精品解析：吉林长春市慧泽高中2025-2026学年高一下学期第一次质量监测数学试题

长春市慧译高中2025—2026学年高一年级下学期 数学学科第一次质量监测 时间120分钟 满分150分 一、单选题（共八题，每题5分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 零向量与任意向量平行 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 2. 已知向量若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示计算求解. 【详解】因为向量又，则，即得. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解 【详解】设与的夹角为，,， 由题意可知，， ， 则，即，故，结合,，解得． 故选：A． 4. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式. 【详解】为的中点，则， ，， . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 5. 的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，可设， 所以. 故选：D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，通过对进行变形，从而求出边的长度. 【详解】已知余弦定理，因为， 所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：， 所以. 故选：B. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 故选：C. 8. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设， 则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：A． 二、多选题（共三题，每题6分） 9. （多选）设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据模长公式可判断A选项；根据向量共线和垂直的性质判断B、C选项；根据夹角公式可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以 ，故A错误； 对于选项B，因为所以， 所以与不平行，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故C正确； 对于选项D，因为 ，又， 所以与的夹角为 ，故D正确. 故选：CD. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D；根据数量积的定义判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为， 可得，可知为锐角，但是无法判断角A和角C是否为钝角， 所以无法判断是否为钝角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：利用矩形对角线交点是中点，结合向量加法平行四边形法则，得出，再由已知条件求出．B选项：建立坐标系，根据向量关系得到，，由确定点轨迹，运用参数法解题即可．C选项：先表示出，再结合点轨迹方程化简，根据的取值范围求最小值．D选项：求出，根据点轨迹确定范围，进而求出最大值． 【详解】因为四边形是矩形，是的交点，所以是的中点． 根据向量加法的平行四边形法则可得：，． 则． 已知，即，所以，故选项A正确． 以为坐标原点，分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系． 则，，，． 设，则，，． 因为，所以，即，． 设，则，. （其中）. 所以的最大值为，故选项B错误． 对于C，，，则． 由可得． 所以． 因为，所以． 当时，取得最小值为，故选项C正确． 对于D，．因为，所以． 当时，取得最大值为，故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题（共三题，每题5分） 12. 在中，若，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程求解即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得. 13. 已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，列出关于的方程组可求得答案. 【详解】设，则，， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 解得，，所以， 故答案为：． 14. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________. 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点， 因为，故， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题（共五题，77分） 15. 已知向量. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算的坐标，再运用向量模的坐标公式即得； （2）先计算出和的坐标，再利用向量垂直的充要条件列出方程，解之即得. 【小问1详解】 因可得，则； 【小问2详解】 因，， 由可得：， 解得：. 16. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可； （2）设，可求，，根据求，进而可求数量积. 【小问1详解】 因为，，，则，， 由三点共线得，则，解得. 【小问2详解】 当时，点， 设，则，， 因为，则，解得，即， 则，且，所以. 17. 如图，在平面四边形中，，，，，． （1）求边的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可得解； （2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ． ∴． ∴． 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点． （1）求； （2）若，求的面积； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得结果； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为， 代入整理可得， 且，则，可得， 整理可得， 且，则， 可得，所以. 【小问2详解】 设， 则， 即， 所以的面积为. 【小问3详解】 由正弦定理可得， 可得， 则周长为， 又因为，则， 可得，， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市慧译高中2025—2026学年高一年级下学期 数学学科第一次质量监测 时间120分钟 满分150分 一、单选题（共八题，每题5分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，方向相反，则与为相反向量 B. 模相等的两个平行向量相等 C. 零向量与任意向量平行 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 2. 已知向量若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 8. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共三题，每题6分） 9. （多选）设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11. 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 三、填空题（共三题，每题5分） 12. 在中，若，，，则______． 13. 已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为________． 14. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________. 四、解答题（共五题，77分） 15. 已知向量. （1）求； （2）若，求的值. 16. 已知平面内三点，，. （1）若三点共线，求的值. （2）当时，线段上的点满足，求的值. 17. 如图，在平面四边形中，，，，，． （1）求边的长； （2）求的面积． 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点． （1）求； （2）若，求的面积； （3）求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $