2026届吉林通化市梅河口市第五中学高三二模数学试题

高三数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的准线过点，则（ ） A. 1013 B. C. D. 2026 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知单位平面向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 7. 已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ） A B. C D. 8. 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C. 数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79 D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联” 10. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 13. 已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点. （1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数a的值. 19. 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． CDBAA BDB 9AC 10BCD 11BCD 12 13 ##2.5 14## 15【小问1详解】 由已知得，由余弦定理得，即. 【小问2详解】 由，所以， 由正弦定理得，故. 由（1）知 ， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 16【小问1详解】 由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； 【小问2详解】 列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 【小问3详解】 零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17【详解】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，， 又平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直 角空间坐标系，设，则， 由，，，， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为，得， 取，则 设直线与平面所成角为，则有， 即，化简得：， 解得：或，即或. 18【详解】解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得， 所以 ①. ②. ③. （2）设，则，所以， 即， 令，则，同理：， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 由点的任意性知，且，所以 19 【小问1详解】 当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. 【小问2详解】 当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. 【小问3详解】 因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $