精品解析：江苏省苏州中学2025-2026学年度第二学期质量评估高一数学试题

江苏省苏州中学2025-2026学年度第二学期质量评估 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有答案均写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 已知向量，且，则向量的方向（ ） A. 与向量方向相同 B. 与向量方向相反 C. 与向量方向相同 D. 与向量方向相反 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 6. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 终边落在直线上的角的集合是 C. 若为第二象限角，则 D. 函数的定义域为 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（ ） A. 若P是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若P是的外心，，，则的最小值是 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 13. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 14. 已知等腰直角中且，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）设，求； （2）若与垂直，求的值； 16. 如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明三点共线． 17. 如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为. （1）求函数的表达式及定义域； （2）求的最大值及此时的值 18. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围. 19. 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=． （Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2025-2026学年度第二学期质量评估 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有答案均写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 2. 已知角的终边过点且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 3. 已知向量，且，则向量的方向（ ） A. 与向量方向相同 B. 与向量方向相反 C. 与向量方向相同 D. 与向量方向相反 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的方向相同或相反，结合模长即可求解. 【详解】因为且， 所以当，同向时，的方向与相同； 当，反向时，因为，所以的方向仍与相同． 故选：A. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象的平移和正弦曲线的对称性即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 6. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】. 故选：A 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和差的正弦公式和正切公式以及正弦函数的单调性对进行比较即可. 【详解】， ， 又，且函数在上单调递增， 所以，故. . 故选：D. 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B. 终边落在直线上的角的集合是 C. 若为第二象限角，则 D. 函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义，正切函数定义域进行判断即可. 【详解】对于选项，如，两角不相等，但是终边重合，故错误. 对于选项，终边落在直线上的角， 在第一象限的角为，在第三象限的角为， 合在一起后为，故正确. 对于选项，若为第二象限角，则， 所以， 当为偶数时，在第一象限； 当为奇数时，在第三象限， 第一，三象限的正切值均为正，故，故正确. 对于选项，令，得，故正确. 故选： 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：若是锐角三角形，则，即，结合正弦函数单调性及诱导公式即可判断；对于C：结合余弦函数单调性判断即可；对于D：由三角形大角对大边可得若，则，再由正弦定理可得，结合余弦二倍角公式即可判断D. 【详解】对于AB：若是锐角三角形，则，即. 因为，，且正弦函数在上单调递增， 所以，又，所以，故A正确，B错误. 对于C：在中，， 又在上为减函数，故，故C正确. 对于D：由三角形大角对大边可得，若，则， 由正弦定理得，，则， 所以，即，故D正确. 11. 如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（ ） A. 若P是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若P是的外心，，，则的最小值是 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为， 联立，消去得，整理得， 即，即， 所以或（舍去）， 即， 所以点的纵坐标， 所以线段的长为． 故答案为： 14. 已知等腰直角中且，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，根据题意得到的坐标，利用参数方程求出的最小值即可. 【详解】 如图所示，以等腰直角三角形的顶点为原点建立平面直角坐标系，在轴，在轴， 则由且得，因此， 点在以为圆心的单位圆上，设， 根据向量关系可得，则， 因此，化简得， 而要使最小，需要最小，也就是最小， 利用辅助角公式得，其中，则， 因此，而， 代入并化简得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）设，求； （2）若与垂直，求的值； 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；（2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴． （2）， 与垂直，∴，∴． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、已知向量垂直求参数，属于基础题. 16. 如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明三点共线． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【小问1详解】 由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； 【小问2详解】 由， 则，所以，即三点共线. 17. 如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为. （1）求函数的表达式及定义域； （2）求的最大值及此时的值 【答案】（1）（2）当时，取最大值. 【解析】 【分析】（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可； （2）令，则，，再求最值即可. 【详解】解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N， 由已知可知， 在中，.，， 梯形ABCD的高， 则. （2）设，则，， 则 ，， 则. ，当时，， 此时，即， ，，，故. 故的最大值为，此时. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题 18. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先将原式整理，得到，得出值域，求出点纵坐标为，推出周期，进而可求出； （2）先由题中条件，和（1）的结果，得到，求出，再由两角和的正弦公式，即可求出结果； （3）先根据函数平移，得到，根据正弦函数的性质，求出时，，令，将问题转为存在使成立，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，即的值域为； 所以点纵坐标为， 又为等腰直角三角形，所以，因此最小正周期为； 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 又，所以， 因此， 所以 ； （3）由题意，可得， 若，则，所以， 令，则可化为， 即， 因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以时，函数单调递减；时，函数单调递增， 所以， 又当时，；当时，， 所以； 因为存在，使成立， 所以存在使成立， 因此只需. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的值域，考查由正弦型函数的周期求参数，考查三角恒等变换，二次函数的性质，以及三角函数的平移与伸缩变换，属于常考题型. 19. 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记 M（）=． （Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3) 【解析】 【详解】（Ⅰ），． （Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、， 相应的分别为、、、， 所以中的每个元素应有奇数个， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： 、、、， 、、、， 对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数， 所以集合、、、满足题意， 假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素， 则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为． （Ⅲ）， 此时中有个元素，下证其为最大． 对于任意两个不同的元素，满足， 则，中相同位置上的数字不能同时为， 假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有， 所以除外至少有个元素含有， 根据元素的互异性，至少存在一对，满足， 此时不满足题意， 故中最多有个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $