期中专项训练3 平面向量应用问题-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

期中专题 专题训练3 平面向量应用问题 考点点拨 【考点1】 用向量解决夹角问题 【考点8】 余弦定理求边（重点） 【考点2】 用向量解决线段长度问题 【考点9】 余弦定理求角（重点） 【考点3】 向量与几何最值 【考点10】 正弦定理求边（重点） 【考点4】 向量在几何中的应用（难点） 【考点11】 正弦定理求角（重点） 【考点5】 向量在物理中的应用——力的合成 【考点12】 正弦定理综合 【考点6】 向量在物理中的应用——速度、位移的合成 【考点13】正余弦定理解决距离问题（难点） 【考点7】 向量在物理中的应用——功的合成 【考点14】正余弦定理解决角度问题（难点） 考点1 用向量解决夹角问题 1．已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 2．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 5．已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(-∞，－) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 考点2 用向量解决线段长度问题 6．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 9．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 10．已知平面四边形满足，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 考点3 向量与几何最值 11．已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 13．若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 15．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 考点4 向量在几何中的应用 16．在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 17．在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 18．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 19．在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 20．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 考点5 向量在物理中的应用——力的合成 21．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 22．若向量分别表示两个力，则（    ） A． B．2 C． D． 23．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（    ） A． B． C． D． 24．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重，则每根绳子的拉力大小为（    ）N A． B． C． D． 25．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 考点6 向量在物理中的应用——速度、位移的合成 26．设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 27．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（    ） A． B． C． D． 28．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为 A． B． C． D． 30．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　) A．2  km B．6 km C．2 km D．8 km 考点7 向量在物理中的应用——功的合成 31．已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 32．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 33．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 34．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（    ） A．1000J B． C．2000J D．500J 35．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ） A．-210 B．210 C．-270 D．270 考点8 余弦定理求边 36．在中，角的对边分别为．若，，，则（    ） A．7 B． C．8 D．9 37．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 38．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 39．已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 40．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 考点9 余弦定理求角 41．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则为（   ） A． B． C． D． 42．已知，，是三边之长，若满足，则（   ） A． B． C． D． 43．在中，内角的对边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 44．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 45．在中，角的对边分别是，已知，则（    ） A． B． C． D． 考点10 正弦定理求边 46．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 47．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 48．在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 49．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 50．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 考点11 正弦定理求角 51．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 52．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（   ） A． B． C． D．或 53．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 54．在中，，，，则（  ） A． B． C．或 D．或 55．在中，已知，，，则角的值为（   ） A． B． C．或 D．或 考点12 正弦定理综合 56．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 57．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 58．已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 60．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 考点13 正余弦定理解决距离问题 61．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 62．3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 63．如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 64．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 65．某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（　　） A．3 B．6 C．3或6 D．4或6 考点14 正余弦定理解决角度问题 66．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 67．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 68．前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（    ） A． B． C． D． 69．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 70．一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题 专题训练3 平面向量应用问题 考点点拨 【考点1】 用向量解决夹角问题 【考点8】 余弦定理求边（重点） 【考点2】 用向量解决线段长度问题 【考点9】 余弦定理求角（重点） 【考点3】 向量与几何最值 【考点10】 正弦定理求边（重点） 【考点4】 向量在几何中的应用（难点） 【考点11】 正弦定理求角（重点） 【考点5】 向量在物理中的应用——力的合成 【考点12】 正弦定理综合 【考点6】 向量在物理中的应用——速度、位移的合成 【考点13】正余弦定理解决距离问题（难点） 【考点7】 向量在物理中的应用——功的合成 【考点14】正余弦定理解决角度问题（难点） 考点1 用向量解决夹角问题 1．已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 答案：B 解析：因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 2．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：解：∵与的夹角为钝角， ∴，且， ，且， 3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 4．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 答案：B 解析：由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 5．已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(-∞，－) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 答案：B 解析：∵与的夹角为钝角，∴－2λ－1＞0，即λ＜－. ∴λ的取值范围是(-∞，－)． 考点2 用向量解决线段长度问题 6．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 7．在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：取中点O，连接， ，即，M为BC边上靠近C的三等分点， ， ，，， 又，，. 8．在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 答案：D 解析：，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 9．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 答案：B 解析：因为，，，所以. 因为， 所以 10．已知平面四边形满足，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 答案：B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则, 设，由， 则，所以， 又，所以， ， 即， 考点3 向量与几何最值 11．已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：由向量不等式可得：， 所以当与方向相反时，最小值为1. 12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 答案：A 解析：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 13．若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是. 14．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 答案：D 解析：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 15．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 答案：C 解析：，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 考点4 向量在几何中的应用 16．在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 答案：D 解析：在四边形中，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形； 又，得，故四边形为菱形. 17．在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 18．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：A 解析：因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 19．在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 答案：A 解析：因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 20．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 答案：B 解析：如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 考点5 向量在物理中的应用——力的合成 21．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：依题意，，则， 即，所以. 22．若向量分别表示两个力，则（    ） A． B．2 C． D． 答案：C 解析：由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 23．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为，所以与的合力与方向相反，长度相等，则由平行四边形法则 可知，只有D项满足. 24．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重，则每根绳子的拉力大小为（    ）N A． B． C． D． 答案：A 解析：如图所示，可得，，且， 所以为等边三角形， 所以，即每根绳子的拉力大小为. 25．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：设的对应向量分别为，以为邻边作平行四边形, 如图，则对应力的合力， ∵的夹角为，∴四边形是矩形， 又合力与的夹角为， 在中，，， ∴. 考点6 向量在物理中的应用——速度、位移的合成 26．设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 答案：A 解析：可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 27．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意，某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为， 根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为. 28．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：设，5秒后P点的坐标为，则， 由题意有. 即 所以解得 29．在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为 A． B． C． D． 答案：C 解析：设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸. 由题意知,, 又,所以. 30．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　) A．2  km B．6 km C．2 km D．8 km 答案：B 解析：设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有 = =12 = 船实际航程为=6． 考点7 向量在物理中的应用——功的合成 31．已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 答案：A 解析：依题意，， 所以合力对质点所做的功为. 32．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 答案：A 解析：由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 33．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即， 解得. 34．如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（    ） A．1000J B． C．2000J D．500J 答案：A 解析：因为且与小车的位移方向的夹角为， 又力作用于小车，使小车发生了40米的位移， 则力做的功为． 35．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ） A．-210 B．210 C．-270 D．270 答案：D 解析：由题意得=(5，10)，故力对冰球所做的功为·=5×6+24×10=270． 考点8 余弦定理求边 36．在中，角的对边分别为．若，，，则（    ） A．7 B． C．8 D．9 答案：D 解析：由余弦定理可得， 故，解得或（舍）. 故. 37．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 答案：C 解析：. 38．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 答案：A 解析：由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 39．已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 答案：C 解析：由余弦定理可得，，即， 整理得，解得或（舍去，因为）， 故． 40．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 答案：A 解析：由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 考点9 余弦定理求角 41．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则为（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：利用余弦定理： 42．已知，，是三边之长，若满足，则（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：， 则，由余弦定理可得， 则，即， 又，则. 43．在中，内角的对边分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由得：， ， ，，即， ，又，. 44．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为，则， 整理得， 所以即， 则， ∵，所以. 45．在中，角的对边分别是，已知，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意，化简得，所以。 考点10 正弦定理求边 46．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 47．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 答案：B 解析：由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 48．在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 49．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因，，则， 由正弦定理，，则 . 50．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 答案：A 解析：因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 考点11 正弦定理求角 51．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析： 由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 52．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（   ） A． B． C． D．或 答案：B 解析：由题设及，则， 又，故C为锐角，且，所以. 53．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 54．在中，，，，则（  ） A． B． C．或 D．或 答案：A 解析：由，，则， 由正弦定理，， 又，则，故. 55．在中，已知，，，则角的值为（   ） A． B． C．或 D．或 答案：C 解析：由正弦定理得，所以，因为， 所以， 所以或， 若，则为直角三角形，则， 所以，则. 考点12 正弦定理综合 56．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：中，由，得， 由余弦定理，，得， 又，所以. 57．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 答案：B 解析：在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 58．已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：. 59．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 答案：C 解析：在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 60．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由，所以， 所以． 考点13 正余弦定理解决距离问题 61．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 答案：D 解析：由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 62．3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：在中，，则，而， 由正弦定理得. 63．如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 答案：C 解析：因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 64．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 答案：C 解析：由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 65．某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（　　） A．3 B．6 C．3或6 D．4或6 答案：C 解析：设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ， （2）若，则，为等腰三角形， ． 故选． 考点14 正余弦定理解决角度问题 66．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 答案：C 解析：因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 67．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析： 由题意， 由余弦定理得，，∴， 由正弦定理得，，即，解得． 68．前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，， 所以在中，， 因为，所以， 69．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：如图所示：设在点处相遇，设，则，    由题知：， 由正弦定理得：，解得. 因为，所以，即. 故选：B 70．一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可知，，海里， 由正弦定理可得=，代入数据得. 学科网（北京）股份有限公司 $