21.1 四边形、多边形及其内角和专项训练 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.1 四边形、多边形及其内角和 知识点1 多边形的相关概念 （1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （3）对角线：n边形一个顶点的对角线数：n-3；n边形的对角线总数： 知识点2 多边形的内外角和定理 （1）n边形的内角和公式：（n-2）×180° （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和：360° （4）正多边形每个外角的度数： 知识点3 多边形的应用 （1）截角问题：n边形截去一个角后得到边形 （2）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于， 九边形的外角和为． 故选：B． 2．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 3．下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 【答案】C 【分析】根据四边形内角和、外角和定理及内角与外角的互补关系，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为 ∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确． ∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为） ∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确． ∵任意四边形外角和为 ∴C选项表述错误． ∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是 ∴每个外角为，D选项表述正确． 故选：C． 4．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形， 则其内角和为， ∵，， ∴ ． 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 【答案】B 【分析】本题考查了多边形四边形内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键 根据四边形内角和定理，列方程，求解x的值即可． 【详解】已知在四边形中，，，． 根据四边形内角和定理得：， ． 解得；． 所以x的值是65； 故选：B． 6．如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据，得出，再求出，根据四边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是四边形的外角， ， ， ， ． 故选：C 7．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 8．如图，在四边形中，，互相垂直的两直线将四边形分成四个区域，对于的关系： 甲：若，则； 乙：若，则． 其中正确的是（    ）    A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】根据，得出，根据，得出，判断甲正确；根据，得出，根据，得出，判断乙正确． 根据 【详解】解：甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故甲正确； 乙：∵， ∴， ∵， ∴，故乙正确； 综上分析可知，甲、乙都正确，故C正确． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了垂线的定义，四边形内角和为，补角的性质，解题的关键是熟练掌握补角的性质． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 10．若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，利用正多边形的外角和为360°，先求出外角，再计算边数 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴外角是， ∵， 则该多边形的边数为8， 故答案为：8． 11．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是___________； 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，掌握四边形内角和是 360 度是解决问题的关键． 利用四边形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形， ， ∴， 故答案为：． 12．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 14．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【分析】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 15．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 2．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键． 多边形的内角和公式为，其中为边数且，因此内角和必须是的整数倍。 【详解】解：∵ 多边形的内角和为， ∴ 内角和必为的倍数。 A、，为整数，不符合题意； B、，为整数，不符合题意； C、，为整数，不符合题意； D、，不为整数，符合题意． 故选：D． 3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 4．如果一个正多边形的内角和等于外角和3倍，那么这个多边形是（    ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及外角和性质．利用多边形内角和公式以及外角和性质建立方程求解，即可作答． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵多边形的外角和恒为， ∵一个正多边形的内角和等于外角和3倍， ∴ ∴ ∴， 因此该多边形为正八边形． 故选：D． 5．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 6．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到a，b，c的值，即可解答． 【详解】解：如图1，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为4个三角形， 如图2，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为5个三角形； 如图3，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为6个三角形， ∴，，， ∴． 故选：B． 7．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理和平行线的性质，根据垂直的定义可得，结合内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图（1），四边形纸片中，，．如图（2），将纸片右下角沿直线向内翻折得到．若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理，平行线的性质．先证明，再利用四边形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，掌握任意正多边形的外角和为，每个外角的度数等于除以边数是解题的关键． 根据正多边形外角和为，正五边形的5个外角相等，用外角和除以边数即可求出一个外角的度数． 【详解】解：∵正多边形的外角和恒为 ∵该图形为正五边形，共有个相等的外角 ∴其一个外角的度数为 故答案为：． 10．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 11．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 12．将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的特征，解题的关键是掌握正六边形的每个外角都是． （1）运用组成图形的边的数量和乘以边长解题即可； （2）先延长交直线于点，延长交于点，再根据垂直的定义和平行线的性质得出，利用正六边形的每个外角都是，得出，最后根据直角三角形中，两个锐角互余，即可解答． 【详解】解：（1）图1中螺母组成的图形的周长为：； （2）如图，延长交直线于点，延长交于点， ， ． ， ， ． 图形是正六边形， ， ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 14．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题重点考查四边形的内角和等于、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明 是解题的关键．由，根据四边形的内角和等于求得，而，则，即可由，，，证明 ，则． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用显微镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用相似图形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴ 依题意，用显微镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D. 2．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图所示，在正五边形中，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质得，，再利用三角形内角和求即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ． 故选C． 4．有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，由三角形内角和定理可得，由通过四边形内角和定理得，则有，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点 ，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用垂直的定义和对顶角相等结合已知条件得出、的度数，再利用四边形的内角和为即可求解．本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等和四边形的内角和的知识点，解题的关键是通过已知条件找到各角之间的角度关系，利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】，， ， （对顶角相等）， 在四边形中， ，， ， ， ， 则的度数为150°． 故选：A． 6．如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查四边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，先证，结合角平分线的定义，得出，再在和中利用三角形内角和定理列式，通过等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 分别平分和， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得， 故选：C． 7．已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（    ） A．小明的方法正确 B．小芳的方法正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的边数与内角的关系．小明设边数分别为和x，则内角分别为和，根据其比为列方程；小芳设内角度数分别为和，则边数分别为和，根据其比为列方程，即可判断解答． 【详解】解：小明设边数为和x，则内角分别为和，根据其比为，列方程得， ， 即， 所以小明的方法正确． 小芳设内角度数为和，则边数分别为和，其比为，列方程得 ， 即 所以小芳的方法正确． 故两人方法都正确． 故选：C． 8．如图是由4个边长为2的正六边形组成的图案的顶点均在正六边形的顶点上，则的长度为（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意做出辅助线，标记点，过点作交于点；过点作交于点，由4个六边形都是正六边形且边长为2，的顶点均在正六边形的顶点上，得到，，证得四边形是平行四边形，所以，再证明为等边三角形，得到；利用三线合一的性质得到，在中，利用勾股定理求出，从而得出；最后在中，由勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图所示，标记点，过点作交于点；过点作交于点， ∵4个六边形都是正六边形且边长为2，的顶点均在正六边形的顶点上， ∴，，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 在中，， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 又∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是____________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】利用四边形内角和为，以及外角与相邻内角互补的关系，通过代数运算求解． 本题考查了多边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设与这个外角相邻的内角为 因为四边形的内角和为 ， 所以与这个外角不相邻的三个内角的和为： ． 故答案为： 10．如图，四边形中，，，，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等，及三角形内角和为是解题的关键． 连接，将四边形分割为两个等腰三角形，利用的条件，结合三角形内角和定理，先求出中底角的度数，再算出中底角的度数，最终求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 11．如图，线段、的中垂线交于点D，且，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． 过D点作，，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据四边形的内角和是求解即可． 【详解】解：连接， ∵线段、的中垂线交于点D， ∴线段分别是线段的中垂线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在凸四边形中，，，平分，，则_______． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质及角平分线的概念，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．在上截取，通过证明，得到，，再利用邻补角的定义证得，根据四边形内角和为即可得答案． 【详解】解：如图，在上截取， 平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，四边形内角和为， ∴． 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 14．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 15．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.1 四边形、多边形及其内角和 知识点1 多边形的相关概念 （1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （3）对角线：n边形一个顶点的对角线数：n-3；n边形的对角线总数： 知识点2 多边形的内外角和定理 （1）n边形的内角和公式：（n-2）×180° （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和：360° （4）正多边形每个外角的度数： 知识点3 多边形的应用 （1）截角问题：n边形截去一个角后得到边形 （2）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 4．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 6．如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在四边形中，，互相垂直的两直线将四边形分成四个区域，对于的关系： 甲：若，则； 乙：若，则． 其中正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．都正确 D．都不正确 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 10．若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 11．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是___________； 12．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为_____． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 14．在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 15．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 2．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 4．如果一个正多边形的内角和等于外角和3倍，那么这个多边形是（    ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 5．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 7．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 8．如图（1），四边形纸片中，，．如图（2），将纸片右下角沿直线向内翻折得到．若，，则为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 10．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 11．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    12．将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 14．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 15．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用显微镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 2．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正五边形中，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点 ，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（    ） A．小明的方法正确 B．小芳的方法正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 8．如图是由4个边长为2的正六边形组成的图案的顶点均在正六边形的顶点上，则的长度为（    ） A．10 B． C． D．5 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是____________（用含的式子表示）． 10．如图，四边形中，，，，，则的度数是____________． 11．如图，线段、的中垂线交于点D，且，则的度数为______． 12．如图，在凸四边形中，，，平分，，则_______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 14．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 15．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $