8.6.2空间中夹角与距离的问题讲义（知识清单+题型突破）2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

8.6.2　空间中夹角与距离的问题 1．理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法． 2．了解直线与平面所成的角． 3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离． 4．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角． 5．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直 线a′与b′ 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤α≤90° ． 【注意】(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用 平移 法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则 180°－α 即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90° 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角． 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线 ，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的 直角三角形 中计算． 空间中的距离问题 1．过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 二面角的概念 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q． 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【注意】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． 2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 题型一 异面直线夹角问题 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 3．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 题型二 直线与平面的夹角问题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 10．（25-26高三上·河南驻马店·期末）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·陕西·月考）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）（多选）在正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为45° D．直线与平面所成的角为60° 题型三 二面角的问题 13．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 14．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 18．（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 题型四 空间中点面的距离 19．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 20．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·贵州毕节·月考）如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 22．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）如图，棱长为2的正方体，O为底面ABCD的中心，E为棱的中点，M是线段上的动点，P为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ）． A．平面 B． C．的最小值为 D．OP的最小值为 23．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（    ） A．四点共面 B．点与点到平面的距离相等 C．直线与直线垂直 D．三棱锥的体积为6 24．（24-25高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 题型五 空间中线面的距离 25．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 26．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 27．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 28．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 29．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 题型六 空间中面面的距离 30．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 31．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 33．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 34．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东广州·期末）若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南驻马店·期末）（多选）正三棱台中，，D为棱AB的中点，则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 10．（24-25高一下·四川南充·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四棱锥的外接球的表面积为 11．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是____________． （1）； （2）平面； （3）与平面所成的角等于与平面所成的角； （4）与所成的角等于与所成的角． 14．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． (1)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 17．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 18．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　空间中夹角与距离的问题 1．理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法． 2．了解直线与平面所成的角． 3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离． 4．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角． 5．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直 线a′与b′ 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤α≤90° ． 【注意】(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用 平移 法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则 180°－α 即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90° 【注意】直线与平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角． 求直线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线 ，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是直线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的 直角三角形 中计算． 空间中的距离问题 1．过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 二面角的概念 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q． 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【注意】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． 2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 题型一 异面直线夹角问题 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【答案】或 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 3．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 6．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 题型二 直线与平面的夹角问题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 【答案】． 【分析】过作面的垂线，即得直线与底面所成的角，求解. 【详解】解：设正四面体的棱长为1． 如图，作平面，垂足为， 则是的重心，故. 过点作，， 则平面．连接， 于是就是直线与底面所成的角． 在Rt中，， ． ∴直线与底面所成的角的正弦值为． 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 10．（25-26高三上·河南驻马店·期末）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中由余弦定理结合基本不等式求出面积的最大值和点A到平面距离的最大值即可计算求解. 【详解】设点A到平面距离为d，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 即当且仅当时面积取得最大值为. 又直线与所成的角为，， 则直线与平面所成角最大值为， 所以点A到平面距离的最大值为， 所以四面体的体积的最大值为. 故选：C 11．（25-26高三上·陕西·月考）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，由，求出,即可由体积公式求解. 【详解】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 12．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）（多选）在正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为45° D．直线与平面所成的角为60° 【答案】ABC 【分析】由线面垂直的判定定理得平面，根据线面垂直的性质可判断A；由线面平行的判定定理判断B；由异面直线所成角定义计算判断C；由线面垂直得平面，根据线面角定义计算判断D 【详解】对于A，因为正方体中，，分别是，的中点， ，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面， ，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，因为， 所以是与所成的角，C正确； 对于D，设与的交点为，    在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 连接，又， 所以即为直线与平面所成的角，，D错误， 故选：ABC. 题型三 二面角的问题 13．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 14．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证平面，结合图象，分析证明，即可判断①的正误；根据平面结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断③的正误；分析可得为二面角的平面角，设，求出各个长度，结合三角函数定义，即可判断④的正误. 【详解】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 15．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 16．