （3）因为，则，，，以此类推可得， 构造，则， 可知在内单调递减，则， 因为，可得，即， 则，可得， 即，且，， 可得，即， 则 ， 所以. 一、单选题 1．已知实数满足（e为自然对数的底数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可知，又，所以，即，解方程后可得是二次函数，根据二次函数确定最值即可. 【详解】设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即（当时取等）； 可知， 当且仅当时取等； 又因为， 所以当时，即. 所以，， 解得，当且仅当时，取等号. 故选：D. 2．设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解． 【详解】设函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 故，即，所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递减，当时，， 故当时，，即，所以， 设函数（令）， ， 当时，，故在上单调递增，所以， 而，所以， 综上所述，可得． 故选：A． 3．若，，（其中e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造函数和，求导即可得到函数的单调性，进而可求解. 【详解】设, 则 当单调递增，当单调递减，所以， 故,当且仅当等号成立， 故，故，即， 设，则， 故当单调递增，当单调递减， 因此，因此，当且仅当时取等号， 故，即， 故， 故选：D 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】AB选项，利用作差法比较两个数的大小关系；CD选项，构造函数，利用导数求解函数单调区间，然后利用函数单调性比较两个数的大小关系. 【详解】对于A选项，已知，得：， 由，可得：，故A选项错误； 对于B选项，已知，得：，由，得：， 由， 可得：，故B选项错误； 对于C选项，令，则， 当时，单调递增， 且，， 故存在，使得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由于，此时与大小关系无法确定，故C选项错误； 对于D选项，令，， 令，， 当时，，在区间上单调递减； 因此对于，， 因此可得：当时，，在区间上单调递减； 又，得：，即：，可得：，故D选项正确. 故选：D 5．已知函数，是其导函数.若存在且，满足，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导函数，证明当时，，由此确定函数的单调性，结合单调性比较，判断A，由可得，证明当时， ，由此可证明，判断B，结合对数运算和正弦函数性质判断D，结合基本不等式判断C. 【详解】因为，所以， 当时，，，所以， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 当时，，，所以， 得到内，的大致图象为如图所示， 故当时，，所以函数在上单调递减， 又且，所以，A对. 由得， 即， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即， 又，所以，所以 由题意，则， 所以，又， 所以，B正确. 又，D正确. 因为，从而C错误. 故选：C. 6．过点向曲线：（n为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前n项和为 D． 【答案】D 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】对于A，由可得：， 设直线，联立， 得，则由，即， 解得：（负值舍去），故A错误； 对于B，由韦达定理可得：，， 所以，故B错误； 对于C，因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则，可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：D. 二、多选题 7．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若恒成立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对每个选项分别构造对应函数，通过求导分析函数的单调性、极值与最值，结合函数值的符号判断不等式是否恒成立，从而确定正确选项. 【详解】对于A：，即，令函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值，所以， 即，故选项A正确； 对于B：，即，令函数， 则， 令，则，当时，，单调递减， 又，所以存在时，,单调递减，又， 所以时，，即，所以， 即，B错误； 对于C：因为，即， 令，则， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故函数的最小值是， 若恒成立，则，设， 则由，得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，取最大值为，即，所以不等式的解为， 则不等式的解为，可得，故选项C正确； 对于D：因为单调递增，，所以（函数有意义）， 记， 因为函数和在是增函数，所以在上单调递增， 因为， 所以在上必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 由，得，所以， 所以，所以，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 8．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若中各项均为正数，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据定义数列为“调和数列”，即数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可判断A，利用等差数列的性质有，进而得即可判断B，利用等差数列的性质有，结合基本不等式即可判断C，由得，令利用导数研究单调性得，令，得，利用等差数列前项求和公式即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，所以， 所以是以为公差，首项为的等差数列， 所以，故A正确； 对于B，由数列是等差数列，所以，所以，即，故B错误； 对于C，由数列是等差数列，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，当时，所以，所以， 令，所以， 令，解得，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即在恒成立， 令，所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．设函数，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 四、解答题 11．已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； 【详解】（1）由题意得函数定义域为，． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 先证明不等式，设，则， 所以在上单调递减，故，即． 再证明不等式，设， 则，所以在上单调递增， 故，即． 综上，原命题得证． 12．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，. 13．设函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，求证：在时，． 【答案】(1) (2)当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； (3)证明见解析 【分析】（1）先求导得到斜率表达式，代入和计算斜率与切点坐标，再用点斜式整理切线方程； （2）对导数，根据参数的符号分类，分析导数在定义域内的正负，从而确定单调区间； （3）先将化简为等价的，构造辅助函数，通过求导分析单调性，找到最小值点，利用与代换，证明最小值大于. 【详解】（1）由题意得，所以； 则，又； 所以切线方程，即； （2）， 当时，，则在上为减函数； 当时，令，解得； 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数； 综上：当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； （3）设，则； 令，所以在恒成立， 所以在为增函数； 又， 所以存在，使，即（*）； 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 将（*）代入得； 所以在恒成立， 即在时，． 14．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当对任意的，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故当时，在点处的切线方程为. （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则，即， 所以，，，，累加得， 故，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数与不等式放缩问题 目录 典例详解 类型一、与，有关的放缩 类型二、与，，有关的放缩 类型三、与数列有关的不等式放缩问题 压轴专练 类型一、与，有关的放缩 利用导数证明不等式时，经常会遇到和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明． 1.常见的指数放缩 (1)放缩成一次函数：，，； (2)放缩成二次函数：，； (3)放缩成类反比例函数：，； 2.常见的对数放缩 (1)放缩成一次函数：，，； (2)放缩成二次函数：，， ； (3)放缩成类反比例函数：，，，． 3.常见的指对放缩 ． 4.核心原理（切线放缩） 利用函数在某点的切线方程对原函数进行单向放缩，核心依据：凸/凹函数在切点处与切线相切，且函数图像全程在切线一侧（凸函数≥切线，凹函数≤切线），通过切线的一次函数替代复杂函数，实现化繁为简，用于不等式证明、最值求解。 结论：函数在处的切线为，若为凸函数，则切线方程；若为凹函数，则切线方程（等号仅在处成立） 例1．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则的最小值为__________． 变式1-2．已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 变式1-3．已知（为自然对数底数，，）． (1)若在R上单调递减，求a的取值范围. (2)若存在两个极值点，（<），，求证：. (3)试探究：对，是否存在不为1的正整数a使得恒成立． 类型二、与有关的放缩 对于含有三角函数的不等式的证明，其三角函数部分可以采用有界性或常见的三角不等式进行放缩处理，为整个不等式的证明创造条件． 1.常见的三角放缩不等式有： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（多选）时，下列不等关系能成立的有（   ） A． B． C． D． 变式2-1．若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 变式2-3．设函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若，，证明：. 附：. 类型三、与数列有关的不等式放缩问题 用导数方法来证明形如（或）的数列型不等式，构造是难点，即构造一个不等式，其一般解题思路为： (1)令（注：有时需要简单放缩或变形，若证， 则令，其中）； (2)证明，而这一步基本上用导数法来完成（即把作为自变量，构造函数，然后用导数法证明）； (3)自累加（若，则采用累乘法），即可得证． 例3．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 变式3-2．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，若对恒成立，求b的最小值． 变式3-3．已知函数在上的最小值为0. (1)求实数a的值； (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1； (3)在（2）的条件下，若为数列的前n项和，求证：. 一、单选题 1．已知实数满足（e为自然对数的底数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，（其中e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，是其导函数.若存在且，满足，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 6．过点向曲线：（n为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前n项和为 D． 二、多选题 7．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若恒成立，则 D．若，则 8．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若中各项均为正数，则 D．若，则 三、填空题 9．设函数，若，则的取值范围是____________． 10．已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 11．已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 12．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 13．设函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，求证：在时，． 14．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $