精品解析：辽宁抚顺市新宾满族自治县永陵中学2025--2026学年下学期九年级数学3月质量检测

2026年九年级数学3月质量检测 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在7，四个数中，最小的数是（ ） A. 7 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 2. 随着芯片技术的不断发展，某款微型传感器的核心部件厚度仅为0.00000045米，用科学记数法表示0.00000045，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，对于绝对值小于1的数，n为负数，的绝对值等于原数变为时小数点向右移动的位数． 【详解】解：． 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形， 的左视图是， 故选B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：． ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示解集为： 5. 下列大自然生物的结构或形态对应的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 植物叶子 B. 蝴蝶 C. 蜘蛛网 D. 海螺 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 7. 如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，在矩形中，，，，由旋转的性质得，，在中，得出，即可得，根据，得出，根据，得出 ，根据，得出． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在矩形中，，，， 由旋转的性质得，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等腰三角形， ∴ ， ∵， ∴． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了大量实际应用问题，其中“粟米之法”广为流传．大意为：今有商贩售卖两种品质的粟米，甲种粟米3斗与乙种粟米2斗，共值银13两；甲种粟米2斗与乙种粟米3斗，共值银12两．设每斗甲种粟米值银x两，每斗乙种粟米值银y两，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意提取两个等量关系，列出方程组即可得到正确选项． 【详解】解：∵设每斗甲种粟米值银两，每斗乙种粟米值银两， 由甲种粟米斗与乙种粟米斗共值银两，可得方程， 由甲种粟米斗与乙种粟米斗共值银两，可得方程， ∴所列方程组为． 9. 如图，在中，，平分交于点D，是的垂直平分线，且交于点Q，交于点P，连接和．若， ，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据是的垂直平分线，得出，是的中点，则，结合，的内角和为，得出，则，即可得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出． 【详解】解：如图： ∵平分交于点D， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，是的中点， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 是的中点， ． 10. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 2 y m 3 3 现有下列结论： ①；②若，则当时，y随x值的增大而增大；③当 时，；④当时，关于x的一元二次方程的解是，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格中的点坐标得到c的值和抛物线对称轴，推导出a与b的关系，再逐个判断每个结论的正误． 【详解】解：∵当时，，代入得， ∴①正确； ∵点和都在抛物线上，两点纵坐标相等， ∴抛物线对称轴为直线，即，整理得， 若，抛物线开口向上， ∴当时，随值的增大而减小， ∵， ∴时，随值的增大而减小，②错误； ∵当时，，代入得： ， ∵，， ∴，即， ∴③正确； 当时，，代入得， ∴， 将代入方程得： ， 因式分解得， 解得， ∴④正确； 综上，正确的结论有①③④，共3个， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解______________________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果 【详解】解: =3() = 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 为丰富校园数学文化节活动，学校设置了“数学谜题闯关”抽奖箱，箱内共装有5张形状大小完全相同的奖券，其中2张为“定制数学书签”奖券，2张为“趣味几何模型”奖券，1张为“空白纪念券”，参与者只有一次抽奖机会，要求一次随机抽取2张奖券，则抽到的2张奖券都是“定制数学书签”奖券的概率为_______． 【答案】##0.1 【解析】 【详解】解：将2张“定制数学书签”奖券分别记为,，2张“趣味几何模型”奖券分别记为,，“空白纪念券”记为， 列出所有一次抽取2张奖券的等可能结果： ，，，，，，，，，， 共有种等可能的结果，其中抽到的2张都是“定制数学书签”奖券的结果只有种， ∴． 13. 如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为__________．（精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 14. 如图，的顶点A在x轴上，轴，D是边的中点，连接，反比例函数经过点B和点D．若，则k的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据是边的中点，得出，如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则，证明，得出，设，，则，，则． 根据点B，D都在反比例函数的图象上，得出，则，． 根据四边形是平行四边形，，得出，求出，即可求出． 【详解】解：∵是边的中点， ， 如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， 则， ， ． 设，，则，． ∴． ∵点B，D都在反比例函数的图象上， ∴，即． ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ， ∴， ． 15. 如图，在正方形中， ，点E在的延长线上，连接，点M在上，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据四边形正方形，得出，，证明．得出，则，得出当最小时，最小．证明，得出；如图，取的中点O，连接，则，即可得点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动．当点A，M，O共线时，最小．在中，由勾股定理求出，即可求出，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形正方形， ∴，， ，， ∴． ， ， ∴当最小时，最小． ，， ∴， ， ， ； 如图， 取的中点O，连接，则， ∴点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动． 当点A，M，O共线时，最小． 在中，，， 由勾股定理，得， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的除法、绝对值的性质、负整数指数幂的意义化简，再计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为响应“绿色校园”建设号召，某中学计划在教学楼南侧空地搭建一个矩形绿植角，用于种植多肉和绿萝，学校计划投入一笔资金购买多肉和绿萝．已知绿萝的单价是多肉单价的倍，用300元购买多肉的数量比购买绿萝的数量多10盆． （1）求购买每盆多肉和每盆绿萝各需多少元； （2）学校计划两种植物共购买60盆，且购买的总费用不超过800元，则绿萝最多能购买多少盆？ 【答案】（1）购买每盆多肉需10元，购买每盆绿萝需15元 （2）绿萝最多能购买40盆． 【解析】 【分析】（1）设购买每盆多肉需x元，则购买每盆绿萝需元，根据“用300元购买多肉的数量比购买绿萝的数量多10盆”，列方程求解即可． （2）设购买绿萝a盆，则购买多肉盆，根据“购买的总费用不超过800元”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买每盆多肉需x元，则购买每盆绿萝需元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买每盆多肉需10元，购买每盆绿萝需15元． 【小问2详解】 解：设购买绿萝a盆，则购买多肉盆． 根据题意，得， 解得：． 答：绿萝最多能购买40盆． 18. 为提升学生体育锻炼积极性，某校开发了“校园运动打卡”小程序，记录学生每日运动时长（单位：分钟）．项目小组随机抽取了该校九年级部分学生的单日运动打卡数据，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：运动时长分组表： 分组 A B C D E 分钟 人数 8 a 10 13 b 信息二：运动时长分组人数的扇形统计图： 信息三：运动时长C组的数据（单位：分钟）如下：80，86，88，90，95，96，100，105，110，115． 信息四：学校计划对运动时长小于40分钟的学生开展运动指导，对运动时长120分钟及以上的学生颁发“运动达人”勋章． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求表中a和b的值； （2）求所抽取的学生运动时长的中位数； （3）已知该校九年级有800名学生，估计能获得“运动达人”勋章的学生人数． 【答案】（1） （2）所抽取的学生运动时长的中位数为87分钟 （3）估计能获得“运动达人”勋章的学生约有272人 【解析】 【分析】（1）先根据D组的数据和占比求出总人数，再根据B组的圆心角度数得出占比，即可求出B组的人数，利用总人数减去其余人数即可求解． （2）根据中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中能获得“运动达人”勋章的学生人数所占比例即可； 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）． ， ． 【小问2详解】 解：将这50个数据按从小到大的顺序排序，A和B两组的总人数为，A、B、C三组的总人数为，故第25个数，第26个数位于C组， 第25个数，第26个数分别为86，88， 中位数为． 所以抽取的学生运动时长的中位数为87． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计能获得“运动达人”勋章的学生约有272人． 19. 辽宁某农场为提高农业生产效率，采用无人机进行农药喷洒作业．无人机从离地面6米的A点起飞后，沿抛物线形轨迹飞行进行喷洒，当到达与A点水平距离为5米时，无人机达到最高点C，C点到地面的垂直距离为8米，继续沿抛物线轨迹下降，最终着陆，根据无人机的运动轨迹建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． （2）农场在D处为无人机搭建了安全着陆台，其竖直截面为直角梯形，下底在地面（x轴）上， 米，上底米，梯形的高米，且下底左端点D到无人机起飞点的水平距离米．请判断无人机的着陆点是否落在该梯形着陆台面上，并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到点，代入抛物线得到无人机对应的高度，由此即可判定． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，抛物线过点， 设无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为， 将点代入抛物线，得， 解得， ∴无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上．理由如下： 根据题意，得点， 当时，， 当时，， ∵ ∴无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上． 20. 【综合与实践】 利用二次函数优化草莓种植棚面积，提升收益． 【实践背景】 辽宁丹东某草莓采摘园为扩大优质草莓种植规模，计划搭建一块矩形种植棚．如图，种植棚一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），另外三面及棚内一条横向分隔围栏（与墙平行，宽度不计）均使用总长为42米的保温塑料围栏，其中两边各开有一扇1米的小门．为了让种植收益最大化，采摘园邀请同学们参与实践计算． 【实践任务】 （1）设矩形种植棚与墙垂直的边长为x米，种植棚的总面积为y平方米，请写出y与x之间的函数关系式，并结合实际情况确定自变量x的取值范围． （2）若每平方米草莓年产量为8斤，草莓每斤售价15元，每平方米草莓种植及其他成本（含肥料、人工、围栏等）为50元，则当x取何值时，种植棚的年收益最大？最大年收益是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，种植棚的年收益最大，最大年收益是8470元 【解析】 【分析】（1）根据题意得到与墙平行的边长为米，根据面积公式列式得到函数关系式，由墙的长度与矩形的边长的关系列不等式组并求解得到x的取值范围； （2）根据题意得到，结合二次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意与墙平行的边长为米， ∴y与x之间的函数关系式为， 根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：种植棚的总面积为y平方米，每平方米草莓年产量为8斤，草莓每斤售价15元，设种植棚的年收益为w元， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，且， ∴当时，取最大值，， 答：当时，种植棚的年收益最大，最大年收益是8470元． 21. 如图，是的直径，C是上的一点，连接，． （1）尺规作图：过点C作的切线交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点A作交的延长线于点E，若，，请补全图形并求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂线交的延长线于点D即可； （2）根据题意补全图形．根据，是的直径，得出，则，根据是的切线，得出，在中，根据，得出，在中，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，切线即为所求． 【小问2详解】 解：补全图形如图所示． ∵，是的直径， ， ∴， ∵是的切线， ， ， 在中， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ∴的半径为． 22. 在四边形D中，M是边上一点，连接交对角线于点E，点N在边，上运动，连接交于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，点N在边上， ，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长． （3）如图3，，点N在边上， ，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，，证明，即可证明． （2）设，则．由（1）知，则，，，证明，得出，即，求出，得出，即． （3）如图，过点F作于点G，过点C作于点H．则，根据，得出，设．根据，得出．证明，得出，．证明，得出，结合，得出，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 由（1），知， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点F作于点G，过点C作于点H． ， ， ， 设． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 23. 定义：对于平面直角坐标系中的函数图象上的点，满足，那么这个点P叫做这个函数图象上的“逆反点”．例如：一次函数的图象上，存在一点，则M为一次函数图象上的“逆反点”． （1）判断函数的图象上是否存在“逆反点”？如果存在，求出“逆反点”的坐标．如果不存在，请说明理由． （2）如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），函数图象上有且只有一个“逆反点”． ①过点A的直线与二次函数的图象交于第四象限的点C，交直线于点D，若，求点C的坐标． ②点M，N均在这个二次函数的图象上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为，将此抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象G．当点M在x轴下方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为12时，求m 的值． （3）如图2，为x轴上的动点，过点Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，和两部分组成的图象为，当上恰有2个“逆反点”时，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）存在，或 （2）①；②m的值为2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意把代入计算即可； （2）①根据函数图象上有且只有一个“逆反点”，把代入由判别式得到，即二次函数解析式为，求出，结合图形，设，过点C作x轴的平行线，交y轴于点G，交直线于点H，证明，由相似三角形的性质列式求解得到，再根据两点之间距离的计算即可求解； ②根据二次函数解析式得到点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，结合图形，确定最低点的坐标与最高点的坐标列式求解即可； （3）根据题意得到的解析式，结合当上恰有2个“逆反点”，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：存在，理由如下， 设是函数的图象上的“逆反点”， ∴， 整理得，， ∴， 当时，，当时，， ∴函数的图象上存在“逆反点”，分别是或； 【小问2详解】 解：函数图象上有且只有一个“逆反点”， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ①如图所示，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F， 当时，，解得，，则， 当时，，则， ∴， ∵点是抛物线图象上第四象限的点， ∴设， 如图所示，过点C作x轴的平行线，交y轴于点G，交直线于点H，则点H的纵坐标为， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴； ②二次函数解析式为，点M的横坐标为m，点N的横坐标为，当点M在x轴下方，且， ∴，则， ∴点M的纵坐标为， 点N的纵坐标为， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 此时，图象G的最低点的纵坐标为，最高点的纵坐标为， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，， ∵点M在点N的左侧， ∴，即， ∴， 此时，图象G的最低点的纵坐标为，最高点的纵坐标为， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所示，； 【小问3详解】 解：设函数与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 当时，，当时，，则， ∴， ∵将沿直线翻折后的图象记为，设点A对应点为，点B对应点为，点C对应点为，且点在直线上， ∴， ∴的函数解析式为， ∴， 当上恰有2个“逆反点”时，即与直线有两个交点， ①当与有交点时， ， ∴， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，有两个交点，分别为， 当时，有一个交点，即， 当时，无交点； ②当与有交点时， ， ∴， ， 当时，即时，无交点， 当时，即时，有一个交点， 当时，即时，有两个交点， ∴， 解得，，（舍去）， ∴当时，有一个交点； ③在上有两个交点， 当时，上有两个交点，无交点，符合题意； 当时，上有两个交点，有一个交点，不符合题意； 当时，上有两个交点，有一个交点，不符合题意； 当时，上有一个交点，有一个交点，符合题意； 当时，上无交点，有一个交点，不符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查一函数、反比例函数、二次函数图象的性质，一元二次方程判别式，轴对称图形的心智等知识的综合，理解“逆反点”的含义，结合函数解析式列式求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学3月质量检测 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在7，四个数中，最小的数是（ ） A. 7 B. 0 C. D. 2. 随着芯片技术的不断发展，某款微型传感器的核心部件厚度仅为0.00000045米，用科学记数法表示0.00000045，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列大自然生物的结构或形态对应的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 植物叶子 B. 蝴蝶 C. 蜘蛛网 D. 海螺 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了大量实际应用问题，其中“粟米之法”广为流传．大意为：今有商贩售卖两种品质的粟米，甲种粟米3斗与乙种粟米2斗，共值银13两；甲种粟米2斗与乙种粟米3斗，共值银12两．设每斗甲种粟米值银x两，每斗乙种粟米值银y两，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于点D，是的垂直平分线，且交于点Q，交于点P，连接和．若， ，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 5.5 D. 6 10. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 2 y m 3 3 现有下列结论： ①；②若，则当时，y随x值的增大而增大；③当 时，；④当时，关于x的一元二次方程的解是，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解______________________. 12. 为丰富校园数学文化节活动，学校设置了“数学谜题闯关”抽奖箱，箱内共装有5张形状大小完全相同的奖券，其中2张为“定制数学书签”奖券，2张为“趣味几何模型”奖券，1张为“空白纪念券”，参与者只有一次抽奖机会，要求一次随机抽取2张奖券，则抽到的2张奖券都是“定制数学书签”奖券的概率为_______． 13. 如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为__________．（精确到．参考数据：） 14. 如图，的顶点A在x轴上，轴，D是边的中点，连接，反比例函数经过点B和点D．若，则k的值为__________． 15. 如图，在正方形中， ，点E在的延长线上，连接，点M在上，且，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和化简： （1） （2） 17. 为响应“绿色校园”建设号召，某中学计划在教学楼南侧空地搭建一个矩形绿植角，用于种植多肉和绿萝，学校计划投入一笔资金购买多肉和绿萝．已知绿萝的单价是多肉单价的倍，用300元购买多肉的数量比购买绿萝的数量多10盆． （1）求购买每盆多肉和每盆绿萝各需多少元； （2）学校计划两种植物共购买60盆，且购买的总费用不超过800元，则绿萝最多能购买多少盆？ 18. 为提升学生体育锻炼积极性，某校开发了“校园运动打卡”小程序，记录学生每日运动时长（单位：分钟）．项目小组随机抽取了该校九年级部分学生的单日运动打卡数据，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：运动时长分组表： 分组 A B C D E 分钟 人数 8 a 10 13 b 信息二：运动时长分组人数的扇形统计图： 信息三：运动时长C组的数据（单位：分钟）如下：80，86，88，90，95，96，100，105，110，115． 信息四：学校计划对运动时长小于40分钟的学生开展运动指导，对运动时长120分钟及以上的学生颁发“运动达人”勋章． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求表中a和b的值； （2）求所抽取的学生运动时长的中位数； （3）已知该校九年级有800名学生，估计能获得“运动达人”勋章的学生人数． 19. 辽宁某农场为提高农业生产效率，采用无人机进行农药喷洒作业．无人机从离地面6米的A点起飞后，沿抛物线形轨迹飞行进行喷洒，当到达与A点水平距离为5米时，无人机达到最高点C，C点到地面的垂直距离为8米，继续沿抛物线轨迹下降，最终着陆，根据无人机的运动轨迹建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． （2）农场在D处为无人机搭建了安全着陆台，其竖直截面为直角梯形，下底在地面（x轴）上， 米，上底米，梯形的高米，且下底左端点D到无人机起飞点的水平距离米．请判断无人机的着陆点是否落在该梯形着陆台面上，并通过计算说明理由． 20. 【综合与实践】 利用二次函数优化草莓种植棚面积，提升收益． 【实践背景】 辽宁丹东某草莓采摘园为扩大优质草莓种植规模，计划搭建一块矩形种植棚．如图，种植棚一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），另外三面及棚内一条横向分隔围栏（与墙平行，宽度不计）均使用总长为42米的保温塑料围栏，其中两边各开有一扇1米的小门．为了让种植收益最大化，采摘园邀请同学们参与实践计算． 【实践任务】 （1）设矩形种植棚与墙垂直的边长为x米，种植棚的总面积为y平方米，请写出y与x之间的函数关系式，并结合实际情况确定自变量x的取值范围． （2）若每平方米草莓年产量为8斤，草莓每斤售价15元，每平方米草莓种植及其他成本（含肥料、人工、围栏等）为50元，则当x取何值时，种植棚的年收益最大？最大年收益是多少？ 21. 如图，是的直径，C是上的一点，连接，． （1）尺规作图：过点C作的切线交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点A作交的延长线于点E，若，，请补全图形并求的半径． 22. 在四边形D中，M是边上一点，连接交对角线于点E，点N在边，上运动，连接交于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，点N在边上， ，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长． （3）如图3，，点N在边上， ，，，，求的长． 23. 定义：对于平面直角坐标系中的函数图象上的点，满足，那么这个点P叫做这个函数图象上的“逆反点”．例如：一次函数的图象上，存在一点，则M为一次函数图象上的“逆反点”． （1）判断函数的图象上是否存在“逆反点”？如果存在，求出“逆反点”的坐标．如果不存在，请说明理由． （2）如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），函数图象上有且只有一个“逆反点”． ①过点A的直线与二次函数的图象交于第四象限的点C，交直线于点D，若，求点C的坐标． ②点M，N均在这个二次函数的图象上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为，将此抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象G．当点M在x轴下方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为12时，求m 的值． （3）如图2，为x轴上的动点，过点Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，和两部分组成的图象为，当上恰有2个“逆反点”时，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $