专题01 平移和旋转中的常见的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题01 平移和旋转中的常见的六种模型 目录 题型一：线段平移的综合问题 1 题型二：三角形平移的综合问题 5 题型三：长方形平移的综合问题 11 题型四：线段绕某点旋转综合问题 15 题型五：直角三角形绕点旋转综合问题 22 题型六：等边三角形绕点旋转综合问题 30 题型一：线段平移的综合问题 1．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 2．【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ； 【归纳】 （2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ； （3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ； 【应用】 （4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）， 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，坐标轴平行线上的点的坐标变化，列代数式，二元一次方程解决实际问题，根据题意的方法进行探究归纳是解题的关键． （1）根据点平移时的坐标变化求解即可； （2）由轴得到线段的中点的纵坐标为b．设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点，则，求得，即可表示出中点的横坐标，进而即可解答； （3）同（2）思路即可求解； （4）根据探究归纳的结论，表示出线段和线段的中点的坐标，根据线段和线段的中点重合列出方程组，求解即可． 【详解】解：（1）根据平移可得，点的坐标为，点的坐标为， 点与点的横坐标之和为． 故答案为：；； （2）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的纵坐标为b， 设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的横坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （3）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的横坐标为c， 设点向上平移t个单位长度，点向下平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的纵坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （4）∵，， ∴线段的中点坐标为，即； ∵，， ∴线段的中点坐标为，即， ∵线段和线段的中点重合， ∴， 解得． 题型二：三角形平移的综合问题 3．如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)18 (3)6 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平移的性质得，则，再根据角的关系进行运算，即可作答． （2）由线段的中点得，再得，结合割补法列式计算求出四边形的面积，即可作答． （3）先由平移的性质得，因为三角形的周长为，四边形的周长为12，且结合周长的公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： 三角形向右平移得到三角形， ， ， ， （2）解：为的中点， ． ， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积 四边形的面积为18． （3）解：三角形向右平移得到三角形， ． 则四边形的周长， 三角形的周长为， 四边形的周长， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点、，其中a、b满足，线段与x轴、y轴围成三角形，将三角形沿x轴向右平移得到三角形，当点D到达点B时停止平移，平移终止前，线段与线段相交于点． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)线段的关系是______； (3)当时，求三角形的面积； (4)在平移过程中，当点F把线段分成的两条线段的长度差为1时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了平移的性质、非负数的性质、坐标与图形以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据非负数的性质即可求出a、b，进而可得答案； （2）根据平移的性质即可得到结论； （3）求出，再计算三角形的面积即可； （4）先根据点F的坐标用含t的式子表示出，再根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：根据平移的性质可得：线段的关系是； 故答案为：； （3）解：当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴三角形的面积； （4）解：∵， ∴， ∴， 当点F把线段分成的两条线段的长度差为1时，，即， 解得：或， ∴点F的坐标是或． 5．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 6．对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． (1)如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； (2)如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 【答案】(1)， (2)5，12；5， 【分析】本题考查平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据平移的性质和“平移三角形”的定义求解即可； （2） ①根据平移得到平移距离；，，，，然后利用四边形的面积为，代数求解即可； ②根据题意得到如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为；过点C作交于点D，将延向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴沿方向平移到，点A和点O重合，即点A平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； ∴沿方向平移到，点B和点O重合，即点B平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； 综上所述，的“平移三角形”的有，； 故答案为：，； （2）解： ①∵沿直线平移，得到它的“平移三角形”， ∴平移距离； ∴，，，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故答案为：5；12； ②如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为； 如图所示，过点C作交于点D，将沿向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小 ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的平移距离的最小值为． 故答案为：5，． 题型三：长方形平移的综合问题 7．如图，在长方形中，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置． (1)用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ (2)用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质，整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键． （1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可，根据重叠部分的宽为正数求的取值范围； （2）利用平移前后的长方形的面积的和加上两个直角三角形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：，向右平移，再向下平移， 重叠部分的长为，宽为， 重叠部分的面积， ， ， 解得， 应满足的条件是：； （2）解：六边形（阴影部分）的面积为， ， ． 8．如图，长方形中，，第1次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形；第2次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形；…；第n次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形（）．    (1)求和的长． (2)若的长为56，求n． (3)第3次平移后，图中有几个长方形？第n次平移后呢？ 【答案】(1)11 (2)10 (3)28， 【分析】（1）根据平移得到，再分别加上，利用线段的和差计算即可； （2）根据（1）中计算方法得出规律，可得，代入求解即可； （3）分别找出平移1次，2次，3次后得到的长方形个数，…，继而得出规律． 【详解】（1）解：根据题意，，， ，； 故答案为：11； （2）根据题意，， 令， 解得：； （3）第1次平移后，有个长方形， 第2次平移后，有个长方形， 第3次平移后，有个长方形， … ∴第n次平移后，有个长方形． 【点睛】本题主要考查了平移的性质以及图形规律的探索，理解题意，正确归纳图形的变化规律是解题关键． 9．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 题型四：线段绕某点旋转综合问题 10．已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 11．综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是 ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）的最小值为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）通过旋转性质得，结合、证，得；由且（等腰顶角），得与关系． （2）利用旋转得，结合推导，再由证，得． （3）延长到使，证得，确定的轨迹，过作，求长度即最小值． 【详解】（1）解：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ，， 故答案为：，， （2）证明：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ； （3）延长到，使，则， ，， ，， 由旋转得，， ， ，即， 又，， ， ， 在过且与夹角为的直线上， 过作于，则为的最小值， 在中，，， ，即的最小值为． 12．综合与实践 在等腰直角中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，过点作于点，连接． (1)[尝试发现]如图1，当点在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（______①），所以，可得______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是_____； (2)[类比探究]如图2，当点在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)[拓展应用]若，请就图1、图2直接写出线段的长． 【答案】(1)等式性质1，BF (2)①，证明见解析；② (3)线段EC的长为或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． （1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，勾股定理求出的长即可； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴， 故答案为：等式性质1，； （2）解：①． 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴； （3）解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 题型五：直角三角形绕点旋转综合问题 13．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E． (1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程； (2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由． 【答案】(1)45°，60°，证明见详解 (2)45°或67.5°，理由见解析 【分析】（1）先求出∠CDO=45°，根据题意可知∠DOE=α，再根据平行的性质即可求解； （2）分∠D＝∠DOE和∠DOE＝∠DEO两种情况讨论，即可作答． 【详解】（1）根据题意有∠AOB=90°， ∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°， ∴∠DOC=90°，∠A=60°， ∴∠CDO=45°， 当时，如图2中，∠AOD＝∠CDO＝45°， ∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°． ∵∠DOE=α， ∴α＝45°． 当时，如图3中，∠A+∠AOC＝180°， ∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°， ∴∠AOD=180°-∠A-∠COD， ∴∠AOD＝30°， ∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°， ∵∠DOE=α， ∴α＝60° 故答案为：45°，60°． （2）根据（1）可知∠CDO=45°， 当∠D＝∠DOE＝45°时， ∵∠DOE=α， ∴α＝45°， 当∠DOE＝∠DEO时， 则在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°， ∴∠DOE=α＝45°， 即α＝67.5°， 故答案为：45°或67.5°． 【点睛】本题考查了平行的性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，根据旋转的特点确定∠DOE=α是解答本题的关键． 14．（1）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，若，在纸片绕点旋转过程中，直线与分别交于点，点，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，在纸片绕点旋转过程中，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）2 （3）16或64或48 或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据平行线证明，利用勾股定理解答即可． （3）根据旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解方程，分类的思想解答即可． 本题考查了旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，得， ∵ ∴． ∴． （2）解：根据题意，得， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当，且点D在上时，是直角三角形， 根据题意，得，， 此时； 当，且点D在的延长线上时，是直角三角形， 根据题意，得，， 此时； 当时，是直角三角形， 过点A作于点Q， 则四边形是矩形， 故，， 由， ， 故， 此时； 当时，是直角三角形， 过点A作于点M，设的交点为N， 由， ， 故， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴， 此时． 综上所述，的面积为16或64或48 或． 15．综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】（1）， （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 题型六：等边三角形绕点旋转综合问题 16．探索新知：什么是等边三角形呢？等边三角形就是正三角形，即三条边相等，三个角都为．如图1，△ABC为等边三角形，所以，根据以上新知，回答下列问题． 如图2，和是两个不全等的等边三角形．AC交BE于F点，AD交CE交于G点，AD与BE交于点M．B，C，D在同一条直线上． (1)求证：； (2)求的度数 (3)如果绕点C旋转到图3的位置时，和还相等么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)相等，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，，，从而可求出，即可利用“SAS”证明，即得出； （2）由可得，从而可证明，进而可求出； （3）由（1）同理可证，即得出． 【详解】（1）证明∵和是两个不全等的等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，即， ∴， ∴； （3）解：相等，理由如下： ∵和是两个不全等的等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 17．综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究． 【数学思考】如图1，与都是等边三角形，连接，． （1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°． 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，和都是等边三角形，且，． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积． 【答案】（1）（或相等）60； （2），理由见解析； （3）9 【分析】（1）根据等边三角形的性质易得，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据等边三角形的性质易得到，利用全等三角形的性质得到，结合全等三角形的性质得到，最后由全等三角形的性质求解； （3）过点作交的延长线于，根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和直角三角形的性质求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴)， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等），60． （2）．理由如下： 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ． （3）过点作交的延长线于， 和都是等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或． 【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证； （）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证； （）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】证明：（）和都是等边三角形， ，，，． ．． ． 在和中， ， ； （）和都是等边三角形， ，，，， ，， ． 在和中， ， ． ． ， ； （）或．理由如下： 如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01平移和旋转中的常见的六种模型 题型归纳 目录 题型一：线段平移的综合问题 .1 题型二：三角形平移的综合问题 .5 题型三：长方形平移的综合问题… .11 题型四：线段绕某点旋转综合问题… 15 题型五：直角三角形绕点旋转综合问题 .22 题型六：等边三角形绕点旋转综合问题 .30 题型专练 题型一：线段平移的综合问题 1.如图，己知线段AB,点C是线段AB外一点，连接AC,LCAB=a(90°<a<180°).将线段AC沿 AB平移得到线段BD.点P是线段AB上一动点，连接PC,PD. B 图1 备用图 (I)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=LPCA+LPDB; Q过点C作直线I∥PD,在直线1上取点M,使∠MDC=∠CDP,当a=120时，画出图形，并直接用等 式表示LBDM与∠BDP之间的数量关系. 2.【探究】点A(a,a)是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点A,将点A向右 平移t个单位长度得到点A,根据线段中点的定义可知，点A是线段AA的中点. (1)点A的坐标为，点4的坐标为_，点A与点4的横坐标之和为_： 【归纳】 (2)若平行于x轴的线段B,B2的一个端点B的坐标为b,b),另一个端点B的横坐标为b2,则用含有b, b2和b的式子表示线段B,B2的中点坐标为_： (3)请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段C,C,的一个端点C的坐标为(c,c),另一个端点 C,的纵坐标为C2,则用含有C,C2和c的式子表示线段C,C2的中点坐标为_； 【应用】 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)己知点M的坐标为m-4n,m,点N的坐标为2n-5,m,点P的坐标为n,3m-2n,点Q的坐标为 (n,n-2m,且线段MN和线段P2的中点重合，求m和n的值. 题型二：三角形平移的综合问题 3.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=52°，BC=8,将此三角形向右平移得到三角形AB,C1, 此时边AB,与边AC相交于点D,连接AA· A D B B C (I)分别求∠B,DC和∠A,AB的度数. (②)若点B落在边BC的中点处，且AD=DC=3,求四边形ABB,D的面积 (3)已知P是三角形ABC内部一点，三角形ABC平移到三角形AB,C,的位置后，点P的对应点为P,连接PR ,若三角形ABC的周长为m,四边形ABC,A的周长为m+12,直接写出PP的长度 4.如图，在平面直角坐标系中，点A0,a)、B(b,0),其中a、b满足(3a-2b)+b-6=0,线段AB与x 轴、y轴围成三角形AOB,将三角形AOB沿x轴向右平移得到三角形CDE,当点D到达点B时停止平移， 平移终止前，袋段B与线段CD相交于点F一号+4 YA B E (1)直接写出点A的坐标为 ,点B的坐标为 (②)线段AB、CE的关系是 (3)当t=2时，求三角形BDF的面积： (4在平移过程中，当点F把线段CD分成的两条线段的长度差为1时，直接写出点F的坐标. 5.如图，在三角形ABC中，∠B=90°，∠BAC=53°，BC=8,将三角形ABC沿BC向右平移，得到三角 形A'B'C',AB与AC交于点D,连接AA'. A A B 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)分别求∠B'DC和∠AA'C'的度数： (2)若CC'=3,DB=4,求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形ABC的内部，三角形ABC平移到三角形A'B'C'后，点P的对应点为P,连接PP',若 三角形ABC的周长为m,四边形ABC'A'的周长为m+2,请直接写出PP'的长度 6.对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移d后，它的一个顶点落在它的对 边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的平移三角形”，d叫做“平移距离”.如图1，ABC沿直线1平 移到△A'B'C',顶点A的对应点A在它的对边BC上，则称△AB'C'是ABC的平移三角形”，AA的长度d 叫做“平移距离”。 图1 图2 图3 备用图 (I)如图2，正六边形ABCDEF,对角线AD、BE、CF将其分成六个能重合的正三角形，其中是AOB的“平 移三角形”的有 (2)如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5. ①将图3的ABC沿直线AB平移，得到它的平移三角形”BDE,连接CE,则平移距离d= 四边形CBDE的面积为 ②图3中ABC的平移距离d的最大值为 ,最小值为 题型三：长方形平移的综合问题 7.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,BC=10cm,现将长方形ABCD向右平移xCm,再向下平移 (x+I)cm后到长方形A'B'C'D'的位置. D C (I)用x的代数式表示长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分的面积，这时x应满足怎样的条件？ (2)用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D(阴影部分)的面积. 8.如图，长方形ABCD中，AB=6,第1次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方 形A,BCD；第2次平移长方形AB,CD沿AB,的方向向右平移5个单位，得到长方形A,B,C,D2;;第n 次平移长方形An-BnC.-D1沿An-1B。1的方向向右平移5个单位，得到长方形A,B.CD。(n≥2). 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D DC D C D.C C AB A B A B B (I)求AB,和AB2的长. (2)若ABn的长为56，求n. (3)第3次平移后，图中有几个长方形？第n次平移后呢？ 9.如图1，长方形0ABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为30,0C边长为5. B C BB A 产01 O' 图1 图2 图3 (1)数轴上点A表示的数为 (②)将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O'A'B'C',移动后的长方形O'AB'C'与原长方形 OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S. ①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A表示的数为 ②设移动距离O0'=A'=xx>0. i)当x=2时，S= i)D为线段AA的中点，点E在线段O0'上，且OE=00,当点D表示的数是点E表示的数的2倍时， 求x的值. 题型四：线段绕某点旋转综合问题 10.已知RtAABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D为直线BC上一点. E C(D)B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D与点C重合，点E为AB上一点，将线段ED绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF,连 接AF,直接写出AF与BE的关系： (②)如图2，点D在BC的延长线上，E为∠ABC的角平分线上一点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 到线段DF,连接AF,若AF∥BC,求证：AF=√2CD; (3)如图3，点D在BC边上，点E在直线AB左侧，连接BE,∠DBE=75°，将线段DE绕点D顺时针旋转 90°后得到线段DF,连接AF若BE=5,CD=22,则线段AF的长为 (直接写出结果) 11.综合与实践 【问题背景】 在ABC中AB=AC,点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转得到线段AQ, ∠QAP=∠BAC,连接BQ, 图1 图2 图3 【发现问题】 (1)如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是，线段AQ和线段AP的 数量关系是-； 【初步探究】 (2)如图2，如果点P为平面内任意一点，求证：BQ=PC; 【拓展探究】 (3)如图3，在ABC中，AC=2,∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP,将 线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ,连接CQ,请直接写出线段CQ长度的最小值， 12.综合与实践 在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺 时针方向旋转90°得线段ED,过点E作EF⊥BC于点F,连接BE, D 图1 图2 (I)[尝试发现]如图1，当点D在线段BC上时，请探究线段EF与BF的数量关系；以下是小明同学的探究思 路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证△ACD≌△DFE,于是可得CD=EF,AC=DF.欲探 究线段EF与BF的数量关系，由直观先猜想EF=BF,要进一步证明EF=BF,可尝试证明BF=CD,由 己知AC=BC,得BC=DF,于是可得：BC-BD=DF-BD(①)，所以，可得CD=②， 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此猜想EF=BF成立. 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是 ，空白②处的线段是； (2)[类比探究]如图2，当点D在线段BC的延长线上时， ①再探究线段EF与BF的数量关系并证明； ②若CD=2,求线段BE的长； (3)[拓展应用]若AC=BC=2,CD=1,请就图1、图2直接写出线段EC的长. 题型五：直角三角形绕点旋转综合问题 13.把直角三角形OAB与直角三角形OCD如图1放置，直角顶点O与O'重合在一起，点D在OB上，∠ B=30°，∠C=45°.现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角a(0°≤a<90°)，OB与DC交于 点E. D B D B E A E ▣ A 0(0) 0(0) O(0) C 图2 图3 图1 (1)如图2，在旋转过程中，若OA‖CD时，则a= ;若ABIIOC时，则a= 请写出证明过程； (②)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，a=；请说明理由. 14.(1)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个 纸片绕这个顶点旋转α(0°<a≤360)，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中， AB=AD=6,BC=DE=8,∠ABC=∠ADE=90°」 【初步感知】 (I)如图I,若Q<∠BAC,在纸片ADE绕点A旋转过程中，直线DE与BC,AC分别交于点F,点M, 求证：BF=DF. 【深入探究】 (2)如图2，在(1)的条件下，在纸片ADE绕点A旋转过程中，若AE∥BC,求BF的长， 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角 三角形CDE的面积；若不能，请说明理由， 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 15.综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动.在ABC中， ∠CAB=90°，∠ABC=45°，△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=2V5.将其按如图1位置摆放，使 点A,B,D在同一直线上，点F与点C重合，EF‖AB, C(F) C(F) B D B D B 图1 图2 图3 初步分析：(1)如图1，直接写出线段AC,线段BD的长； 操作探究：(2)如图2，将FDE从图1位置开始，绕点F顺时针旋转a0°<a<180°)得到aFGH,点D的 对应点为点G,点E的对应点为点H,当线段FG经过点A时，连接EH,，判断△EFH的形状，并说明理 由： (3)如图3，将FDE从图1位置开始沿射线BC方向平移，平移过程中，始终保持EF∥AB,当BDF为 直角三角形时，直接写出FDE平移的距离.（分母中可以保留根号） 题型六：等边三角形绕点旋转综合问题 16.探索新知：什么是等边三角形呢？等边三角形就是正三角形，即三条边相等，三个角都为60°.如图1， △ABC为等边三角形，所以AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60°根据以上新知，回答下列问题， 如图2，△ABC和△CDE是两个不全等的等边三角形.AC交BE于F点，AD交CE交于G点，AD与BE 交于点M.B,C,D在同一条直线上. A M B B 图1 图2 图3 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：BE=AD; (2)求LFMG的度数 (3)如果△CDE绕点C旋转到图3的位置时，BE和AD还相等么？请说明理由. 17.综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究. 【数学思考】如图1，ABC与ADE都是等边三角形，连接BD,CE. 图1 图2 图3 (1)当点D,E,C在一条直线上时，BD与CE的数量关系是 ∠BDC= 0 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究.如图2，ABC和△AMN都是等边三角形，且 △ABC≌△AMN,AB=6. (2)连接MB,CN并分别延长交于点F,，试猜想MF和CF的数量关系，并说明理由. (3)如图3，将△AMN绕点A按顺时针方向旋转，当∠MAB=90°时，连接CN,BM,CM,直接写出 △ACM的面积. 18.综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型 (1)如图1，己知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD.求证：BE=CD; A 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，已知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度，当点D在CB的延 长线上时，求证：AB+BD=BE; 【类比探究】 (3)如图3，己知ABC和ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F, 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系为 9/9