第六章平面向量及其应用、第七章复数 章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》 章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知点P是的重心，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ） A. B. C. D. 2 7. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 10. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 11. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则与同向的单位向量的坐标为______. 13. 在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 17. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》 章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D B D A D B ABC ABC AD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为, 所以, 则. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【解析】C 由，得，则， 由，得，所以. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 【解析】D 由正弦定理，可得， 又，故或. 4. 已知点P是的重心，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设的中点为，由点P是的重心，所以， 所以，故B正确. 5. 如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【解析】D 建立如图所示平面直角坐标系，可得， 所以，则. 6. 已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ） A. B. C. D. 2 【解析】A 由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 7. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 【解析】ABC 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 10. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 【解析】ABC 对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点， 此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误. 11. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【解析】AD 对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则与同向的单位向量的坐标为______. 【解析】由向量，可得， 则与同向的单位向量为. 13. 在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【解析】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【解析】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【解析】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【解析】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 17. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【解析】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. （2）由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. （3）为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $