10.5分式方程（第2课时 分式方程的增根）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年（新教材苏科版）数学八年级下册教学课件

八年级苏科版数学下册 第十章 分式 10.5 分式方程 第二课时 分式方程的增根 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解增根的概念：知道什么是分式方程的增根，明白增根是去分母后整式方程的根，但使原分式方程分母为 0，不是原方程的解。 2.掌握增根产生的原因：清楚解分式方程时两边同乘含未知数的整式，可能扩大未知数取值范围，从而产生增根。 3.会判断增根：能根据增根满足的两个条件，判断某个数是否为分式方程的增根。 4.会利用增根求参数：已知分式方程有增根，能求出方程中字母参数的值。 课程导入 一个“奇怪”的解方程之旅 在正式讲解新知识之前，我们先来玩一个小小的“解谜游戏”。 我将和大家一起解一个分式方程，看看在这个过程中，会出现哪些意想不到的“奇怪”现象？ 让我们一起出发，去探索其中的奥秘吧！ 1.7.2013 在正式讲解新知识之前，我们先来玩一个小小的“解谜游戏”。我将和大家一起解一个分式方程，但这个过程可能会出现一些意想不到的情况。让我们一起出发，看看会遇到什么“奇怪”的现象。 ‹#› 问题 解方程： 👨‍🎓 左边同学的解法 🧑‍🎓 右边同学的质疑 概念解读 什么是“增根”？ 刚才我们在解分式方程时，遇到了一个看似成立却又“奇怪”的解。 这其实就是分式方程中特有的现象——增根。 接下来，让我们正式揭开它的神秘面纱，深入剖析增根的定义、产生原因以及判定方法。 1.7.2013 刚才我们遇到的这个“奇怪”的解，其实就是我们今天要学习的核心概念——增根。接下来，让我们正式揭开它的神秘面纱，看看它到底是什么，以及如何定义它。 ‹#› 核心概念 在解分式方程的过程中，我们通过去分母将其转化为整式方程。若该整式方程的解，使得原分式方程的最简公分母的值为零，则此解不是原分式方程的解，我们称之为增根 (Extraneous Root)。 关键点强调 ● 来源：增根是在“去分母”解分式方程的过程中，人为产生的额外解。 ● 本质：它是转化后整式方程的有效解，但却是原分式方程的无效解。 ● 判定：将解代入原方程的最简公分母，若结果为0，则判定为增根。 💡 一句话总结：增根是一个“冒牌”的解，它只满足整式方程，却会让原分式方程的分母为零，失去意义。 归纳总结 1.7.2013 大家请看屏幕。增根的定义非常关键。它的本质是，它是我们去分母后得到的整式方程的解，但这个解会让原来分式方程的分母为零，导致原方程无意义。所以，我们说它是一个“冒牌”的解。请大家务必记住判定增根的标准：代入最简公分母检验是否为零。 ‹#› 深度探究 增根是如何产生的？ 在去分母的变形过程中，我们究竟“创造”了什么？为什么原本的方程会多出一个不满足定义的根？ 回顾第一步：去分母的依据 操作：方程两边同乘以3(x-2)。 依据：等式基本性质 —— 等式两边同时乘以同一个不为零的数或整式，等式仍然成立。 核心追问：这个整式一定不为零吗？ 不一定！因为 x 是未知数。若 x 的值恰好使 3(x-2)=0，我们实际上是在等式两边同时乘以了0，这违背了性质的前提条件。 结论：增根产生的根本原因 解分式方程时，通过去分母（同乘含未知数的整式），扩大了未知数的取值范围，从而产生了使原方程分母为零的“额外”的根（增根）。 1.7.2013 我们知道了什么是增根，那么更重要的问题来了：它是从哪里来的？为什么我们在解方程的过程中会“创造”出这样一个奇怪的根？这就是我们接下来要深度探究的重点和难点。 ‹#› 教材P143-144 例题 解下列方程： (1)(2) 解：(1)方程两边同乘x(x+1)，得30(x+1)=20x 解这个一元一次方程，得x=-3 检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0.所以原方程的解为x=-3 (2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得x=-2 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0,x=-2是增根.所以原方程无解 ★ 核心口诀：“一化二解三检验”，检验步骤不可少，公分母为零即增根。 ● 例3 解 方法技巧 解分式方程的“三步曲” 01. 化整：在方程两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 02. 求解：按照解整式方程的一般步骤，解出转化后的整式方程的根。 03. 检验：将整式方程的解代入最简公分母中进行检验：若最简公分母的值不为零，则该解是原分式方程的解；若最简公分母的值为零，则该解是增根，原分式方程无解。 核心口诀：一化二解三检验，验根必须记心间。公分母为零是增根，原方无解要判断。 1.7.2013 这就是解分式方程的“三步曲”：化整、求解、检验。每一步都不能少，尤其是第三步检验。为了方便大家记忆，我还编了一个口诀，大家可以一起念一遍：“一化二解三检验，验根必须记心间。