（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【答案】60° 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 18．（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值. 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又，，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 题型四 空间中点面的距离 19．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 20．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用割补法及锥体的体积公式求解即可. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 则几何体是棱长为的正四面体，， ， 设点到平面的距离为，则， 因此，所以. 故选：B 21．（25-26高二上·贵州毕节·月考）如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【分析】根据等体积法（）求解即可. 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 22．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）如图，棱长为2的正方体，O为底面ABCD的中心，E为棱的中点，M是线段上的动点，P为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ）． A．平面 B． C．的最小值为 D．OP的最小值为 【答案】BCD 【分析】用线面平行判定定理判断A选项；用线面垂直的性质定理判断B；用余弦定理判断C；结合垂直平面时的值最小判断D选项. 【详解】选项A中，分别取，中点，，连接、，，可知， 又因为，所以，所以平面不成立，选项A错误； 选项B中，取中点，连接，，，所以， 因为正方体，所以面， 因为平面，所以，即； 因为，，所以， ，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，故，选项B成立； 选项C中，要求的最小值，面，面， 这两个三角形和都是边长为的正三角形， 将它们置入同一平面可以得到平行四边形，为中点， 在中，由余弦定理可得， ∴，选项C成立； 选项D中，垂直平面时的值最小， 又到平面的距离等于到平面距离的， 设正四面体的高等于， 因为，即， 即，解得， 正四面体的高等于，所以的最小值为．选项D成立； 故选：BCD． 23．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（    ） A．四点共面 B．点与点到平面的距离相等 C．直线与直线垂直 D．三棱锥的体积为6 【答案】BD 【分析】通过线面垂直的性质定理得平面，即可判断A；证明平面，点与点到平面的距离相等，再由点与点到平面的距离相等可判断B；证明平面，假设，则平面，而过点有且只有一条直线与平面垂直可判断C；利用等体积法计算三棱锥的体积可判断D. 【详解】因为分别为棱的中点，所以，， 又平面，所以平面，所以平面， 所以四点不共面，故A错误； 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点与点到平面的距离相等，因为是线段的中点， 所以点与点到平面的距离相等，所以点与点到平面的距离相等， 故选项B正确； 因为平面，平面，所以， 因为，即， ，平面，所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 假设，，平面，则平面， 而过点有且只有一条直线与平面垂直，假设不成立， 所以直线与直线不垂直，故选项C错误； 因为，且，因为平面，所以平面， 因为为的中点，， 所以， 所以， 故选项D正确； 故选：BD 24．（24-25高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直， 在中，， ， ，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为. 答案：B 题型五 空间中线面的距离 25．（24-25高一下·安徽·期中）为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行. 【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误； 对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确； 对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误； 对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误． 故选：B． 26．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先明确要求的线面角，然后在直角三角形中求解. （2）可以转化为点到面的距离，然后利用体积法求解. 【详解】（1）如图：连接，. 因为平面，所以为所求直线与平面所成的角. 在中：因为，所以， 又为中点，所以. 所以：. （2）因为：平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设为. 则. 又，， 所以. 所以：直线到平面的距离为2. 27．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 28．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 29．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 题型六 空间中面面的距离 30．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 31．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 32．（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 33．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）证明，根据距离的定义可得为所求，解三角形求结论； （2）由点面距离定义可得为所求，由此可得结论； （3）根据直线与平面的距离的定义可得为所求，由此可得结论； （4）根据平面与平面距离定义可得为所求，由此可得结论； 【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 34．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东肇庆·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 4．（25-26高三上·广东广州·期末）若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上底面半径为，母线长为，建立圆台侧面积与上、下两底面面积之和相等的关系式，可得，再由线面角定义即可求得结果. 【详解】依题意设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台的母线长为，如下图所示：    依题意可得，所以，可得； 过作平行于的直线交于点，圆台的母线与底面所成的角即为， 易知，由勾股定理可得, 因此，即圆台的母线与底面所成角的正弦值为. 故选：B 5．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 6．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面于点，连接，取的中点，连接，证明即侧面与底面所成的二面角，设，利用条件推得和，借助于，由即可求得答案. 【详解】如图，作平面于点，连接，取的中点，连接， 在正四棱锥中，易得，又因，可得， 则即侧面与底面所成的二面角的平面角. 设，则， 依题意，的面积为， 的面积为，即得， 在中，. 故选：B. 7．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 8．（24-25高一下·河南驻马店·期末）（多选）正三棱台中，，D为棱AB的中点，则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 【答案】ACD 【分析】正三棱台补成正四面体，利用正四面体的几何性质即可求解AC,根据异面直线的夹角可知或其补角为所求，利用三角形边角关系即可求解B,利用体积公式即可求解D. 【详解】将正三棱台补成三棱锥，根据,可知,则三棱锥为正四面体， 对于A：由于为棱AB的中点,故，又是的中点，故，A正确， 对于B,由于,故或其补角即为直线与BC夹角，由于,, 故,故B错误， 对于C,三棱锥的高为,因此A到平面的距离为,C正确， 对于D,因为，， 故棱台的体积为，D正确， 故选：ACD 9．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，    因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，    连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 10．（24-25高一下·四川南充·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】根据定义，异面直线与直线所成角，即为或其补角，即可判断A；应用等体积法求体积判断B；首先求出到平面的距离，再结合对称性判断C；由四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球，进而求半径，即可得表面积判断D. 【详解】A：由题设，则直线与直线所成角，即为或其补角， 又为等边三角形，故，对； B：由，对； C：由，，则中上的高为， 所以，若到平面的距离为，则， 所以，根据对称性易知点到平面的距离为，错； D：由题设，易知四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球， 而的外接圆半径，且， 所以外接球的半径，故其表面积为，对. 故选：ABD 11．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 / / 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. 13．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是____________． （1）； （2）平面； （3）与平面所成的角等于与平面所成的角； （4）与所成的角等于与所成的角． 【答案】①②③ 【分析】证明面即可判断（1）；由线面平行的判定定理可判断（2）；由线面角的定义求出两个线面角即可判断（3）；根据异面直线所成的角可判断（4）． 【详解】对于（1）：因为底面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，故（1）正确； 对于（2）：因为底面是正方形，所以，因为平面，平面， 由线面平行的判定定理可得平面，故（2）正确； 对于（3）：设，连接，因为平面，平面， 所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，， 因为，，且，所以 ， 可得，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，故（3）正确； 对于（4）：因为，所以即为与所成的角，即为与所成的角， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以，因为， 所以，所以， 所以与所成的角不等于与所成的角，故（4）不正确； 故答案为：①②③ 14．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． (1)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）先证平面，确定线面角为，计算相关线段、长度，用正弦定义求解； （2）构造平行四边形，由线面平行判定定理得平面，确定. 【详解】（1）垂直于所在的平面，又是的直径， 根据三垂线定理可得，又，平面,        平面, 平面 ,故, 二面角的平面角为，且直线与平面所成角为， 又，又，，              ，，            .                            直线与平面所成角的正弦值为. （2）在线段上存在点，使得平面，且，理由如下： 取的靠近的三等分点，过作，且            则，且              又是的中点，为中点，，又， ，且，且， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面，平面， 故在线段上存在点，使得平面，且. 15．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 17．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可； 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 18．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $