3.一次函数的应用-2025年中考数学总复习（吉林版）

3.一次函数的应用 一、选择题 1.为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.测出药物燃烧阶段室内碳水化合物每立方米空气 米 中的含药量y(mg)和燃烧时间x(min)如下表.根据表中数据，可得每立方米空气中的含药量 y(mg)关于燃烧时间x(min)的函数解析式为 () 燃烧时间x/min 2.5 5 7.5 10 密 含药量y/mg 2 4 6 8 封 A.y=20 5 线 B.y=47 C.y Dy 内 2.已知等腰三角形的周长为20cm,底边长为y(cm),腰长为x(cm),y与x的函数解析式为y=20 不 2x,那么自变量x的取值范围是 () 要 A.x>0 B.0<x<10 C.0<x<5 D.5<x<10 慰 答 3.如图反映的是某网约车平台收费y(元)与所行驶的路程x(千米)的函数关系，根据图中的信息，当 题 小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（红 绿灯、堵车等)，他从家到机场需要 () A.10分钟 B.15分钟 C.18分钟 D.20分钟 密 4.在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重 封 力G()的几组数据用电脑绘制成图象（不计绳重和摩擦）如图所示，请你根据图象判断，以下结论 线 正确的序号有 () 外 ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力G=7N时，拉力F=2.2N;③拉力F与重 不 力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N. 要 A.①② B.②④ C.①④ D.③④ 写 y/元 个FN 学 34 号 1.3 ※ 13 0.7 0.5 10x千米 5 6 7 G/N 姓 第3题 第4题 名 二、填空题 5.利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式.在平面直角坐标系xOy中，定义一种坐标加 密方式：将点P(a,b)变换得到点Q(a一3b,b十3a),则称点Q是点P的“加密点”.例如，点M(1,0)的 “加密点”是点N(1,3).已知点A在x轴的上方，且OA=1,若点A的“加密点”B在直线y=x十m 上，则m的取值范围是 6.为节约用水，某市规定：月用水量不超过20吨时，水价为每吨2.5元；月用水量超过20吨时，超过 的部分按每吨3元收费.小王携带200元去营业厅交水费，设小王家月用水量为x吨(x≤70)，付完 水费后剩余金额为y元.y关于x的函数解析式为 中考总复 7.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先 行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程、（单位：步）关于善行者 的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 8.一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离 y(千米)与行驶时间x(小时)的对应关系如图所示，有下列结论：①甲、乙两地相距1200千米；②快 车的速度是90千米/时；③慢车的速度是60千米/时；④快车到达甲地时，慢车距离乙地200千米 其中正确的结论是： (填写所有正确结论的序号). y/千米 S/步 600K 160 P 100 0 10x小时 0 第7题 第8题 三、解答题 9.甲、乙二人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑.图中1和12分别表示甲、乙 二人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x(s)之间的函数关系，其中l1的解析式为y1=8x,问甲追 上乙用了多长时间？ y/m 22- 10 02 x/s 第9题 10.“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某市书吧规定每次去书吧 阅读的费用为2元.现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下 方案一：办理会员卡（会员卡花费30元），每次阅读的费用按六折优惠. 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠， (1)分别写出这两种方案中阅读的费用y与阅读的次数x之间的函数关系式； (2)这两种方案中阅读的费用y与阅读的次数x的关系图象如图所示，请求出点A,B的坐标，并 说明点B所表示的实际意义； (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读80次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少 个y/元 B A 0 x/次 第10题 习·数学 11.要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木 盒，B种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒，如图1.现有200张规格为 40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2.切割、拼接等板材损耗忽略 不计. (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使 用乙种方式切割的木板材 张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A,B木盒的个数 和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张 成本8元.根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为 (20-2)元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元.在(2)的条件下，两种木盒 的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润 20 20 20 10 20 20 10 20 10 20 甲种切割 乙种切割 图1 图2 第11题 中考总复 米 12.如图，在边长为12cm的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点P从点A出发，在正方形边上 沿A→B→C→D的方向以大于1cm/s的速度匀速移动，点Q从点D出发，在CD边上沿D→C 方向以1cm/s的速度匀速移动，P,Q两点同时出发，当点P,Q相遇时即停止移动.设点P移动 的时间为t(s),正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为y(cm).已知点P移动到点B 处，y的值为96（即此时正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为96cm2). (1)求点P的速度； (2)求y与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围. D-0 P 第12题 密 封 线 米 6 习·数学二7.-18(4,1)9.y=30 30x,y10.4 11.6cm12.(2,1) 三、13.(1)解：如图所示. (2)解：如图所示. 第13题 (3)解：点B'的坐标为(2,1). 14.(1)解：根据函数图象，可知小华家离体育活动中心 的距离是4800米. (2)解：24一16=8（分钟）.所以小华在新华书店停留了 8分钟， (3)解：小华从新华书店去体育活动中心的路程为 4800一3000=1800（米），所用时间为28一24= 4(分钟)，小华从新华书店到体育活动中心骑车的平均 速度是1800÷4=450（米/分）. (4)解：根据函数图象，小华一共行驶了4800十2× (4000-3000)=6800(米). 15.(1)解：.点P到x轴的距离为1，∴.|2m十3|=1， .m1=-1,m2=-2. (2)解：点P到y轴的距离为2，m一1=2，∴.m1= 3,m2=-1. (3)解：若点P可能在第一象限坐标轴夹角的平分线 上，则m一1=2m十3，∴m=一4.'点P在第一象限， ∴.m-1>0,2m+3>0,.m>1,.m=-4不合题 意..点P不可能在第一象限坐标轴夹角的平分 线上 16.(1)63788105【解析：，从第一张白纸开始， 之后每增加一张白纸，纸条的总长度就增加17cm,∴.当 x=2时，y=37;当x=5时，y=88;当x=6时， y=105.】 (2)解：根据表格中的数据变化规律，得y=20x 3(x-1)=17x+3,.y与x的关系式为y=17x十3. 17.(1)解：由图象得，点P在BC上移动了4s,故 BC=2×4=8(cm).点P在CD上移动了2s,故 CD=2X2=4(cm).点P在DE上移动了3s,故 DE=2X 3=6(cm).EF AB-CD=6-4= 2(cm)可得，点P在EF上移动了1s.由AF=BC+ DE=8+6=14(cm)可得，点P在FA上移动了7s. .图形面积=14×6-4×6=84-24=60(cm2).故 BC的长为8cm,图形面积为60cm2. (2)解：由图象得，a是点P移动4s时△ABP的面 积，“a=2×6×8=24(cm2).b为点P走完全程的 时间，.b=4+2+3+1+7=17(s).故图中的a是 24,b是17. 2.一次函数的图象和性质 -、1.A2.A3.C4.D5.A6.A 二、7.一、三、四8.x=29.y=3x-210.n 11.k≥112.(-3,1)13.10 三、14.(1)解：，y随x的增大而减小，.6+3m<0, m<一2，.当m<一2时，y随x的增大而减小. (2)解：，一次函数y=(6+3m)x十(n一4)的图象与 y轴的交点在x轴下方，∴.6+3m≠0，n一4<0， .m≠一2，n<4.∴.当m≠一2，n<4时，函数图象与 y轴的交点在x轴下方. (3)解：，一次函数y=(6+3m)x+(n一4)的图象经 过原点，∴.6十3m≠0，n-4=0,m≠-2，n=4..当 m≠一2，n=4时，函数图象经过原点， (4)解：，一次函数y=(6十3m)x十(n一4)的图象不 经过第四象限，∴.一次函数y=(6十3m)x十(n一4)的 图象经过第一、二、三象限或第一、三象限.当一次函数 y=(6十3m)x十(n-4)的图象经过第一、二、三象限 时，6+3m>0,n-4>0,.m>-2,n>4;当一次函数 y=(6十3m)x十(n一4)的图象经过第一、三象限时， 6+3m>0,n-4=0,.m>-2,n=4.综上所述：当 m>一2，n≥4时，函数图象不经过第四象限. 15.1)解：A,B关于y轴对称，m十m+4=0,解 2 得m=一2，.A(一2,2).直线y=kx-1经过点 A,-2k-1=2,解得k=一2 3 (2)解：当k=一1时，直线y=一x-1.,直线y=一x一1 与线段AB存在交点P,∴.当y=2时，一x一1=2，解 得x=一3，∴点P坐标为(-3,2).点P不与点A, B重合，且AP<2,∴.0<-3-m<2,解得-5<m<-3. 16.(1)解：设直线AB解析式为y=kx十b,将A(一1,5)， B(3,-3)代入得厂6+b=5, 使=一2直线 解得 3k+b=-3, b=3. 中考总复 AB解析式为y=一2x+3,把P(2,a)代入y= y=2k-1l -2x+3得：a=-2×2+3=-1,.a的值是-1. (2)解：在y=-2x+3中，令x=0得y=3,∴.D(0,3), 43 在y=-2z+8中，令y=0得x=2C(号o） (3)解：如图.D(0,3),A(一1,5)，P(2,一1)， ∴Sam=号×3X1=号，Sam=号×3X2=3, 1 y=-2x-1+2 图2 第19题 S AAOP=SAAOD+SAPOD三7，·△AOP的面积 3.一次函数的应用 -、1.D2.D3.D4.C -2.5x十200(0x≤20)， 二、5.-2<m≤2W56.y A -3x+210(20<x<70) 7.2508.②③④ 三、9.解：设y2=x+b(k≠0)，代入(0,10)，(2,22)， 0 b=10, B 得 解得 2k+b=22, k=6:所以y=6x十10，当 第16题 b=10, 17.(1)解：，此函数为正比例函数，.一n一3=0， y1=y2时，8x=6x十10，解得x=5.答：甲追上乙用了5s .n=-3. 10.解：(1)由已知得：方案一阅读费用与阅读次数的函 数关系式为y1=30十0.6×2x=1.2x十30.方案二阅读 (2)解：当m=1,n=2时，y=x-5.当x=0时， 费用与阅读次数的函数关系式为y2=0.9×2x=1.8x. y=一5；当y=0时，x=5,∴.此函数与x轴，y轴交点 (2)解：在y1=1.2x+30中，令x=0得y=30,∴.点 坐标分别为(5,0)，(0，一5). {y=1.2x+30, (3)解：，一次函数的图象与直线y=2x十3平行， A(0,30),联立 解得 z=50,.点 y=1.8x, y=90, 2m-1=2m-≠-6 --3≠3， B(50,90),点B所表示的实际意义是当去书吧阅读的 次数是50时，两种方案总花费都是90元. 18.(1)6【解析：当输入的x值为0时，输出的y值 (3)解：选择方案一花费更少.理由如下：当x=80时， 为y=2x+6=2×0+6=6.】 y1=1.2×80+30=126(元)，y2=1.8×80=144(元). (2)解：将(1,8)，(3,6)代人y=kx+b,得 ,126<144,.小东同学选择方案一花费更少 +6=8:解得=-1· 11.(1)(200-x)(200-y) 3k+b=6, b=9. (2)解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出 (3)解：当x<1时，2x十6=0，x=-3;当x≥1时， 4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的 一x十9=0，x=9.综上，输出的y值为0时，输入的x 木板材(200一y)张，则可切割出8(200一y)个长为 10cm、宽为20cm的木板.设制作A种木盒x个，则 值为-3或9. 需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒 19.(1)-x (200一x)个，则需要长、宽均为20cm的木板(200-x) (2)①4 个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4(200-x)个，故 ②解：如图1所示. 4y=5x+(200-x), (3)①-2x+4 解得=10· 故制作A种木 8(200-y)=4(200-x), y=150, ②解：如图2所示. 盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的 (4)当a>0,函数y=ax一b|十c有最低点(b,c) 木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 习·数学 (3)解：，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用 乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方 式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50 张，故总成本为150×5+8×50=1150（元）.，两种木 盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 7≤a≤18， 1 解得7≤a≤18.设利润为w元， 7≤20-2a≤18， 则w=10a+10(20-2a)-1150,整理得：u 850+50a..50≥0，.w随a的增大而增大，故当a= 18时，有最大值，最大值为850+50×18=1750（元）， 则此时B种木盒的销售单价定为20一号×18= 11(元)，即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒 的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大， 最大利润为1750元. 12.(1)解：.在边长为12cm的正方形ABCD中，M是 AD边的中点，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD=BC= 12,AM=MD=6,∴.根据题意得，12X12-2×12×6- 1 6X61=96,解得=4，d点P的速度为2=3cmS (2)解：当点P在边AB上时，y=12×12-2×6× 3-2X61=144-12(0≤1≤4)；当点P在边BC上 时，y=7×(24-31)×12+2×6×(12-t)=180- 1 21(4<t≤8)：当点P在边CD上时，y=2× (36-4t)×6=-12t+108(8<t≤9)；综上所述，y与 -12t+144(0≤t≤4)， t的函数解析式为y= -21t+180(4<t≤8)， -12t+108(8<t≤9). 4.反比例函数的图象和性质 -、1.D2.C3.B4.D5.A6.A 二7.号8-69.无实数根10号111.5（答案 5 不唯-）12.4048 405 三、13.解：：反比例函数y=mxm-5的图象经过二、 四象限，.m2-5=一1，m<0,解得m=-2,.解析 式为y是 14.解：在y=一3x十6中，令y=0,则一3x十6=0，解 得x=2C(2,0B2,)A(0,):点D 为AB的中点点D(1,冬)：点D在直线y= -3x+6上合 =-3×1+6,.k=6. 15.解：图象如图. (1)-3 (3)y<-6或y>3 第15题 1 16.(1)解：AB/y轴，.S△Ac=2AB·OA=2×3X 3 0A=20A=1…B1,3). (2)解：BD=AB=3,∠ABD=90°，∴.DB∥x轴， ÷D(一-2,3).设反比例函数解析式为y一会，3=冬2 得=-6，y=一6 17.(1)1<x<5【解析：联立y1=-x+6(x>0)和 -26>0),得-x十6=三，解得x=1或5，观察 函数图象知，当y1>y2时，x的取值范围是1< x<5.】 (2)①2028【解析：设矩形N的边长分别为m,n, 由题意得：z十y=m十)且z=m,面z十y 7,xy=10,则m十n=14,mn=20,故周长为28，面积 为20.】 ②解：假设存在矩形Q,其边长为s,t,同理可得：s十 。-2x十》名-2y-9则存在方程：2x 110 7x十10=0.△=49-80<0，方程无解，故不存在矩 12 中考总复 形Q. 令y=0,得x=一2，.A(-2,0).设二次函数的解析 10=一x十 （3)解：存在.理由：联立两个函数解析式得 式为y=a(x+2)2,把B(0,-2)代入得4a=-2,解 7,解得x=2或5，即点C,D的坐标分别为(2,5)，(5,2). 得a=一号，抛物线的解析式为y=一号(z十2)= 设点E(x,y),当CO为对角线时，由中点坐标公式得 2x2-2x-2. 2=x+5 x=-3, 。解得 即点E(一3,3)；当OD或 5=y十2 y=3, (2②)解：令y=-2.得-+2)=-2解得x,= 5=x+2, x=5+2, OE为对角线时，同理可得 或 解 -4,x2=0,.BC=4. 2=y+5 y=5+2, 15.(1)y=x2-8x+10(4,-6)【解析：把M(1,3) x=3, x=7, 得 或 y=-3y=7, 即点E(3,-3)或(7,7).综上， 代入y=x2+mx+10得1+m+10=3,解得m= 一8，.抛物线C的解析式为y=x2-一8x十10.y= E(-3,3)或(3，-3)或(7,7). x2-8x十10=(x-4)2-6,∴.顶点Q的坐标为(4，一6).】 5.反比例函数的应用 (2)解：把P(a,-2)代入y=x2-8x+10得a2 8a十10=-2，整理得a2-8a十12=0，解得a1=2, -、1.C2.B a2=6.,抛物线C:y=x2-8x十10的顶点坐标为 二、3.F=600 4.R3.6 (4,一6)，∴.抛物线的对称轴为直线x=4.:点P在 三、5.(1)解：设y与工的函数解析式为y=(k≠0)， 对称轴的右侧，a=6. (3)解：，平移后的抛物线的解析式为y=x2十4x十 把P(144,0.5)代入得0.5=144，解得k=72.小y与 10=(x十2)2+6，∴.平移后的抛物线的顶点Q'的坐标 为（一2,6）.：平移前抛物线的顶点Q的坐标为 72 x的函数解析式为y=工 (4,-6),.QQ′=√(4+2)2+(-6-6)7=6W5.点 72 P′移动的路程等于顶点移动的距离，而顶点移动的最 (2)解：当x=180时，y= 180 =0.4(万元)，答：则每月 短路程为线段QQ'的长，∴.点P移动的最短路程为6√5. 应还款0.4万元 16.(1)证明：，△=4m2-4(2m-1)=4m2-8m+4= 6.(1)解：依题意，直线OA过(}，20)，则直线OA的 4(m一1)2≥0，所以不论m为何值，该二次函数的图象 与x轴总有公共点. 解析式为y=80x,当x= 之时，y=120,即 (2)证明：，y=x2-2x+2m-1=(x-m)2-(m-1)2, A(侵，120设双曲线的解析式为y=会，将点 ∴.二次函数y=x2一2m.x+2m一1的顶点坐标为 (m,-(m-1)2）.当x=m时，y=-(x-1)2=-(m-1)2, A(停，120)代入得为=180y-18(≥2》】 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函 数y=一(x一1)2的图象上. (2)解：由y三0得当y=20时，x=9,从晚上22：00 (3)-2≤a≤2【解析：当y=-1时，y=-(x-1)2= 到第二天早上6：30时间间距为8.5小时.，8.5<9， -1,解得x1=0,x2=2,当a十2≥0且a≤2时，线段 .第二天早上6：30不能驾车去上班. AB与函数y=一(x一1)2的图象有公共点，所以a的 范围为-2≤a≤2.】 6.二次函数的图象和性质 17.(1)解：：y=ax2+6ax-4m=a(x2+6x)-4m= -、1.B2.A3.D4.A5.C6.B a(x十3)2-4m一9a,∴.抛物线的对称轴为直线x=一3. 3 AB=2,∴.点A的坐标为(-4,0)，把（一4,0）代入 =、7.-18.8-66或29.410.1或- y=ax2+6ax-4m得：16a-24a-4m=0,∴.m=-2a. 11.-112.①③④13.y=-x2+4x-3 (2)解：由(1)得：抛物线的解析式为y=ax2+6ax一 三、14.(1)解：令x=0,得y=一x-2=-2,.B(0,-2), 4m=a(x2+6x)-4m=a(x十3)2-a,点A的坐标 8 习·数学