公分母为零是增根，原方无解要判断。” ‹#› 教材P144 练习 课内练习 解下列方程： (1); (2); (3) 解：(1)去分母,得(4+x)-5(x-1)=2x, 解这个一元一次方程,得x=. 经检验，x=是原方程的解 (2)原方程可变为,去分母，得1=(x-1)-3(x-2). 解这个一元一次方程，得x=2. 经检验，x=2是原方程的增根，∴原方程无解 (3)原方程可变为,去分母,得3(x-1)=6. 解这个一元一次方程，得x=3. 经检验，x=3是原方程的解 基础巩固题 知识点 分式方程的增根 1.【2025河北邢台调研】下列关于分式方程增根的说法正确的是( ) D A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 【解析】分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．故选D. 归纳总结 增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方 程即可求得相关字母的值或取值范围． 2.【2025江苏南通调研】若关于的方程无解，则 的值为_________． 或 【解析】去分母得 ，去括号得 ，整理得.当 ，即 时，整式方程无解，满足题意；当，即 时， ，此时分式方程的增根为或，令 ，该方程无解； 令，解得，经检验，是方程 的解.综上所 述，的值为或 ． 13 易错点1 分类讨论不完全，只考虑增根，忽略转化的整式方程无解 3.【2025江西景德镇期末】已知关于的分式方程无解，则 的值为____________. 或或 【解析】,去分母得 ,去括号得 ,移项、合并同类项得.当 ，即 时，方程无解；当时， 原方程无解， 原方程有增根， 或，或，或 ， 解得或.综上所述，的值为或或.故答案为或或 . 14 易错点2 不检验、分子未变号、常数项未乘公分母致错 4.小丁和小迪分别解方程 过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ，去括号，得 ，合并同类项，得 ， 解得 ， 原方程的解是 . 小迪： 解：去分母，得 ，去括号，得 ，合并同类项，得 ， 解得 .经检验， 是方程的增根，所以原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并 写出你的解答过程.#1.3 【解】小丁和小迪的解法都错误，应在两个框内打“×”.正确解答过程如下： ，去分母，得 ，移项、合并同类项得 ， 检验：将代入中可得 ，故原分式方程的解是 . 15 能力提升题 m≠1且m≠0 m＜2且m≠1 解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝2(x－2)． 整理，得mx＝－8.∵增根为 x＝2，∴2m＝－8，解得m＝－4. 若分式方程有增根，则(x＋2)(x－2)＝0.∴x＝－2 或 x＝2. 当 x＝－2 时，－2m＝－8，解得m＝4；当 x＝2 时，2m＝－8，解得m＝－4. ∴若分式方程有增根，则m＝±4. (2)若分式方程有增根，求m的值； 由(2)知，当 m＝±4 时，分式方程有增根，即分式方程无解； 去分母后的方程为mx＝－8，当 m＝0 时，方程无意义，即方程无解． 综上，若分式方程无解，则 m＝±4 或 m＝0. (3)若分式方程无解，求m的值． 17 8. 阅读材料，并完成下列问题： 不难求得方程x＋＝2＋ 的解是x1＝2，x2＝ ；x＋ ＝3＋ 的解是x1＝3，x2＝ ； x＋ ＝4＋ 的解是x1＝4，x2＝ . (1)观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x＋＝a＋(a≠0)的解是______________； 📝 本课核心知识点回顾 1. 增根的定义：使分式方程的最简公分母的值为零的整式方程的根，叫做原分式方程的增根。 2. 增根产生原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能等于零的整式，从而扩大了未知数的取值范围。 课堂小结 教科书第145页练习 第1，2题 布置作业 5.若关于x的分式方程＝＋1有解，则m的取值范围是________________. 6.[宿迁期末]若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是__________. 7.已知关于x的分式方程＋＝. (1)若分式方程的增根为x＝2，求m的值； (2)试用“求出关于x的方程x＋＝a＋(a≠0)的解”的方法证明你的猜想； 解：∵x＋＝a＋(a≠0)，∴＝.∴ax2＋a＝(a2＋1)x.∴ax2－(a2＋1)x＋a＝0. ∴(x－a)(ax－1)＝0.∴x－a＝0或ax－1＝0，解得x1＝a，x2＝. (3)利用你猜想的结论，解关于x的方程＝a＋. 解：∵＝a＋，∴＝a＋.∴x＋＝a＋.∴x－1＋＝a－1＋.∴x－1＝a－1或x－1＝，解得x1＝a，x2＝. x1＝a，x2＝ $