10.5 分式方程（第2课时 分式方程的增根）（教学课件）数学新教材苏科版八年级下册

该初中数学课件聚焦分式方程的增根，通过解方程实例导入，引导学生发现解得的根使分母为0的现象，衔接分式方程解法，构建从解法到增根理解的学习支架。 其亮点是以问题情境驱动探究，结合讨论交流和分层例题（如含参数增根问题），培养数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言表达（精确描述增根定义）。学生通过检验步骤提升严谨性，教师可借助系统流程和分层练习提高教学效率。

10.5 分式方程 第2课时 分式方程的增根 第十章 分式 学 习 目 标 1 2 会判断所求得的根是不是分式方程的根，进一步掌握分式方程的解法步骤． 了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性． 问题情境 解方程 　 ＝ －1． 解：方程两边同乘 3(x－2)，得 3(5x－4)＝4x＋10－(3x－6)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． x＝2是不是这个方程的解？为什么？ 去分母时，在分式方程的两边同乘了使分母为0的代数式． 不是，当x＝2时，分式 的分母都为0． 新知归纳 将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根（extraneous root）． 分式方程的增根： 分式方程产生增根的原因是什么？ 分式方程在化为整式方程的过程中，未知数允许的范围扩大了． 讨论交流 1. 你认为在解分式方程的过程中，哪一步的变形可能会产生增根？ 分式方程去分母时可能会引起增根． 2. 为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？ 由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验．将解得的根代入最简公分母，看最简公分母的值是不是0，若为0，则是增根． 典例分析 例3 解下列方程： (1) ； 解：(1)方程两边同乘 x (x＋1)，得 30(x＋1)＝20x． 解这个一元一次方程，得 x＝－3． 检验：当x＝－3时，x (x＋1)＝6≠0． 所以原方程的解为x＝－3． 一化(化分式方程为整式方程) 二解(得到的整式方程) 三验(代入最简公分母检验) 四写(写出原分式方程的解) 确定最简公分母 验根有两种方法： 第一种代入原分式方程； 第二种代入最简公分母． 通常使用第二种方法. (2) ． 典例分析 例3 解下列方程： 解：(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得 (x－2)2－(x＋2)2＝16． 解这个一元一次方程，得 x＝－2． 检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0， x＝－2是增根．所以原方程无解. 方法总结 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验． 注意：增根不能舍掉． 新知巩固 解下列方程： (1) ＝ ； 解：(1)方程两边同乘(x－1)，得 4＋x－5(x－1)＝2x． 解这个一元一次方程，得 x＝． 检验：当x＝时，x－1＝≠0． 所以原方程的解为x＝． (2) ； (2)方程两边同乘(x－2)，得 1＝x－1－3(x－2)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． 检验：当x＝2时，x－2＝0， x＝2是增根，所以原方程无解． 新知巩固 解下列方程： (3) ； (4) ． 解：(3)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 3(x－1)＝6． 解这个一元一次方程，得 x＝3． 检验：当x＝3时，(x＋1)(x－1)＝8≠0． 所以原方程的解为x＝3． (4)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 (x＋1)2－(x2－1)＝4． 解这个一元一次方程，得 x＝1． 检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0， x＝1是增根，所以原方程无解． 能力提升 1．(1) 分式方程 有解吗？为什么？ 解：(1)无解．因为解方程 ，得x＝2是方程的增根． (2) 化简分式 ，结果可能为0吗？ (2) ． 当x≠2时，＝1；当x＝2时，无意义， 所以化简结果不可能为0． 能力提升 2．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 解：去分母，得2x＋4＋mx＝3x－6． 由分式方程有增根，得到(x＋2)(x－2)＝0， 解得x＝2或x＝－2． 当x＝2时，4＋4＋2m＝0，即m＝－4； 当x＝－2时，－2m＝－12，即m＝6． 综上，m的值是－4或6． 分式方程中最简公分母＝0，求得x 代入整式方程求待定字母的值 能力提升 3．已知关于x的方程＝－1无解，求m的值． 解：两边同乘(x－3)得：(3－2x)－(2＋mx)＝3－x， 整理，(m＋1)x＝－2， 当m＋1＝0 (即m＝－1)时，此方程无解，所以原分式方程无解． 当m＋1≠0时，解得x＝． 若此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解． 原方程的增根为x－3＝0，即x＝3． 所以，即m＝－． 综上所述，m＝－或m＝－1，原分式方程无解． 分式方程无解包含两种情形： (1) 原方程化去分母后的整式方程无解； (2) 原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 课堂小结 10.5 分式方程（2） 分式方程的增根→式方程变将分形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根． 确定有增根的分式方程中的待定字母． 感谢聆听！ $