精品解析：福建龙岩市新罗区龙岩初级中学2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题

2025—2026学年第二学期练习（一） 九年级数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本答题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列四个数：、、、中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是． 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、长方体的左视图是矩形，不符合题意． 故选B． 试题解析： 考点：简单几何体的三视图． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 4. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据5758亿用科学记数法表示为； 故选B． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的两对角线相等 B. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 C. 顶角相等的两个等腰三角形相似 D. 若，则的余角为 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、矩形的两对角线相等，是真命题； B、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，中位线不能将三角形分成面积相等的两部分（根据中位线的性质，得到小三角形和大三角形的相似比为，面积比为），故原命题是假命题； C、顶角相等的两个等腰三角形，则两个等腰三角形的底角也相等，故顶角相等的两个等腰三角形相似，是真命题； D、互余两角和为，，故的余角为，是真命题. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，，再根据对顶角和正方形的性质证明得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 9. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 10. 设是一个四位数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则这个数是11的倍数 B. 若，则这个数是11的倍数 C. 若，则这个数是11的倍数 D. 若，则这个数是11的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键． 【详解】解：由题意可知： ， 当这个数是11的倍数时， 可得是11的倍数， 当时，是11的倍数，故A符合题意； 当时，不是11的倍数，故B不符合题意； 当时，不是11的倍数，故C不符合题意； 当时，不是11的倍数，故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 若一次函数（m为常数），且y随x的增大而增大，写出一个符合条件的m的值：______． 【答案】 0 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当一次项系数大于时，随的增大而增大，据此列出不等式得到的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解： 一次函数中，随的增大而增大， ， 解得， 取符合条件的． 13. 若，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】先由已知等式得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：， ， ． 14. 在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理可知：， ， ， ， ，， ，即：， 求出或（舍去）， 在中：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案． 【详解】解： ， 如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键． 16. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．过点作，交分别于点G，H，M．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，推出，，由旋转的性质和勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，进而求出正方形的边长，证明，可得的长，则可得的长，再证明，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 由旋转的性质得， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 同理可得， ∵, ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键。 三、解答题：（本大题共9题，共86分） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，点B在线段AC上，AD∥BE，∠ABD＝∠E，AD＝BC，求证：BD＝EC． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】直接证△ABD≌△BEC（AAS）即可证明BD=EC. 【详解】∵AD∥BE ∴∠A =∠EBC 在△ABD和△BEC中 ∵∠ABD =∠E，∠A =∠EBC，AD=BC， ∴△ABD≌△BEC（AAS） ∴BD=EC 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定. 19. 化简、求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 21. 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生，因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩x/分 人数 A m B 24 C 14 D 10 （1）市文旅局的工作人员为提高本市的知名度，推出系列宣传措施后，想了解内江在市民心中的知晓度，应采用______．（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）根据统计图表中的信息解答下列问题： ①表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______． ②若该校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有______人． ③现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图求出甲、乙两人同时被选中的概率？ 【答案】（1）抽样调查 （2）①12，；②600；③ 【解析】 【分析】（1）根据“全面调查”和“抽样调查”的定义求解即可； （2）①先由等级人数除以占比求出抽取的人数，再由抽取的人数减去等级的人数即可求解；用乘以等级的占比即可求解成绩等级为D的扇形圆心角； ②用样本估计总体的方法即可求解； ③先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：市文旅局的工作人员为提高本市的知名度，推出系列宣传措施后，想了解内江在市民心中的知晓度，应采用抽样调查； 【小问2详解】 解：①抽取的人数：（人）， 则， 成绩等级为D的扇形圆心角：； ②（人）， 答：成绩等级为A的学生大约有人； ③画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人同时被选中的结果数有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率是． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线经过点，求的值； （2）求该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； （3）在（1）的条件下，若，为该抛物线上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为3 （3） 证明：由得， 抛物线的函数关系式为， 点在抛物线上， ， 抛物线的对称轴为直线， 点，关于直线对称， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求解即可； （2）先求得交点的纵坐标，再用顶点式确定二次函数的最值即可； （3）根据抛物线的对称性质，一元二次方程根与系数关系，方程根的定义，证明即可． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点， ， 整理得， 解得，， ， ； 【小问2详解】 解：由， 当时，， ， 抛物线开口向下， ， 当时，有最大值3， 该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为3； 【小问3详解】 略 24. 如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且． （1）求的度数； （2）如图2，若点为的中点，连接． ①证明：； ②若，，求的值． 【答案】（1） （2）①见详解；② 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰直角三角形，易得，然后由，即可获得答案； （2）①连接，由等腰直角三角形的性质可得，且，再证明，由相似三角形的性质可得，即有，结合可得，即可证明结论；②首先根据三角函数可得，可设，则，，，证明，易得，进而可得，在中，由勾股定理解得，然后计算的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如下图，连接， 由（1）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即有， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴在中，， 可设，则，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的性质是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期练习（一） 九年级数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本答题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列四个数：、、、中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的两对角线相等 B. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 C. 顶角相等的两个等腰三角形相似 D. 若，则的余角为 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 设是一个四位数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则这个数是11的倍数 B. 若，则这个数是11的倍数 C. 若，则这个数是11的倍数 D. 若，则这个数是11的倍数 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 若一次函数（m为常数），且y随x的增大而增大，写出一个符合条件的m的值：______． 13. 若，则代数式的值为______． 14. 在中，，分别为的对边，若，则的值为__________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 16. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．过点作，交分别于点G，H，M．若，则的值为________． 三、解答题：（本大题共9题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，点B在线段AC上，AD∥BE，∠ABD＝∠E，AD＝BC，求证：BD＝EC． 19. 化简、求值：，其中． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 21. 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生，因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩x/分 人数 A m B 24 C 14 D 10 （1）市文旅局的工作人员为提高本市的知名度，推出系列宣传措施后，想了解内江在市民心中的知晓度，应采用______．（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）根据统计图表中的信息解答下列问题： ①表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______． ②若该校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有______人． ③现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图求出甲、乙两人同时被选中的概率？ 22. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线经过点，求的值； （2）求该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； （3）在（1）的条件下，若，为该抛物线上的不同两点，且，求证：． 24. 如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且． （1）求的度数； （2）如图2，若点为的中点，连接． ①证明：； ②若，，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $