专题07 函数中的双变量问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题07 函数中的双变量问题 目录 典例详解 类型一、对称构造法法求解双变量问题（极值点偏移） 类型二、比(差)值换元法求解双变量问题 类型三、双变量问题中参数的处理策略 压轴专练 类型一、对称构造法求解双变量问题（极值点偏移） 1.对称构造法求解双变量问题时常见的基本步骤： 对称构造法主要用来解决与和之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题步骤如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)转化，即利用函数f (x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f (x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2＞2x0(x0为函数f (x)的极值点)． (2)函数f (x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f (x1)＝f (x2)，求证：x1+x2＞2x0(x0为函数f (x)的极值点)． (3)函数f (x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0. (4)函数f (x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f (x1)＝f (x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0. 例1．已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【详解】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 变式1-1．已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过分离参数，构造辅助函数并利用导数分析单调性，进而求得参数的取值范围； （2）利用函数单调性将和的不等式转化为函数值不等式，通过构造对称辅助函数并换元分析其单调性，完成极值点偏移类的和的不等式证明. 【详解】（1）当时，恒成立， 即恒成立，只需即可， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，在单调递增，所以， 所以在恒成立，在单调递增， 所以，所以，即实数的最大值为2． （2）当时，， 所以，在上单调递增， 又，且，不妨设， 要证，即证明， 因为在上单调递增，即证， 因为，即证， 设 ， 令，则， 则， 由可得，在（0，1）单调递增，所以，即， 所以成立，所以． 变式1-2．已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）（i）令，求导，作出函数图象，结合题意计算可解；（ii）由可得，要证，即证，令，求导，根据导数计算即可得证. 【详解】（1）若，则， 求导， 令，则，解得，负值舍去， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即函数单调递增区间，单调递减区间； （2）（i）若，则， 令，， 令，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 又，所以在区间有唯一零点， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，，当时，， 当时，函数有最小值，即， 作出函数的大致图象如下：    由题意可知有两个不同的零点， 则函数与函数有两个不同的交点，即， 所以的取值范围是； （ii）由（i）可知，，由可得， 要证，即证，即， 因为函数在区间上单调递减，即证， 因为，所以证即可， 设， 则， 当时，恒成立，当且仅当时等号成立， 所以函数在区间单调递减， 所以，即成立， 所以，即成立. 变式1-3．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导得，然后即可得到其单调区间； （2）根据题意可得，得，则直线与函数的图像在上有两个不同的交点，然后求导得到，得到其极值从而得到；令，则，即证. 【详解】（1）当时，. 则. 当时，解得，又，所以； 当时，解得，或，又，所以. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数， 令，得. 令，则直线与函数的图像在上有两个不同的交点. 因为，由，得；由，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以. 又，且当时，且， 由于是方程的两实根，所以. 不妨设，令， 则，即证. 设，则. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，易得； 当时，要证，即证，即证. 因为，所以. 构造函数，易得. 则，所以. 又，所以，即. 所以在上单调递增，. 所以，即. 故，得证. 类型二、比(差)值换元法求解双变量问题 1.比(差)值换元法求解双变量问题的常见思路 比(差)值换元的目的是消参、减元，就是根据已知条件首先建立x1与x2之间的关系，然后利用x1与x2之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．用比值或差值(一般用t表示)表示x1与x2，即t＝或t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题． 例2．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 变式2-1．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)(ⅰ) ;(ⅱ)见解析 【分析】（1）首先分和两种情况去绝对值，再根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）首先将方程转化为，转移为与的图象交点个数求的取值范围，去绝对值后利用导数分析的单调性和图象，即可求解； （ⅱ）利用分析法将所证明不等式转化为证明，根据函数零点的方程转化为证明，再根据，转化证明，再通过构造，换元，则，，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，，， 由条件可知，. （2），得，设， ，，所以在区间上单调递减， 当时，，当时，， ，，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，取得极大值，当时，， 画出函数的图象， 与的图象有3个交点，则； (ⅱ)由（ⅰ）可知，，要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明， 由，，得，即， 所以只需证明，即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. 变式2-2．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； （ⅱ）证明1：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 变式2-3．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）令，由对任意，存在，使得，得，进行求解； （3）由（1）知，，由，得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，利用导数判断单调性进行证明． 【详解】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，得， 由对任意，存在，使得， 得，即，得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得，得，得， 要证，即证，即证，即证， 因为，所以， 即证，即证，即证， 令，即证， 令，得， 则函数在上单调递增，得， 即得证，故命题得证． 类型三、双变量问题中参数的处理策略 消参减元的主要目的是减元，根据x1与x2所满足的关系，利用和差或积商等运算，化简并转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数，并根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数，从而解决问题． 1.选取主元法 指定主变量(选取主元)，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想. 2.整体换元法 整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于x1与x2的双变量问题等价转化为以x1与x2所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想. 例3．已知函数，． (1)若直线与的图象相切，求实数k的值； (2)设，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可解出实数k的值； （2）利用换元法或主元法证明不等关系； 【详解】（1）设切点为，∵， ∴，解得：． （2）解法1（换元法）：，证明如下： 要证，只需证，即证， 也即证，故只需证①， 令，则，且不等式①即为， 整理得：②， 令，，则，， ∴在上单调递增，又， ∴，从而在上单调递增， ∵，∴，故式②成立，∴. 解法2（主元法）：，证明如下： 要证，只需证， ∵，∴，故只需证， 即证，令，， 则，， ∴在上单调递增，又，∴， 从而在上也单调递增，易求得，∴恒成立， ∵，∴，故． 变式3-1．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时． 所以函数的值域为， 即的取值范围是． 变式3-2．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 【答案】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可． 【详解】定义域为，， 有两个极值点，等价于在上有两个不等实根，， ，，，， ， 设，则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为． 故答案为：． 变式3-3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，， 则. 记，则 . 记， 则， 所以在上单调递增，得， 所以，故在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，故，得证. 一、单选题 1．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可得，则所以，即，，故，设，求出的单调性，得出其范围，得到答案. 【详解】由，则 因为函数存在两个极值点， 所以，即 设，则 当时，，则在上单调递减. 所以，所以的取值范围是. 故选：B 2．已知函数，，若，t>0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值. 【详解】由题意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数的图象如图所示.由图可知，当t>0时，有唯一解，故，且， ∴.设，则，令解得t=e，易得在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴，即的最大值为. 故选：C. 3．已知函数，若且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围． 【详解】由题意时，是减函数，且， 时，是减函数，且， 由且得，，，， ，所以， ， 设，， 时，，是增函数，所以，即， 所以． 故选：C． 4．已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 5．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【分析】对求导，由极值点的定义可判断A；将转化为，求出的取值范围可判断B；要使有两个零点，则即可判断C；利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则，则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点，所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 6．已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，，，构造函数，，求导得到函数单调性，若，不妨设，构成差函数，得到，令，故，从而得到，而，故，从而得到答案. 【详解】，，， 构造函数，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值， 若，不妨设， 设，，则， ， 当时，，故在上单调递增， 故，即， 又，故， 因为，所以， 而在上单调递减，故，则， 由于，令，而， 而在上单调递减， ，即， ，而，故，即， 综上，. 故选：C. 二、多选题 7．已知函数，，若，，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可. 【详解】由题意，，得， ∴，即， 又，得 ∵在上单调递增， ∴综上知：， ∴， 令，，则 ∴，得；，得； 故在上单调递减，在上单调递增. ∴， A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项符合题意； C：显然符合题意； D：因为，所以本选项不符合题意， 故选：BC 8．若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 【答案】CD 【分析】举反例判断AB；对于C，先检验时满足题意，当时，由题设可得，设，利用导数分析其单调性，可得，，进而求解判断即可；对于D，由可得或，再结合函数图象求解即可判断. 【详解】对于A，当，时满足，而，故A错误； 对于B，当，时满足，故B错误； 对于C，当时，若，满足，且； 若，由，得， 设，则，而， 设，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则或时，， 所以在和上单调递增， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立． 当时，，当时，， 所以当且时，由，得， 则，即，又在上单调递增，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即； 综上所述，当时，，故C正确； 对于D，若存在，使得，由C知，若，可得， 当时，成立； 当时，得或，即或， 画出函数与函数的图象，易得两图象有交点，故D正确． 三、填空题 9．已知函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可. 【详解】设，即，解得， 所以，令，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 10．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是__________. 【答案】， 【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示为的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值． 【详解】解：，，得， ∵，， 当时，，， 由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，， ， 令，则，， 当时，取得最小值，当时，取得最大值0， 的取值范围是，． 故答案为：，． 四、解答题 11．已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）得到函数后求导数，得到切线斜率，然后由点斜式求得切线方程； （ⅱ）整理不等式得，然后令并求导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求出函数的最小值，然后得到实数的取值范围； （2）由及整理得到，令，构造函数并求导数，由题意得函数在区间上有零点，则函数在上有一个实根，从而得到且有解，建立不等式组解得实数的取值范围，验证后得结论. 【详解】（1）（ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即 （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以， （2）设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，， 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，， 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为 12．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得，消去得， 设，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时，极小值， ，则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0，则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则，即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 13．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使， 又，故， 则当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 故，为的两个极小值点，且满足则 令，得，则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，， 故在内存在唯一零点，即， 且当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 14．已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点； （2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解； （ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可. 【详解】（1）因为，所以． 若，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点． 若，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，且函数无极大值点． 综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0； 当时，函数在区间内极值点的个数为1． （2）（i）由题意知， 所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数存在两个不同的零点，所以，即， 所以实数a的取值范围为． （ii）下面找两个点m，，使得， 注意到，且，于是考虑找点， 下面我们证明：． ①要证，即证，设，要证明， 即设，则，则 所以在上单调递增，得， 所以在上单调递增， 故，即 因此． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 因此，又，故，即， 又，所以．．             ②， 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 因为，即，所以，且， 因此， 因为，所以，所以， 即得证． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数中的双变量问题 目录 典例详解 类型一、对称构造法法求解双变量问题（极值点偏移） 类型二、比(差)值换元法求解双变量问题 类型三、双变量问题中参数的处理策略 压轴专练 类型一、对称构造法求解双变量问题（极值点偏移） 1.对称构造法求解双变量问题时常见的基本步骤： 对称构造法主要用来解决与和之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题步骤如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)转化，即利用函数f (x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f (x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2＞2x0(x0为函数f (x)的极值点)． (2)函数f (x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f (x1)＝f (x2)，求证：x1+x2＞2x0(x0为函数f (x)的极值点)． (3)函数f (x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0. (4)函数f (x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f (x1)＝f (x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0. 例1．已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 变式1-2．已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 变式1-3．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，求证：. 类型二、比(差)值换元法求解双变量问题 1.比(差)值换元法求解双变量问题的常见思路 比(差)值换元的目的是消参、减元，就是根据已知条件首先建立x1与x2之间的关系，然后利用x1与x2之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．用比值或差值(一般用t表示)表示x1与x2，即t＝或t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题． 例2．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 变式2-2．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 变式2-3．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 类型三、双变量问题中参数的处理策略 消参减元的主要目的是减元，根据x1与x2所满足的关系，利用和差或积商等运算，化简并转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数，并根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数，从而解决问题． 1.选取主元法 指定主变量(选取主元)，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想. 2.整体换元法 整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于x1与x2的双变量问题等价转化为以x1与x2所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想. 例3．已知函数，． (1)若直线与的图象相切，求实数k的值； (2)设，比较与的大小，并说明理由． 变式3-1．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 变式3-3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 一、单选题 1．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若，t>0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 6．已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，，若，，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 三、填空题 9．已知函数，若，则的最小值为______. 10．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是__________. 四、解答题 11．已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 12．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 13．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 14．已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $