精品解析：河北邢台市卓越联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试题

邢台市卓越联盟2026届高三下4月质量检测 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由题得，，，，只有选项D正确. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，所以， 所以. 4. 已知，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，所以. 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 6. 某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出众数，再根据是否为整数分类讨论后可求的取值范围. 【详解】将数据从小到大排列为5，6，8，8，9，10，11，12，众数为8， 则这组数据的第百分位数为8， 又 ， 若为整数，则，解得； 若不为整数，则或， 解得或，综上，. 7. 设，已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系，将正切化为正弦和余弦，结合二倍角公式化简，转化为关于的一元二次方程求解，舍去不符合取值的根得到的值. 【详解】由题得，即，所以，所以， 解得（舍去）. 8. 已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆和抛物线的对称性可知公共点为原点，利用抛物线焦半径公式求解即可. 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点. 设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个， 由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称的图象恰为的图象 C. 两函数没有相同的零点 D. 两函数在上单调性相同 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设可得解析式，据此可判断选项正误；对于B，验证与是否相等即可判断选项正误；对于C，分别求得两函数零点，据此可判断选项正误；对于D，分别判断两函数在上的单调性即可判断选项正误. 【详解】对于A，由题得，所以，又，所以，A错误； 对于B，，所以两函数图象关于轴对称，B正确； 对于C，令，，，解得，； 令，，，解得，， 令，，，则，，，无解，C正确； 对于D，当时，，单调递减，可得，所以单调递减，D正确. 10. 已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】双曲线关于轴、轴和原点对称 若两直线关于轴、轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等. 对于A，直线与直线关于轴对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确； 对于B，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误； 对于C，直线与直线关于原点对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确； 对于D，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误. 11. 已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先由为偶函数、为奇函数推得的对称轴与对称中心，进而确定周期为4，再赋值求、、，最后利用周期化简求和、判断选项正误. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以. 又为奇函数，所以， 所以，将替换为，得， 所以，所以的周期为4，且. 对于A：在中，令，得.又， 所以，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：当时，， ， ， ， 所以， 所以，D错误. 【点睛】利用函数奇偶性推导对称性与周期性，结合赋值法与周期求和判定选项，核心考查函数对称性、周期性的转化及数列求和技巧. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平面向量坐标表示的加减法及数量积公式即可求解． 【详解】由题得，又，作差得， 所以，， 所以． 13. 记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 【答案】42 【解析】 【分析】根据等差数列下标性质及前n项和公式求得，，进而求得通项公式，然后即可判断数列各项的正负，进而求得的最大值. 【详解】由题得，所以， 又，所以，即， 所以公差，所以， 可得的前6项为正，第7项为0，从第8项起为负， 所以的最大值为. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，. （1）求的值； （2）若边上的高为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量的数量积以及余弦定理化简即可. （2）由三角形的面积公式以及等面积法求解即可. 【小问1详解】 由，得，所以， 由余弦定理得， 即，得，所以， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）得，，， 所以的面积， 又边上的高为，所以， 所以，解得， 所以的周长为. 16. 甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. （1）求甲队第2局获胜的概率； （2）求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可求解. 【小问1详解】 记事件第局甲队胜，， . 【小问2详解】 记事件“比赛不超过4局且甲队获胜”，比赛结束时的局数， 则； ， 所以 17. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，，，，． （1）证明：平面平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积． 【答案】（1）证明：因为底面 是正方形， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面 ， 所以平面平面 ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式即可求解； （3）先说明四棱锥的所有顶点在球心为 的球面上，再根据球的体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交 于点 ，过作，垂足为点， 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ， 又，，，所以，所以， 所以，所以， 以 为坐标原点，向量，，的方向分别为 ， ，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 在，，所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，取，得， 设平面的法向量为， 由得，取，得， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 连接，由（2）知，又 为的中点，所以， 又，所以， 所以四棱锥的所有顶点在球 的球面上，所以球 的半径， 所以球 的体积． 18. 已知椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，的短轴长比的长轴长小2. （1）分别求，的方程； （2）直线与交于，两点，与相切于点. （i）若为的中点，求的方程； （ii）直线过交于，两点，，证明：. 【答案】（1）的方程为，的方程为 （2）（i）或 （ii）当时，为的短轴端点，为的短轴，所以，， 所以； 当时，由（ⅰ）可得 ， 设直线，因为点在上， 所以，解得， 同理可得 ， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即. 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据两曲线离心率的关系得到关系，再根据两椭圆长、短轴长度关系列方程，求出，进而得到两椭圆的方程； （2）（i）联立直线和椭圆，根据相切得到判别式，求出切点坐标，再联立直线和椭圆，利用韦达定理得到的中点，建立方程，求出，得到直线的方程； （ii）利用弦长公式求出，再结合设出方程，代入点求出参数，再求出，计算并化简，利用分析比值范围，得出结论. 【小问1详解】 由题得，所以的离心率为， 因为的离心率是的离心率的倍，所以，整理得①， 又的短轴长比的长轴长小2.所以②， 联立①②解得，， 所以的方程为，的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）联立得， 所以，化简得. 且，所以，所以， 即. 设，. 联立得， 所以，化简得， 且，， 所以，所以， 所以的中点坐标为， 所以解得 则此时直线或 （ⅱ）略 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明如下： 由，所以， 所以也是的零点，所以， 所以，所以，所以. 又的两个极值点分别为，， 所以，是，即的两个变号根， 所以直线与有两个不同的交点，其横坐标分别为，， 而，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， ，， 令，，则， 因为，所以，所以， 所以，，， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）由题意可得有三个零点，求导，令，对函数求导，分，，三种情况，结合导数与单调性、最值的关系及零点的存在性定理讨论求解即可；（ii）由可得，即，根据极值与导数的关系令，可得，令，，求导，根据导数可得，进而计算可证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，， 由，得，即， 由题意可得有三个零点，，，， 令，则， ①当时，，单调递增， 且当时，；当时，， 由零点存在定理可知存在正数，使得，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上最多有2个零点，不符合题意； ②当时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 若，则，所以， 所以在上单调递减，不可能有三个零点； 若，则，， 且当时，；当时，， 故由零点存在定理可知存在，，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，所以，即. 又，当时，；当时，， 所以由零点存在定理可知存在三个零点，，， 所以有三个零点时，的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市卓越联盟2026届高三下4月质量检测 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 4 6. 某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称的图象恰为的图象 C. 两函数没有相同的零点 D. 两函数在上单调性相同 10. 已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 13. 记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，. （1）求的值； （2）若边上的高为，求的周长. 16. 甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. （1）求甲队第2局获胜的概率； （2）求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，，，，． （1）证明：平面平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积． 18. 已知椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，的短轴长比的长轴长小2. （1）分别求，的方程； （2）直线与交于，两点，与相切于点. （i）若为的中点，求的方程； （ii）直线过交于，两点，，证明：. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $