3.一元二次方程-2025年中考数学总复习（吉林版）

3.一元二次方程 一、选择题 1.下列方程是一元二次方程的是 米 A.x2-1=y B.ax2+bx+c=0 C.6x2-6 D.x2= x 密 2,若a,9是一元二次方程3x2+2z一9=0的两根，则旦+8的值是 a 封 4 58 线 .27 0.21 内 3.将一元二次方程4x2+7=3x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为 不 A.4,3 B.4,7 C.4,-3 D.4x2,-3x 要 4.用配方法解一元二次方程x2一2x一2023=0，将它转化为(x十a)2=b的形式，则a6的值为 製 答 ( 题 A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 5.已知x=2是一元二次方程x2一2mx十4=0的一个解，则m的值为 ( ) 密 A.2 B.0 C.0或2 D.0或-2 封 6.规定：对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2,3】★ 线 1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x十1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围 外 为 ( 不 B.m> 1 要 C.m>且m≠0D.m<且m≠0 写 7.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为 学 15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为 ) 奶 号 ※ D 姓 名 第7题 A.5m或6m B.2.5m或3m C.5 m D.3 m 米 8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是一2和 一5，则原来的方程是 () A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 中考总复 二、填空题 9.一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人 数是共 人 10.在△ABC中BC=2,AB=2√3，AC=b,且关于x的方程x2一4x十b=0有两个相等的实数根，则 AC边上的中线长为一· 1.若关于x的一元二次方程x2-3x一三k=0有实数根，则实数k可取的最小整数值是 3 2.若实数a,6分别满足a2-3a+2=0,b2-36+2=0,且a≠b,则。+6自 13.若关于x的一元二次方程ax2+bx一4=0的一个根是x=1,则代数式8一a一b的值为 14.关于x的一元二次方程a1(x一m)2十k=0与a2(x一m)2+k=0称为“同族二次方程”.如2(x一3)2十 4=0与3(x一3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2(x一1)2十1=0与 (a+2)x2+(b一4)x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 三、解答题 15.用适当的方法解方程： -3=0: (2)x2-4x=6; (3)x2-10x+9=0; (4)2(x-3)=3x(x-3). 习·数学 16.关于x的一元二次方程(m一1)x2+5x+m2一3m+2=0的常数项为0，求m的值. 17.已知实数m,x满足：(mx1一2)(mx2一2)=4. 1若m=3x=9,求x:的值： (2)若m,x1,x2为正整数，求符合条件的有序实数对(x1,x2)有几个. 18.已知a,b是等腰三角形ABC的底和腰长，若a≠b且a,b均是方程x2一6x十8=0的解，求出 △ABC的周长. 中考总复 19.如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分别从点A,C同时出 发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动， 当点P到达B点时点Q随之停止运动.设运动时间为ts. (1)AP= ,BP= CQ= ,DQ= (用含t的代数式表示)； (2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm; (3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm. P Q 个 B 第19题 20.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务. 密 2x2-3x-5=0 解x-x-多…第一步 35 x-+-8+)…第二步 封 (-》-8…第三步 3 7 x一4=士4…第四步 5 x1=2x2=一1…第五步 线 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 ②第二步变形的依据是 (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①x2+2x-3=0(公式法)； ②3(x-2)2=x2一4（因式分解法）. 习·数学2(m-2)>0,解得m<4,其最大整数解为3，即老师 1 在黑板上写的最大整数为3. 28.w7×日-日日 (2)解：第n个等式为”+1，、1=1_1 n2n+1n一2m十7证 1 明：，左边= n(2m+1),右边=1 n+1 n2n+1 nc2n+Dn(2m+i)n2十=左边，”中1. 2n+1 n n+1 111 2n+1n2n+1 24.(1)解：当x=0时，P=22-9=4-9=-5. (2)解：P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+ x-x2-9=5x-5=5(x-1).x为整数，.5(x 1)是5的倍数，即多项式P能被5整除. 25.(1)解：由图可知：一1与2a十3相对，b与√3a相 对.，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反 数，.2a十3-1=0①，b十√3a=0②，由①得：a=-1. 把a=-1代入②得：b=√3，∴a=-1,b=√3. (2)解：由(1)可知：a=-1,b=5,·√6 12a2 2x(-D=度-4=2. (3)2W3 26.(1)(i)75 (ii)(n+1)2-(n-1)2 (2)4(k2-m2+k-m)【解析：(2k+1)2-(2m十1)2= (2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)=4(k2-m2+k- m).】 二、方程与不等式 1.一元一次方程与可化为 一元一次方程的分式方程 -、1.C2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.B =9.0.8x-800=800X15%10.°211.-3 12.(2,一1)（答案不唯一，满足x十y=1且x≠0，y≠0 即可)13.2或-114.15 三、15.解：去分母得，2x一3(30一x)=60,去括号得， 2x一90+3x=60,移项合并得，5x=150,解得x=30. 16.解：去分母得，5x=3x-6,解得x=-3,经检验，x 一3是分式方程的解. 17.解：易知m=一1，此方程化为一2x一4=2，解得x= -3. 18.(1)解：答对1题得4分，答错1题得一1分，不答 得0分，小明答对18道题，答错3道题，则小明得18× 4+3×(-1)+(25一18-3)×0=69（分）. (2)解：设小亮答对x道题，则答错(25一x)道题，.4x+ (一1)×(25-x)=69,解得x=18.8(不合题意)，∴.小亮 的说法不正确 19.解：(1)设甲池的排水速度是xm°/h.根据题意，得 36-3x=2(36-3×8),解得x=4,.甲池的排水速度 是4m3/h. (2)解：设排水t小时.根据题意，得36×2一(4+8)t≥ 24,解得t≤4，.最多可以排水4小时. 20解：由题意可知”号-50m-1）=30m十3》 5m-5=3m+9,5m-3m=5+9,2m=14,m=7. 21.解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（画线略）； 正确解法如下：去分母，得x一1十x一4=2一x,移项， 合并同类项，得3x=7,解得x-子，检验：将x-号代 7 1 人(x一2)中可得：3-2=3≠0，故原分式方程的解 7 是x一3 2解方和吕的解为=-3写 a 1 a 1 a2 1 解得a=2.a-i-a2-a-a(a-1)-a(a-1D （a+1)(a一1D=“。心当a=2时，原式=2+13 a(a-1) 22 23.(1)B型玩具的单价A型玩其的数量 (2)解：设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200一a) 2 个，根据题意得：8a+5(200-a)≤1350，a≤1163， .整数a最大值是116.答：最多可购进A型玩具116个. 24.(1)解：设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个 单位长度，则|(-3十x)-(12一2x)|=3,解得x=4 或x=6.答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等 于3个单位长度： (2)解：设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y,则 y=|-3+x|+|12-2x|,当x≤3时，y=|-3+x|+ 112-2x|=3-x+12-2x=-3x十15，当x=3时，y值 最小，为6.当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|= 一3+x+12一2x=一x+9,当x=6时，y值最小，为 1 中考总复 3.当x>6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x- 12+2x=3x-15,当x=6时，y值最小，为3.综上所 34-a)十4=12，解得a=子阴影面积=12-4× (）=85cm. 12 述，点A,B到原点距离之和的最小值为3. 42+3× 1 2.二元一次方程（组） 50×240 21.任务一：解：“35十15=240（张），该工厂购进 -、1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.B8.D 50张该型号板材，能制作成240张学生椅。 =、9.2010.2-111.612.-213.3614.2 任务二：解：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， 根据题意得：15m十35n=240,n=17.m, 三、15.解： |x=2, y=-3. m=16, m=9, 为非负整数，. 或 16.解：由①，得(x-4y)(x+y)=0,则x-4y=0或 m=2方法 或 n=0n=3n=6, x十y=0,.x=4y或x=一y.把x=4y代入②，得 一：裁切靠背16张和坐垫0张；方法二：裁切靠背9张 4y+2y=6,解得y=1,即x=4×1=4;把x=-y代 和坐垫3张；方法三：裁切靠背2张和坐垫6张. 入②，得一y十2y=6,解得y=6,即x=一6，所以方程 3.一元二次方程 组的解是 x1=4,x2=-6, 或 y1=1y2=6. -、1.C2.C3.C4.D5.A6.D7.C8.B x=2, 17.(1)解： 1 x=-1, y=-5 是关于x,y的二元 =9.910.21.-112.g13.414-50 2k+b=1, 三、15.(1)解：x1=√6，x2=-√6. 一次方程y=kx十b的两组解， -k+b=-5, 解得 (2)解：x1=2+√10，x2=2-√10】 k=2, (3)解：x1=1,x2=9. 即k的值为2，b的值为-3. b=-3, 2 (4)解：x1=3,x2= (2)解：由(1)得：该二元一次方程为y=2x一3，当x= 16.解：由题意，得m2一3m+2=0,m-1≠0，解得 5时，y=2×5-3=7. m=2或1，且m≠1，.m=2. 18.解：设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项 x+y=32, 17.1)解：当m=号，，=9时.（传×9-2）× 目的学生有y人，依题意得： 解得 x-y=4, (仔：-2）=4，解得z,=18 x=18, 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术 y=14. (2)解：当m,x1,x2为正整数时，(mx1一2)，(mx2 类项目的学生有14人. 2)均为整数，m.x1≥1，mx2≥1，mx1-2≥-1，mx2 19.(1)一消元 2≥-1，而4=1×4=2×2=4×1，. m,-2=1‘或 x-3y=40,①-②得 m,x2-2=4 (2)解：整理化简原方程得 2x-3y=7②， |mx1-2=2,mx1-2=4,,mx1=3,mx1=4, 或 或 或 -x=一3，∴x=3,把x=3代入①得3一3y=4,解得 mx2-2=2mx2-2=1,mx2=6mx2=4 x=3, |mx1=6,、mx1=3, 当 1 m=1时，x1=3,x2=6;m=3 y=- 3心方程组的解为 1 mx2=3,mx2=6, 时，x1=1,x2=2,故(x1,x2)为(3,6)，(1,2)，共2个； 20.(1)解：设大正方形边长xcm,小正方形边长 mx1=4, 当 m=1时，x1=4,x2=4;m=2时，x1=2, ycm,依题意得 |x+2y=20, |x=12, 解得 答：大正方 mx2=4, x-2y=4, y=4. x2=2;m=4时，x1=x2=1,故(x1,x2)为(4,4)，(2,2)， 形和小正方形的边长分别是12cm和4cm. (1,1),共3个；当 mx1=6, m=1时，x1=6,x2=3; (2)解：设重叠的小正方形边长为acm,依题意得 mx2=3, 04 习·数学 m=3时，x1=2,x2=1,故(x1,x2)为(6,3)，(2,1)， 2个.综上所述，共有2+3十2=7（个）. 18.解：x2一6x+8=0,则(x一2)(x一4)=0，解得 x1=2,x2=4.:a,b是等腰三角形ABC的底和腰长， a≠b,.三角形的三边长分别为4,4,2，.△ABC的 周长=4+4+2=10. 19.(1)3tcm(16-3t)cm2tcm(16-2t)cm (2)解：依题意得：7[16-30)+2]×6=3，整理得： 16-t=11,解得t=5.答：当t为5时，四边形PBCQ 的面积为33cm2. (3)解：如图，过点Q作QE⊥AB于点E,则PE=|(16 -3t)-2t|=|16-5tl,依题意得：|16-5t2+62=102, 即16-5)=8，解得=d,-器答：当：为或 8 气时，点P和点Q的距离为10cm,】 第19题 20.(1)①B ②等式的基本性质 (2)解：①x2+2x-3=0,a=1,b=2,c=-3,△=22 4X1×(-3)=16>0,x=-6±/6-4a0=-2±4 2a 2×1 -1士2，所以x1=1,x2=-3. ②3(x-2)2=x2-4,3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0, (x-2)(3x-6-x-2)=0,x-2=0或3x-6-x 2=0,所以x1=2,x2=4. 4.方程（组）的应用 1.解：设小杯饮品每杯x元，则大杯饮品每杯(x十3) 元，3(x十3)=4x,解得x=9.答：小杯饮品每杯9元. 2.解：设该时期1锱的重量为x克，1铢的重量为y克， 由题意得： x十y=10.85,解得 10x+20y=124, =9.3，答：该时 y=1.55. 期1锱的重量为9.3克，1铢的重量为1.55克. 3.解：设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据 题意得：(1十x)2=49,解得x1=6,x2=-8(不符合题 意，舍去).答：一个人每节课手把手教会了6名同学 4.(1)90m (2)①6【解析：，整个过程用时27s,当滑块右端与点 B重合时，滑块停顿2s,'.从点B到点A所用的时间 为27一10一2=15(s),∴.滑块返回的速度为(91一1)÷ 15=6(m/s).】 ②解：分析可得：l1十l2+1=91,故当滑块从右向左滑 动，即12≤t≤27时，l2=6(t-12),l1=90-l2= 162-6t,d=11-l2=162-6t-6(t-12)=-12t+234. ③解：当d=18m时，分两种情况：当滑块从左向右滑 动，即0≤t≤10时，l2=90-9t,d=l-l2=18t-90, 即18t一90=18，解得t=6;当滑块从右向左滑动，即 12≤t≤27时，即d=l1-l2=162-6t-6(t-12)= -12t+234=18,解得t=18.综上所述，t的值为6 或18. 5.(1)24055℃【解析：甲同学用空杯先接了9s温 水，再接4s开水，接完后杯中共有水：20mL/s×9s+ 4s×15mL/s=240mL.设此时杯子里水的温度为 t℃，由题意得，9×20×(t一40)=4×15×(100一t), 解得t=55,.此时杯子里水的温度为55℃.】 (2)解：设乙同学接温水的时间为xs,接开水的时间为ys, |20x+15y=180, 根据题意可得方程组 解 15y×(100一60)=20x×(60-40), 工二6：答：乙同学接温水的时间为6s,接开水的时 得 y=4. 间为4s. 6.(1)解：设茶壶的单价为x元，则茶杯的单价为 (z一100)元，由题意得100=600，解得x=120,经 x-100x 检验，x=120是原方程的解，且符合题意，∴x一100= 120一100=20.答：茶壶的单价为120元，茶杯的单价 为20元. (2)解：设学校购买m个茶杯，方案一的费用为5×120十 20(m-5)=(20m十500)（元），方案二的费用为0.9× (5×120+20m)=(18m+540)(元).当20m+500= 18m+540时，m=20;当20m+500>18m+540时， m>20:当20m+500<18m+540时，m<20.答：当购 买茶杯20个时，两种方案的费用一样；当购买茶杯大 于20个时，方案二省钱；当购买茶杯小于20个时，方 案一省钱. 7.解：设需要从A蓄水池向B蓄水池注水xm3.根据 题意，将贸0二站兰解得一4经检院 中考总复 一4是所列分式方程的解，.需要从B蓄水池向A蓄 式，得-2x>4,x<-2. 水池注水，需要的注水量为4cm3. 17.解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误.由① 1 得x<3+2,所以x<5,由②得-x+2>≥3，所以-x≥ 8.(1)解：由题意得：y=2x十10=30，解得x=40,符合 1,所以x≤一1.故原不等式组的解集是x≤一1. 题意，∴.100-x=100-40=60,∴.50×60=3000（元）， 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元. 18解，不等式组的解集为4一2a<:<5士，根据题意 (2)解：由题意可知，甲种蔬菜种植面积为x亩，则乙种 4-2a=0, 得5+-2.解得 =2, =-1, 所以a十b=2十(-1)=1. 蔬菜种植面积为100-x）亩，由题意得：（侵x+10)x+ 2 50(100-x)=4272,整理得：x2-80x十1456=0，解得 19.(1)2m-1 x1=28,x2=52.当x=28时，100x=72;当x=52时， (2)解：BC与AB的差不小于2，∴BC-AB≥ 2 100一x=48.48<50,∴.不符合题意，舍去.答：甲种蔬 ,BC=2-m-(9-4m)=3m-7,AB=m+1 菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲 1 乙两种蔬菜总种植成本为4272元. (2-m)=2m-1,∴.3m-7-(2m-1)≥ 2,m≥ 9.(1)解：道路的宽为x米，根据题意得，(52一2x) 号m数小取号 13 (28-2x)=640,整理得：x2-40x+204=0,解得 x1=34(舍去)，x2=6.答：道路的宽为6米。 20.(1)x>2或x<-2 (2)解：设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元， (2)解：由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得① x-5>0, 根据题意得：(200+a)(50-号）=10125，整理得： |x-5<0, 或② 解不等式组①无解，解不等 x+3<0 x+3>0, a2-50a十625=0，解得a=25.答：每个车位的月租金 上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元. 式组②得3<r<5,所以原不等式30的解架 为-3<x<5. 5.不等式（组） 21.(1)①数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2 -、1.B2.D3.C4.B5.C6.B7.C ②一3,3（答案不唯一，合理即可） (2)①x≤-4或x≥4 8.z<-69.8.810.m51.4129≤ ②-4<x<4 m<1213.0≤m<3 1 6.不等式（组）的应用 三、14.解：ax-x-2>0,(a-1)x>2,当a-1=0,则 1.(1)解：由题意得：W=2+(一5)十（一3a)=一3一 ax-x-2>0为空集，当a-1>0,则x>。名当 3a=6,解得a=-3. (2)解：由题意得：W=2+(-5)+(-3a)=-3- a-1<0,则x<, a-1 3a≤1，解得a≥-3a的负整数解为-1. 4 15.解：11<是22u+D=6≤38-z,2z中 2.解：设一个玻璃球的体积为xcm3,则 2-6≤6-3x,2x+3x≤6十6-2,5x≤10，x≤2.其解 200+24x<500, 解得12<x<12.5.答：一个玻璃球 200+25.x>500 集在数轴上表示如图 体积的取值范围为不小于12cm3且不大于12.5cm3. -5-4-3-2-101 2345 3.解：设用x辆载重量为16t的汽车，则该粮库需要转 第15题 8x+40>16(x-1), 运(8.x十40)t小麦，依题意得 解得 16.(1)解：3m-2x3+2m>1是关于x的一元一次不 8x+40<16.x, 等式，.3十2m=1,解得m=-1. 5<x<7,又x为正整数，.x=6,.8x十40=8× (2)解：由(1)可知，不等式是一3一2x>1,解这个不等 6十40=88.答：该粮库需要转运88t小麦. 习·数学