精品解析：辽宁省抚顺市新宾县木奇镇第二中学2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题

2024-2025学年辽宁省抚顺市新宾县木奇二中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某年我国人均水资源比上年的增幅是－5.6%，后续三年各年比上年的增幅分别是0%，3.2%，－8.9%，这些增幅中最小的是（ ） A. －5.6% B. 0% C. 3.2% D. －8.9% 2. 下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 6. 用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正确的变形是（　　） A. （x﹣5）2＝1 B. （x+5）2＝26 C. （x﹣5）2＝26 D. （x﹣5）2＝24 7. 一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球5个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“白球”的概率与“不是白球”的概率相同，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，其中有这样一道数学问题：原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观.请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只大船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，且，，，AE平分交BC的延长线于F点，则CF的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解为______． 12. 关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________． 13. 如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 14. 如图，在中，，，则______． 15. 如图，矩形的边的长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到，若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解二元一次方程组： 17. 春节将至，小南同学决定用零花钱为家里购置一些装饰礼盒和食品礼盒，已知购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元． （1）每个装饰礼盒和食品礼盒各需多少钱？ （2）临近春节商家促销，两种礼盒售价均有所调整，小南分别花费120元和320元购买装饰礼盒和食品礼盒，且购买的装饰礼盒比食品礼盒数量少，每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，则小南购买食品礼盒多少个？ 18. 某校组织了关于奥数知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 若干名同学的成绩频数分布表 分组 频数 4 12 16 ______ 请根据图表信息，解答下列问题： （1）本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______°； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）将此次竞答活动成绩在“”的记为良好，在“”的记为优秀，已知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对奥数知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：，请你分析她的估计是否合理，并说明理由； （4）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚邮票，现有“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同，将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚，请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率． 19. 某文具店以每件10元价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若该文具店每天销售这种文具获利182元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，） 21. 如图，P为外一点，直线交于点D、E，点A在上，于点C，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求半径． 22. 综合与实践：问题情境： 四边形是正方形，对角线相交于点是正方形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点分别为点，直线EF经过点． （1）特例分析：如图1，当点与点重合时，判断四边形的形状，请说明理由，并直接写出与的数量关系． （2）深入探究：如图2，当点与点不重合时，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）类比迁移：如图3，将正方形改为菱形，对角线相交于点是菱形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点分别为点．请直接写出之间的数量关系． 23. 定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点P的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时， ①二次函数关于点P的相关函数为______； ②点在二次函数关于点P的相关函数的图像上，求的值； （2）函数关于点P的相关函数是，则______； （3）当时，二次函数的相关函数的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省抚顺市新宾县木奇二中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某年我国人均水资源比上年的增幅是－5.6%，后续三年各年比上年的增幅分别是0%，3.2%，－8.9%，这些增幅中最小的是（ ） A. －5.6% B. 0% C. 3.2% D. －8.9% 【答案】D 【解析】 【分析】比较这几个数的大小，即可得出增幅最小的数，增幅是负说明比上一年下降了． 【详解】解：∵−8.9%＜−5.6%＜0%＜3.2%， ∴增幅最小的数是−8.9%， 故选D 【点睛】本题考查了正负数，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是比较数的大小． 2. 下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合；并结合图形的特点求解. 【详解】A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误． 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题. 3. 如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线性质求出，根据折叠求出，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠D到， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠性质，注意：平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 4. 如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【详解】解：A、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意； B、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意； C、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意； D、从正面看，底层是三个小正方形，上层是两个小正方形；从左面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值． 【详解】解：50亿光年光年； 故选C． 6. 用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正确的变形是（　　） A. （x﹣5）2＝1 B. （x+5）2＝26 C. （x﹣5）2＝26 D. （x﹣5）2＝24 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-1移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数-10的一半的平方，然后配方即可. 【详解】把方程x2-10x-1=0的常数项移到等号的右边，得到x2-10x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-10x+25=1+25， 配方得（x-5）2=26， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7. 一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球5个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“白球”的概率与“不是白球”的概率相同，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出的值，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【详解】解：取得“白球”的概率为，取得“不是白球”的概率为， 由题意得到， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：A． 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，其中有这样一道数学问题：原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观.请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只大船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用．设有只大船，则小船只，再根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有只大船，则小船只，依题意得 ， 故选：C． 9. 如图，在四边形ABCD中，且，，，AE平分交BC的延长线于F点，则CF的长是( ) A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先证得四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD=6，CD∥AB，从而得到∠F=∠BAF，进而得到BF=AB=9，即可求解． 【详解】解：∵且， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=6，CD∥AB， ∴∠F=∠DAE， ∵AE平分， ∴∠DAE=∠BAF， ∴∠F=∠BAF， ∴BF=AB=9， ∴CF=BF-BC=3． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键。 10. 如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 先求得点，的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点的坐标． 【详解】过点作轴于点，过作于点，如图所示: 则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 点C为边的中点， ， 将向右平移，纵坐标还是， 代入， 得， 解得 ， 向右平移4个单位到 ∴坐标为 ， 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：． 12. 关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________． 【答案】1 【解析】 【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-4=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即（-4）2-4×k×（-4）＞0， 解得k＞-1且k≠0． ∴k的取值范围为k＞-1且k≠0． 故k的最小整数值为1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 13. 如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度． 【详解】解：由题意得，、两点是关于轴对称，纵坐标都为，代入解析式，得 ，解得：，， ∴米， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，过点D作交于点G，根据得到，，根据的，，进而代入求解即可，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】如图所示，过点D作交于点G， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形的边的长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到，若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得； ②当点恰好落在上时，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴， 在中， ， 同理， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，，矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理，分类讨论思想是解答此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解二元一次方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂和二次根式的乘法运算法则计算； （2）利用等式的性质，加减消元法解方程组； 【详解】解：（1）原式． （2） ，得，③ ③-①，得，解得． 将代入②，得，所以原方程组的解为 【点睛】本题考查负整数指数幂的运算，二次根式的乘法（两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变），加减消元法；熟记其运算规律是解题关键 ． 17. 春节将至，小南同学决定用零花钱为家里购置一些装饰礼盒和食品礼盒，已知购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元． （1）每个装饰礼盒和食品礼盒各需多少钱？ （2）临近春节商家促销，两种礼盒售价均有所调整，小南分别花费120元和320元购买装饰礼盒和食品礼盒，且购买的装饰礼盒比食品礼盒数量少，每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，则小南购买食品礼盒多少个？ 【答案】（1）每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元； （2）小南购买食品礼盒个． 【解析】 【分析】（1）设每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元，购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元．据此列方程组，解方程组即可； （2）设小南购买食品礼盒个，则购买的装饰礼盒,每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，据此列方程，解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元， 解得 答：每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元； 【小问2详解】 设小南购买食品礼盒个，则购买的装饰礼盒, 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； 答：小南购买食品礼盒个． 18. 某校组织了关于奥数知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 若干名同学的成绩频数分布表 分组 频数 4 12 16 ______ 请根据图表信息，解答下列问题： （1）本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______°； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）将此次竞答活动成绩在“”的记为良好，在“”的记为优秀，已知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对奥数知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：，请你分析她的估计是否合理，并说明理由； （4）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚邮票，现有“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同，将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚，请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率． 【答案】（1）40，72； （2）见解答； （3）不合理，理由见解答； （4）． 【解析】 【分析】（1）由成绩在“”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题 （2）根据成绩在“”这一组的人数，即可解决问题； （3）从学生的学段进行说明即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次知识竞答共抽取七年级同学有名， 则成绩在“”这一组的人数为：名， 在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：40，72； 【小问2详解】 解：将频数分布直方图补充完整如下： ； 【小问3详解】 解：不合理，理由如下： 因为初、高中学生对奥数知识的掌握程度不同，该校七年级学生对奥数知识掌握的程度不能代表全校学生， 所以根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥数知识掌握情况达到优秀等级的人数不合理； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的结果有2种， 小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率为 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19. 某文具店以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若该文具店每天销售这种文具获利182元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润多少元？ 【答案】（1），； （2）销售单价应为17元； （3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 设y与x之间的函数关系式为（），由所给函数图象可知：， 解得：， 故y与x的函数关系式为； ∵销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， 又∵， ∴， 答：销售单价应为17元； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，w随x增大而增大， ∴当时，w有最大值，． 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 20. 如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处的俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，） 【答案】隧道的长约为1500米 【解析】 【分析】作，，垂足分别为，，则，在中 得到，；在中得到，从而有． 【详解】解：作，，垂足分别为，，如图所示： ， 在中，，则， （米）， 在中，，则， （米）， 答：隧道的长约为1500米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用题，读懂题意，根据条件选择恰当的三角函数求出相应线段长是解决问题的关键． 21. 如图，P为外一点，直线交于点D、E，点A在上，于点C，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为4 【解析】 【分析】（1）连接，由，，得，则，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，则，，而，，则，可证明，得，则，再证明，则，可求得，所以，于是得，求得，则的半径为4． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵直线交于点D、E， ∴是的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为4． 【点睛】此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22. 综合与实践：问题情境： 四边形是正方形，对角线相交于点是正方形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点分别为点，直线EF经过点． （1）特例分析：如图1，当点与点重合时，判断四边形的形状，请说明理由，并直接写出与的数量关系． （2）深入探究：如图2，当点与点不重合时，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）类比迁移：如图3，将正方形改为菱形，对角线相交于点是菱形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点分别为点．请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析， （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）四边形是正方形，根据旋转可得四边形是菱形，是正方形，根据正方形的性质即可求解； （2）如图所示，延长至，使，连接，可得，根据旋转的性质可得，，由此即可求解； （3）由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，由“”可证,可得，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴四边形是正方形， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到， ∵，，， ∴，， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：，理由如下， 如图所示，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，于点， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，掌握上述知识的综合运用是解题的关键． 23. 定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点P的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时， ①二次函数关于点P的相关函数为______； ②点在二次函数关于点P的相关函数的图像上，求的值； （2）函数关于点P的相关函数是，则______； （3）当时，二次函数的相关函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质， （1）①直接根据相关函数的定义求解即可；②根据二次函数的性质可知顶点坐标为，由相关函数的定义可知新函数的顶点为，可得新函数的表达式为：，最后将点A的坐标代入解析式求得a的值即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答； （3）分、、三种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，点，则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴新函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得． 【小问2详解】 解：函数和函数的顶点坐标分别为，， ∴由中点公式得：， 解得： 故答案为：； 【小问3详解】 解：函数 ∴顶点坐标为， 则相关函数顶点坐标为， 则相关函数的表达式为， ①当，即时，函数在时，取得最小值， 即，无解，故舍； ②当，即时，函数在顶点处取得最小值， 即， 解得(舍)或； ③当，即时，函数在时，取得最小值， 即， 解得：（舍去）或； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $