5.2 勾股定理及其逆定理 课件 -2025-2026学年八年级数学上册（湘教版）

勾股定理 赵爽弦图 情境导入 同学们，你们知道这是谁吗？ 毕达哥拉斯 情境导入 勾股定理的历史 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）． 情境导入 探究一:勾股定理的发现 A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 9 9 13 16 25 文字语言： 两条直角边为边长的正方形面积之和等于斜边为边长的正方形面积 小组合作、探究新知 勾股定理的猜想 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2 a b c 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多． 小组合作、探究新知 探究二 ：勾股定理的证明 拼一拼 ： 如何将四个全等的直角三角形拼成一个正方形？ 小组合作、探究新知 勾股定理的证明 a b-a b c 证明：∵S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 小组合作、探究新知 勾股定理的证明 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4×ab+c2 =c2+2ab 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab ∴a2 +b2 =c2. 小组合作完成证明过程 小组合作、探究新知 文字语言：直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方. 符号语言：a2+b2=c2 a b c 公式变形： 勾股定理： c2 = a2+b2 a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2 注意直角边和斜边 深化新知 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”． 股 勾 勾股定理的历史 课堂练习、巩固应用 1 、如图，在Rt△ABC中， ∠C=90° （1）若a=b=5,求c （2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得 C A B (2)据勾股定理得 2 、已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 归纳总结： 课堂练习、巩固应用 3 、已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值. S5=S1+S2=4 课堂练习、巩固应用 S6=S3+S4=6 S7=S5+S6=10 课堂小结 勾股定理 内容 注意 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 在直角三角形中 看清哪个角是直角 课后作业 必做题：完成学法对应练习 选做题：课后收集有关于勾股定理的证明方法 2 谢谢 $