精品解析：辽宁沈阳市第二十中学2025-2026学年度高二下学期期初考试数学试卷

2025-2026学年度（下）沈阳市第二十中学期初考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共二部分： 第一部分：选择题型（1一14题73分） 第二部分：非选择题型（15一19题77分） 第I卷（选择题共73分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合題目要求的． 1. 已知等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的前项和的性质可得. 【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 故选：A 2. 为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A与性别有关的把握约为（ ） 患疾病A 不患疾病A 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的列联表得到数据，将其与临界值表进行比较，即可得到答案． 【详解】由公式得， 故有的把握认为疾病A与性别有关， 故选：C． 3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】. 4. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项. 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：， 故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足， 即， 综上取值范围是. 故选：C 5. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 6. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件可得公比和,进而再用基本不等式可得最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，通项为. 由 ​，代入通项得： 两边同除以， 整理得： , 解得正根​（负根舍去）. 再由​得： ，​整理得： 化为指数形式： 即，得： . 等号成立条件：​且，解得，均为正整数，符合条件. 因此​的最小值为. 7. 若等差数列满足且，则数列的前12项和为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 112 【答案】C 【解析】 【详解】设数列的公差为，则，得， 则， 当时；当时， 因为等差数列的前项和为， 前项和为， 则数列的前12项和为. 8. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 10. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用概率的基本性质、条件概率公式及相互独立事件的定义逐项求解判断. 【详解】随机事件A，B，C满足， 对于A，，事件相互独立，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则，，C正确； 对于D，由，得，则，解得，D正确. 11. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则，，是等比数列 C. 若，都是等差数列，前项和为，且，则 D. 若是等比数列，且（，为常数），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列的定义结合与的关系判断即可；对于B，举例即可判断；对于C，根据等差数列的性质及求和公式求解判断即可；对于D，先求出，再根据等比数列的定义求解判断即可. 【详解】对于A，由是等差数列，设其公差为，为常数， 则 ，即， 当时，， 则，为常数， 则是等差数列，故A正确； 对于B，当时，满足是等比数列，而， 此时，，不是等比数列，故B错误； 对于C，由，都是等差数列，， 则，故C正确； 对于D，由，得，，， 则，， ， 因为是等比数列，所以，即， 则，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题；本题共3小題，每小题5分，共15分． 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 【答案】300 【解析】 【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为， 所以， 所以, 所以， 所以估计学生数学成绩在120分以上的人数为. 13. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 14. 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【解析】 【分析】由题可得，，令，解得，，利用分组求和即可求解. 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以， 则 ． 第Ⅱ卷（非选择题共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】（1）分布列见解析，期望为. （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； 【小问2详解】 由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则， 所以， 解得， 所以，， 所以， 所以. 16. 数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） ，或. （2） 【解析】 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为​，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为​，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或​. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. 【小问2详解】 因为，所以. 由​的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】（1） （2） 0 2 3 5 7 8 10 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解； （3）先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . 【小问2详解】 可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 【小问3详解】 记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 18. 已知数列满足，令且数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据退位作差即可求得的通项公式； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求得； （3）由（2）将不等式转化为对恒成立，令，判断的单调性，求出的最小值，得解. 【小问1详解】 因为，① 所以，，② ①②得，整理得，， 又当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1），，，， ， . 【小问3详解】 由（2），， 所以不等式，即对恒成立， 令，则，， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即， 所以， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 19. 一口袋中装有10个小球，其中标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同． （1）某人从中一次性摸出4个球，设事件“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件和事件的概率； （2）现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束．设表示摸球的次数， （i）求随机变量的分布列； （ii）求随机变量的期望，并比较期望与1的大小． 【答案】（1），. （2）（i）的分布列如下 1 2 3 （ii），. 【解析】 【分析】（1）求出从中一次性摸出4个球方法的数目，求出和，利用古典概率公式求得相应的概率； （2）（i）求出的取值，当时，求出，当时，求出，列出分布列；（ii）根据分布列求出，利用错位相减法化简，结合数列的单调性比较大小得解. 【小问1详解】 从中一次性摸出4个球有种方法，，， 所以，. 【小问2详解】 （i）的取值可能为， 当时，，当时，， 所以的分布列为 1 2 3 （ii） ， 令， 则， 两式相减得 ， 所以， 又数列为递增数列，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）沈阳市第二十中学期初考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共二部分： 第一部分：选择题型（1一14题73分） 第二部分：非选择题型（15一19题77分） 第I卷（选择题共73分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合題目要求的． 1. 已知等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2. 为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A与性别有关的把握约为（ ） 患疾病A 不患疾病A 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若等差数列满足且，则数列的前12项和为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 112 8. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 10. 已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则，，是等比数列 C. 若，都是等差数列，前项和为，且，则 D. 若是等比数列，且（，为常数），则 三、填空题；本题共3小題，每小题5分，共15分． 12. 某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 13. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 14. 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 第Ⅱ卷（非选择题共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 16. 数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 18. 已知数列满足，令且数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 一口袋中装有10个小球，其中标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同． （1）某人从中一次性摸出4个球，设事件“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件和事件的概率； （2）现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束．设表示摸球的次数， （i）求随机变量的分布列； （ii）求随机变量的期望，并比较期望与1的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $