第9章 因式分解 复习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第9章《因式分解》复习 【知识点一：因式分解】 1.因式分解的概念： 把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，这样的变形叫作多项式的因式分解.也可称为分解因式.（多项式=整式×整式） 2.因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是恒等式的互逆变形. 【典型例题】 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2＝﹣4x+4 B．+3x+2＝x（x+3）+2 C．﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 2.各式①+2xy＝x（x+2y）；②（x﹣3）（x+2）＝﹣x﹣6，从左到右的变形，下列说法正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 3．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 　 ． 4. 若多项式﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x﹣b），则a+b的值为 . 5．若b为整数，且x+1是+bx+3的一个因式，则b的值为　 　 ． 【知识点二：提公因式法】 1.公因式的概念： 多项式中各项都含有的因式叫作多项式各项的公因式. 2.确定公因式的步骤： ①定系数：各项系数的最大公因数. ②定字母及指数：相同字母的最低次幂. 3.提公因式法因式分解的步骤： ①确定公因式. ②确定另一个因式.即将各项整理为：公因式×某式 ③提取公因式.逆用乘法分配律提取公因式 范例：- = = = 注： ①首项系数为负数时，先各项都提负号. （尽量保证另一个因式的首项系数为正） ②系数有分数时，先将各项系数通分，找各分子的最大公因数. （尽量保证另一个因式各项系数为整数） 【典型例题】 1. 多项式8﹣12ac的公因式是（　　） A．4a B．4abc C．2a D．4a 2．多项式x﹣1和x﹣的公因式是（　　） A． B．x C．x D．x﹣1 3.已知a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4．下列选项中，对任意的整数n，能整除（n+2）2﹣（n+2）（n﹣2）的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5.计算的结果是（ ） A. 4× B. -5 C. -4× D.-4 6. 把下列各式因式分解： （1）3x2+6x+3xy． （2）a2x2﹣ax （3）﹣14abc﹣7ab+49ab2c （4）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c） （5）m（a﹣3）+2（3﹣a） （6）a（b﹣c）+c﹣b （7）15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）2 （8）4q（1﹣p）3+2（p﹣1）2 7. 多项式（a﹣1）2+2a（a﹣1）分解因式后求值，其中a＝2． 8．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　 　 ，共应用了　 　 次； （2）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． （3）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n，则需应用上述方法n 次，结果是　 （n为正整数）． 【知识点三：逆用平方差公式】 1.平方差公式逆用： 2.适用此方法因式分解的多项式特点： ①两项 ②平方相减（两项平方项符号相反） 【典型例题】 1.下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 2. 已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.若3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b，则（x+y）2﹣（2x﹣3y）2的值是（　　） A．﹣ab B．ab C．a2+b2 D．a2﹣b2 4.若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 5. 如果144﹣1能被n整除，则n的值不可能是（　　） A．5 B．13 C．14 D．15 6.分解因式： （1）36﹣m2； （2）m2﹣3； （3）； （4）81a4﹣16b4； （5）4b2﹣（b+c）2； （6）（m+2n）2﹣（m﹣2n）2． 7. 用简便方法计算： （1） （2） ． 8. 已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示.我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 9. 观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　 　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　 　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【知识点四：逆用完全平方公式】 1.完全平方公式逆用： ； 2.适用此方法因式分解的多项式特点： ①三项 ②平方相加 ± 2倍乘积项（两项平方项符号相同） 【典型例题】 1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是　 　 ． ①x2+4x+4；②4x2﹣4x﹣1；③；④4m2+2mn+n2；⑤1+16a2；⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1． 2. 下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 4.若x2-（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 5. 在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6. 已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．与a值有关 B．4 C．8 D．16 7. 若A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 8.因式分解 （1） （2）﹣2xy﹣x2﹣y2 （3）1-2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2 9.简便方法计算 （1）1.23452+2.469×0.7655+0.76552 （2）﹣101×190+1012+952 10．先因式分解，再求值：p3q+2p2q2+pq3，其中p+q＝1，pq＝2． 11.已知a，b，c是△ABC的三条边．求证：a2+c2＜b2+2ac． 【知识点五：二次三项式因式分解的补充方法】 1.配方法： 2.十字相乘法：（注：能用十字相乘的都可以用配方法，若不能掌握十字相乘法可用配方法） 例： ...............将二次项看做是首平方项，一次项看做是2倍乘积项. =+2-9.................将一次项拆成：2×首平方底数×另一因式 =+2-9........加上一个上一步得到的另一因式的平方，再减去一个 =+2-25........完全平方的三项分为一组，剩余常数项合并 =.............逆用完全平方公式 =（x+4+5）（x+4-5）..........逆用平方差公式 =（x+9）（x-1） 若二次项系数不是完全平方数可先给各项提取该系数，再进行配方. -9 -9 拆分：x -1 x 1 x 9 x -9 交叉乘：9x-x=8x -9x+x=-8x 方式一 方式二 匹配一次项：一次项为8x与方式一匹配. 按方式一横写因式：=（x-1）（x+9） 例： ①拆分二次项和常数项； ②交叉相乘，积相加； ③匹配一次项； ④横写因式. 【典型例题】 1.配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式x2+4x﹣1的最小值，由x2+4x﹣1＝x2+4x+①　 ﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是②　 　 ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝③　 　 ＝④　 　 ； 【项目解决】 （2）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为⑤　 　 ． 2. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如：4x2﹣4x﹣y2+1＝（4x2﹣4x+1）﹣y2＝（2x﹣1）2﹣y2＝（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1） ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： a．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； b．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； c．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； d．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：x2﹣3x﹣40． 分析：x2﹣3x﹣40． 观察得出：两个因式分别为（x+5）与（x﹣8）， 解：原式＝（x+5）（x﹣8）， ③添项、拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如： y2﹣10y+21＝y2﹣10y+25﹣4＝（y﹣5）2﹣22＝（y﹣5+2）（y﹣5﹣2）＝（y﹣3）（y﹣7）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）ab﹣a﹣b+1＝　 　 ； ②（十字相乘法）y2+3y﹣10＝　 　 ； （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣6a＝10b+8c﹣50，判断△ABC的形状． 【知识点六：因式分解综合题目】 因式分解步骤：一提，二套，三检验（检验是否分解彻底）. 四项及以上的多项式先分组，再因式分解.（一般分两项一组或三项一组，原则是将能用公式的或能提公因式的项分为一组） 【典型例题】 1.分解因式：x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ． 2.因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝　 　 ． 3.因式分解 （1）81x4﹣72x2y2+16y4 （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 （3）4x3﹣8xy2 （4）x2﹣4y（x﹣y）﹣4 （5）6x3﹣11x2+x+4 4. （1）发现：任意三个连续偶数的平方和是4的倍数． 验证：①（﹣2）2+02+22的结果是4的几倍？ ②设三个连续偶数的中间一个为2n，写出它们的平方和，并说明是4的倍数． （2）拓展：设n为整数，求任意两个连续奇数的平方差是n的几倍？ 5. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　 ； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 6. 数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法，《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为a的正方形，卡片②是边长为b的正方形，卡片③是长和宽分别为a，b的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取　 　 张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是　 （用含a，b的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形．若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：　 ； 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，第二个长方体中ML＝DE＝b，MD＝a﹣b．第三个长方体中GH＝HR＝a，HN＝a﹣b． （3）将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式： 　 ；（将该等式表示为一个多项式分解因式的形式） （4）利用上面的结论，解决问题： 已知＝13，求的值． 第9章《因式分解》复习答案 知识点一典型例题答案： 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 2. 对于式子：①x2+2xy＝x（x+2y）；②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，从左到右的变形，下列说法正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【解答】解：①x2+2xy＝x（x+2y），左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解，故①正确； ②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法，故②不正确； 综上，①是因式分解，②是整式乘法， 故选：C． 3．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 4. 若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x﹣b），则a+b的值为 1 . 【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x﹣b）利用多项式乘法法则展开即可求解． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣b）＝x2﹣bx﹣2x+2b＝x2﹣（b+2）x+2b＝x2﹣ax﹣1， ∴b+2＝a，2b＝﹣1， ∴b＝﹣0.5，a＝1.5， ∴a+b＝1． 【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型． 5．若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　4　 ． 【解答】解：设另一个因式为x+m， 则（x+1）（x+m） ＝x2+mx+x+m ＝x2+（m+1）x+m ＝x2+bx+3， 那么m＝3，b＝m+1＝3+1＝4， 故答案为：4． 知识点二典型例题答案： 1. 多项式8a3b2﹣12ab3c的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab3 【解答】解：多项式的公因式是4ab2， 故选：A． 2．多项式x﹣1和xy2﹣y2的公因式是（　　） A．y2 B．x C．xy2 D．x﹣1 【解答】解：第一个多项式为x﹣1， xy2﹣y2＝y2（x﹣1）， ∴二者的公因式为x﹣1． 故选：D． 3.已知a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【解答】解：对所求式子因式分解得：a2b+ab2＝ab（a+b）， ∴原式＝2×3＝6． 故选：B． 4．下列选项中，对任意的整数n，能整除（n+2）2﹣（n+2）（n﹣2）的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：（n+2）2﹣（n+2）（n﹣2） ＝（n+2）2﹣（n+2）（n﹣2） ＝（n2+4n+4）﹣（n2﹣4） ＝4n+8 ＝4（n+2）， ∴对于任意整数n，4（n+2）总能被4整除， 故选：B． 5.计算的结果是（ ） A. 4× B. -5 C. -4× D.-4 【解答】解： = =5× = =4× 故选：A． 6. 把下列各式因式分解： （1）3x2+6x+3xy． （2）a2x2﹣ax （3）﹣14abc﹣7ab+49ab2c （4）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c） （5）m（a﹣3）+2（3﹣a） （6）a（b﹣c）+c﹣b （7）15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）2 （8）4q（1﹣p）3+2（p﹣1）2 【解答】解：（1）3x2+6x+3xy＝3x（x+2+y） （2）原式＝ax（ax﹣1）； （3）原式＝﹣7ab（2c+1﹣7bc）． （4）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）＝2（b﹣c）（x﹣2y）； （5）m（a﹣3）+2（3﹣a） ＝m（a﹣3）﹣2（a﹣3） ＝（a﹣3）（m﹣2）． （6）原式＝a（b﹣c）﹣（b﹣c） ＝（b﹣c）（a﹣1）； （7）原式＝15b（2a﹣b）2+25（2a﹣b）2 ＝5（2a﹣b）2（3b+5）； （8）原式＝4q（1﹣p）3+2（1﹣p）2 ＝2（1﹣p）2[2q（1﹣p）+1] ＝2（1﹣p）2（2q﹣2pq+1）． 7. 多项式（a﹣1）2+2a（a﹣1）分解因式后求值，其中a＝2． 【解答】解：（a﹣1）2+2a（a﹣1） ＝（a﹣1）（a﹣1+2a） ＝（a﹣1）（3a﹣1）， 当a＝2时，原式＝（2﹣1）×（3×2﹣1） ＝1×5 ＝5． 8．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　提公因式法　 ，共应用了　2　 次； （2）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． （3）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n，则需应用上述方法n 次，结果是　（1+x）n+1 （n为正整数）． 【解答】解：（1）根据因式分解的过程，上述分解因式的方法是提取（1+x）这个公因式，所以用的是提取公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）根据（1）分解因式的方法可得： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3] ＝（1+x）3[1+x+x（x+1）2] ＝（1+x）4[（1+x（x+1）] ＝（1+x）5（1+x） ＝（1+x）6； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣2] ＝⋯ ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1， 根据分解过程可知，应用上述方法n次，结果是（1+x）n+1． 故答案为：n；（1+x）n+1． 知识点三典型例题答案： 1.下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、﹣a2+9＝9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），故此选项符合题意； C、﹣a2﹣9＝﹣（a2+9），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 2. 已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论． 【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1， ∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键． 3.若3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b，则（x+y）2﹣（2x﹣3y）2的值是（　　） A．﹣ab B．ab C．a2+b2 D．a2﹣b2 【分析】直接利用公式法将原式变形，进而得出答案． 【解答】解：（x+y）2﹣（2x﹣3y）2＝[（x+y）+（2x﹣3y）][（x+y）﹣（2x﹣3y）] ＝（3x﹣2y）（﹣x+4y） ＝﹣（3x﹣2y）（x﹣4y）， ∵3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b， ∴原式＝﹣ab． 故选：A． 【点评】此题主要考查了公式的应用，正确应用公式是解题关键． 4.若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行运算是解题关键． 5. 如果144﹣1能被n整除，则n的值不可能是（　　） A．5 B．13 C．14 D．15 【分析】把144﹣1转化成（142）2﹣1，再进行因式分解，化成积的形式，进而判断选项． 【解答】解：144﹣1 ＝（142）2﹣1 ＝（142+1）（142﹣1） ＝（196+1）（14+1）（14﹣1） ＝197×15×13 ＝197×3×5×13， ∴144﹣1能被n整除，则n的值可能是3、5、13、15、197， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是把144转化成（142）2． 6.分解因式： （1）36﹣m2； （2）m2﹣3； （3）； （4）81a4﹣16b4； （5）4b2﹣（b+c）2； （6）（m+2n）2﹣（m﹣2n）2． 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）利用平方差公式分解即可； （3）利用平方差公式分解即可； （4）利用平方差公式分解即可； （5）利用平方差公式分解即可； （6）利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝62﹣m2＝（6+m）（6﹣m）； （2）原式； （3）原式； （4）原式＝（9a2）2﹣（4b2）2＝（9a2+4b2）（9a2﹣4b2）=（9a2+4b2）（3a+2b）（3a-2b）； （5）原式＝（2b）2﹣（b+c）2 ＝（2b+b+c）（2b﹣b﹣c） ＝（3b+c）（b﹣c）； （6）原式＝（m+2n+m﹣2n）[m+2n﹣（m﹣2n）]2 ＝2m（m+2n﹣m+2n） ＝2m×4n ＝8mn． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握公式法因式分解是关键． 7. 用简便方法计算： （1）. （2） ． 【分析】（1）将原式利用平方差公式因式分解后再计算即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解后再计算即可； 【解答】解： （1）1994． （2） ． 【点评】本题考查因式分解，平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8. 已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示.我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 【分析】根据利用平方差公式分解的结果，利用“白银数”的定义判断出所有“白银数”的最大公约数即可． 【解答】解： 所有“白银数”的最大公约数是8，理由为： 证明：∵（2n+1）2﹣1＝4n（n+1），n和n+1中必有一个是偶数， ∴所有“白银数”的最大公约数是8． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 9. 观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【分析】（1）模仿例题中的做法求解即可； （2）根据例题中的规律求解即可； （3）运用（2）中的公式求解即可． 【解答】解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1＝127． 【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，规律型，找出其中的规律是解题的关键． 知识点四典型例题答案： 1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是　①③⑥　 ． ①x2+4x+4；②4x2﹣4x﹣1；③；④4m2+2mn+n2；⑤1+16a2；⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1． 【分析】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的2倍，逐个判断即可． 【解答】解：①x2+4x+4＝（x+2）2，符合完全平方公式分解因式的条件； ②4x2﹣4x﹣1，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④4m2+2mn+n2，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤1+16a2，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1＝（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）+1＝（x﹣2y﹣1）2，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 故答案为：①③⑥． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 2. 下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【解答】解：根据公式法分解因式逐项分析判断如下： ①x2+y2为平方和，无公式可分解，不符合题意； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），可用平方差公式，符合题意； ③x2﹣y2+2xy不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解，不符合题意； ④﹣x2﹣y2+2xy＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2，可用完全平方公式，符合题意； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查公式法分解因式．熟练掌握该知识点是关键． 3.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 【分析】根据完全平方公式的结构特征，将多项式与公式对比，确定中间项的系数，从而求出k的值． 【解答】解：根据完全平方公式的结构特征可知：x2+kx+9＝x2+kx+32， ∵多项式x2+kx+9能用完全平方公式因式分解， ∴k＝±2×1×3＝±6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 4.若x2-（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【分析】根据题意得x2-（a+2）x+9＝（x±3）2，再计算即可． 【解答】解：根据题意得x2-（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴a+2＝±6， ∴a＝4或a＝﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5. 在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】利用因式分解，把原式变形为（a﹣b﹣c）（a﹣b）＝0，再结合三角形的三边关系，即可求解． 【解答】解：原等式移项可得：a2+b2﹣2ab﹣（ac﹣bc）＝0， ∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b﹣c）（a﹣b）＝0， ∵在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c， ∴b+c＞a， ∴a﹣b﹣c＜0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解和三角形的三边关系，等腰三角形的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 6. 已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．与a值有关 B．4 C．8 D．16 【分析】将两个已知等式相减，利用平方差公式及m≠n的条件求出m+n的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【解答】解：∵m2＝4n+a①，n2＝4m+a②， ∴①﹣②得m2﹣n2＝4n﹣4m， ∴（m﹣n）（m+n）＝﹣4（m﹣n）， 由条件可知m+n＝﹣4， ∴原式＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16． 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 7. 若A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 【分析】首先求出A﹣B＝＝（x﹣y）2+x2+1，分析求出的结果，A﹣B＞0，据此求出A＞B． 【解答】解：因为A＝3x2﹣2xy+2，B＝x2﹣y2+1， 所以A﹣B ＝（3x2﹣2xy+2）﹣（x2﹣y2+1） ＝3x2﹣2xy+2﹣x2+y2﹣1 ＝2x2﹣2xy+y2+1 ＝x2﹣2xy+y2+x2+1 ＝（x﹣y）2+x2+1， 因为（x﹣y）2+x2≥0， 所以（x﹣y）2+x2+1＞0， 所以A﹣B＞0， 即A＞B． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是求出A﹣B． 8.因式分解 （1） （2）﹣2xy﹣x2﹣y2 （3）1-2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2 【分析】（1）先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． （2）原式提取﹣1，利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式 （2）原式＝﹣（x2+y2+2xy） ＝﹣（x+y）2． （3）1-2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2 ＝[1-（2x-3y）]2 ＝（1-2x+3y）2； 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9.简便方法计算 （1）1.23452+2.469×0.7655+0.76552 （2）﹣101×190+1012+952 【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果． （2）根据和的平方等于平方和加积的2倍，可得答案． 【解答】解：（1）原式＝1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552 ＝（1.2345+0.7655）2 ＝4． （2）原式＝1012﹣2×101×95+952 ＝（101﹣95）2 ＝62 ＝36． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．先因式分解，再求值：p3q+2p2q2+pq3，其中p+q＝1，pq＝2． 【分析】通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【解答】解：p3q+2p2q2+pq3 ＝pq×q2+pq×2pq+pq×q2 ＝pq（p2+2pq+q2） ＝pq（p+q）2， 当p+q＝1，pq＝﹣2时， 原式＝pq（p+q）2＝﹣2×12＝﹣2． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法和公式法分解因式． 11.已知a，b，c是△ABC的三条边．求证：a2+c2＜b2+2ac． 【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，可得|a﹣c|＜b，两边同时平方，得到（a﹣c）2＜b2，从而证明原不等式成． 【解答】证明：因为a，b，c是△ABC的三条边， 所以a﹣c＜b，c﹣a＜b， 可得|a﹣c|＜b， 两边同时平方得（a﹣c）2＜b2， 即a2+c2﹣2ac＜b2， 即a2+c2＜b2+2ac． 【点评】本题考查三角形三边关系及因式分解的应用，解决本题的关键是通过对不等式进行移项变形，结合三角形两边之和大于第三边的性质来推导． 知识点五典型例题答案： 1.配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式x2+4x﹣1的最小值，由x2+4x﹣1＝x2+4x+①　4　 ﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是②　﹣5　 ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝③　（x+1）2﹣4　 ＝④　（x+3）（x﹣1）　 ； 【项目解决】 （2）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0时，c的取值范围是⑤　1＜c＜5　 ； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为⑥　8　 ． 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0化为a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0，再进一步求解即可； （3）由，结合AC+BD＝8，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是﹣5． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+3）（x﹣1）． 故答案为：4；﹣5；（x+1）2﹣4；（x+3）（x﹣1）； （2）由条件可得a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∵b﹣a＜c＜b+a， ∴1＜c＜5． 故答案为：1＜c＜5； （3）∵在四边形ABCD中，AC⊥BD， ∴， ∵AC+BD＝8， ∴ ， ∴， ∴四边形ABCD面积的最大值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 2. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如：4x2﹣4x﹣y2+1＝（4x2﹣4x+1）﹣y2＝（2x﹣1）2﹣y2＝（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1） ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： a．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； b．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； c．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； d．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：x2﹣3x﹣40． 分析：x2﹣3x﹣40． 观察得出：两个因式分别为（x+5）与（x﹣8）， 解：原式＝（x+5）（x﹣8）， ③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如： y2﹣10y+21＝y2﹣10y+25﹣4＝（y﹣5）2﹣22＝（y﹣5+2）（y﹣5﹣2）＝（y﹣3）（y﹣7）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）ab﹣a﹣b+1＝　（a﹣1）（b﹣1）　 ； ②（十字相乘法）y2+3y﹣10＝　（y﹣2）（y﹣5）　 ； （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣6a＝10b+8c﹣50，判断△ABC的形状． 【分析】用提取公因式的方法来解答第一问．根据题中的分析用十字相乘法来解答第二问．对第三问进行变形后，用完全平方公式和勾股定理来解答． 【解答】解：（1）ab﹣a﹣b+1＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）＝（a﹣1）（b﹣1）， （2） y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）， （3）原式变为：a2﹣ 6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣8c+16＝0， （a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣4）2＝0， 所以a＝3，b＝5，c＝4即：a2+c2＝9+16＝25＝c2， 所以三角形ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了因式分解的方法和勾股定理的运用． 知识点六典型例题答案： 1.分解因式：x2﹣2x+1﹣y2＝　（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）　 ． 【分析】原式利用分组分解法即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣2x+1）﹣y2 ＝（x﹣1）2﹣y2 ＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）． 故答案为：（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，弄清题中因式分解的方法是解答本题的关键． 2.因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝　（a﹣3）（a﹣b）　 ． 【分析】利用分组分解法，将原式重新组合为（a2﹣3a）+（3b﹣ab），再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式﹣b，再应用提公因式法分解即可． 【解答】解：根据题意可知，根据分组分解法进行因式分解， 原式＝（a2﹣3a）+（3b﹣ab） ＝a（a﹣3）﹣b（a﹣3） ＝（a﹣3）（a﹣b）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 3.因式分解 （1）81x4﹣72x2y2+16y4 （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 （3）4x3﹣8xy2 （4）x2﹣4y（x﹣y）﹣4 （5）6x3﹣11x2+x+4 【分析】（1）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行分解即可解答； （2）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可． （3）利用提公因式法进行分解，再利用平方差公式分解即可解答 （4）先分组，再由平方差公式分解 （5）将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组． 【解答】解：（1）81x4﹣72x2y2+16y4 ＝（9x2﹣4y2）2 ＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2． （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． （3）4x3﹣8xy2＝4x（x2-2y2）=4x（x+y）（x-y） （4）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣4 ＝（x﹣2y）2﹣22 ＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）． （5）6x3﹣11x2+x+4 ＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4 ＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4） ＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4） ＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4） ＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）． 【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点． 4. （1）发现：任意三个连续偶数的平方和是4的倍数． 验证：①（﹣2）2+02+22的结果是4的几倍？ ②设三个连续偶数的中间一个为2n，写出它们的平方和，并说明是4的倍数． （2）拓展：设n为整数，求任意两个连续奇数的平方差是n的几倍？ 【分析】（1）①直接计算即可； ②相邻偶数相差2，然后求和，将结果提取公因数4即可； （2）分类讨论，n为偶数或奇数，注意谁作被减数，然后进行计算即可． 【解答】解：（1）①（﹣2）2+02+22＝4+0+4＝8， 8÷4＝2， ∴（﹣2）2+02+22的结果是4的2倍． ②平方和：（2n﹣2）2+（2n）2+（2n+2）2， （2n﹣2）2+（2n）2+（2n+2）2＝4n2+4﹣8n+4n2+4n2+4+8n＝12n2+8＝4（3n2+2）． ∴结果是4的倍数． （2）若n为偶数，设这两个连续奇数为n﹣1、n+1， 这两个数的平方差为：（n+1）2﹣（n﹣1）2＝（n+1+n﹣1）（n+1﹣n+1）＝4n， 当（n﹣1）2﹣（n+1）2时，结果为﹣4n， ∴结果为n的4倍或﹣4倍； 若n为奇数，设这两个连续奇数为n，n+2， 这两个数的平方差为：（n+2）2﹣n2＝4n， 同理，结果为4倍或﹣4倍， 综上，任意两个连续奇数的平方差是n的±4倍． 【点评】本题考查因式分解的运用和列代数式，理解平方和与平方差是解答本题的关键． 5. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　 ； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 【分析】（1）利用数形结合的思想，2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到mn＝10，2m2+2n2＝58，利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】解：（1）由图可知：2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：（2m+n），（m+2n）， ∴2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n）； 故答案为：（m+2n）（2m+n）； （2）由题意，得：mn＝10，2m2+2n2＝58， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+2×10＝49． 【点评】本题考查因式分解，完全平方公式，掌握图形的面积公式是解题的关键． 6. 数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法，《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为a的正方形，卡片②是边长为b的正方形，卡片③是长和宽分别为a，b的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取　1　 张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是　2a+b （用含a，b的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形．若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，第二个长方体中ML＝DE＝b，MD＝a﹣b．第三个长方体中GH＝HR＝a，HN＝a﹣b． （3）将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ；（将该等式表示为一个多项式分解因式的形式） （4）利用上面的结论，解决问题： 已知（n+2023）2+（n+2026）2＝13，求（n+2023）3﹣（n+2026）3的值． 【分析】（1）根据4a2+4ab+b2＝（2a+b）2即可得解； （2）图2中阴影部分的面积的两种表示方法，即可得解； （3）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积或3个长方体的体积之和，即可求解； （4）由（n+2023）﹣（n+2026）＝﹣3，可得（n+2023）（n+2026），根据a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），代入求值即可． 【解答】解：（1）∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2， ∴若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取1张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是2a+b， 故答案为：1，2a+b； （2）图2中阴影部分的面积也可看作是边长为（a+b）的大正方形面积减去4个长方形的面积． ∴可以得一个多项式的因式分解为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）由几何体的体积为3个长方体的体积之和，且3个长方体的高都可以看作（a﹣b），底面积分别看作a2、ab、b2， ∴体积为（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （4）∵（n+2023）﹣（n+2026）＝﹣3，（n+2023）2+（n+2026）2＝13， ∴， ∴（n+2023）3﹣（n+2026）3 ＝[（n+2023）﹣（n+2026）][（n+2023）2+（n+2026）2+（n+2023）（n+2026）]， ＝﹣3×（13+2） ＝﹣45． 【点评】本题考查了利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $