专题07 统计与概率的综合应用（复习讲义）(广东专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 统计与概率的综合应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 数据收集与调查方式的判断 题型二 样本估计总体 题型三 统计图的选择 题型四 概率的计算（列表/树状图法） 题型五 数据的分析 题型六 几何概率 必备知识 知识1 数据的收集（普查、抽样调查）与整理 知识2 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算 知识3 统计图表（条形、扇形、折线、频数分布直方图）的分析 知识4 概率的基本概念与计算方法 知识5 统计与概率的实际应用 命题预测 预测1 数据调查方式的判断（普查/抽样调查）[广东省卷2025年第4题/深圳2025年第4题/广州2025年第3题] 预测2 统计图的选择[常在选填中涉及] 预测3 用样本估计总体的计算[常在统计综合题中涉及] 预测4 概率的基本计算[两年必考] 预测5 列表法/树状图法求概率[广东省卷2025年第20题/深圳2025年第19题/广州2025年第19题] 预测6 多统计图表的综合分析[两年必考] 预测7 概率与游戏公平性的判断[深圳、广州高频] 预测8 频数与频率的计算[常在统计图表题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 统计图表的识别与绘制（条形图、扇形图、频数分布直方图、折线图） 2025：T20（条形图、扇形图——体育活动调查） 2024：T5（频数分布直方图——公园用地面积） 2025：T5（统计图的选择——折线图） 2024：T5（频数分布直方图） 2025：T16（条形图、扇形图——科技主题投票） 2024：T16（条形图、扇形图——预约人数） 数据的代表（平均数、中位数、众数、方差） 2025：T6（中位数、众数——评委打分） 2024：T11（众数）、T19（加权平均数——景区评分） 2025：T20（算术平均数、加权平均数——演讲比赛） 2024：T21（中位数、众数、平均数——提问水平评分） 2025：T16（平均数、中位数、众数——科技主题打分） 2024：T16（平均数、众数、中位数、方差——预约人数） 概率的计算（一步概率、两步概率、几何概率） 2025：T9（几何概率——扇形落点） 2024：T6（一步概率——文化选择） 2025：T21（格点概率——反比例函数与直线围成区域） 2024：T21（树状图法——两组抽人） 2025：T3（一步概率——抽书） 2024：T4（一步概率——节气） 统计与概率的综合应用（用样本估计总体、决策、设计权重等） 2025：T20（用样本估计总体——体育活动时间） 2024：T19（加权平均数决策——景区选择） 2025：T20（设计权重——演讲比赛） 2024：无 2025：T16（决策——选择科技主题） 2024：T16（决策——预约学校） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“统计与概率”板块将继续以基础题和中档题为主，常出现在选择题、填空题和解答题的前半部分。 · 统计图表：必考内容，主要考查条形图、扇形图、频数分布直方图、折线图的识别、补全和信息提取。解答题中常要求补全统计图并计算相关统计量。 · 数据的代表：平均数（算术平均数和加权平均数）、中位数、众数、方差的计算与意义是高频考点，常结合统计图表一起考查。 · 概率：一步概率（古典概型）和两步概率（列表法或树状图法）是常见题型，偶有几何概率（如广东省卷2025年T9）。题目背景贴近生活（如节气、文化活动、投票、抽奖等）。 · 综合应用：能用样本估计总体，能根据统计量做出合理决策（如选择哪所学校、哪个景区、哪个主题），能设计权重并解释理由。 2. 备考建议 · 熟练掌握三种常见统计图（条形图、扇形图、折线图）的特点和绘制方法，能从统计图中准确提取信息，并能补全统计图。 · 理解平均数（包括加权平均数）、中位数、众数、方差的概念和计算方法，能根据实际问题选择合适的统计量进行分析。 · 掌握概率的基本计算公式（成功事件数总事件数），能熟练运用列表法或树状图法计算两步试验的概率。 · 了解几何概率的基本思想（面积比、长度比等），能处理简单的几何概型问题。 · 关注统计与概率的实际应用，能结合数据提出合理建议或作出正确决策，培养数据观念和应用意识。 题型一 数据收集与调查方式的判断 1. 普查精准但耗时，适用于范围小、无破坏性的调查；抽样调查高效，适用于范围大、有破坏性的调查。 1. 涉及安全、精密检测等必用普查；人口估算、产品抽检等多用抽样调查。 1．（2024·广东佛山·中考真题）吸烟有害健康，被动吸烟也有害健康．如果要了解人们被动吸烟的情况，则最合适的调查方式是（　　） A．普查 B．抽样调查 C．在社会上随机调查 D．在学校里随机调查 【答案】B 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】要了解人们被动吸烟的情况，由于人数众多，意义不大，选普查不合适，在社会上和在学校里随机调查，选择的对象不全面，故选抽样调查． 故选B． 【点睛】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2．（2024·广东梅州·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定 C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 【答案】B 【分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断． 【详解】解： A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误； B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确； C、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，此选项错误； D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键． 题型二 样本估计总体 1. 利用样本的平均数、频率、百分比，直接推算总体对应数据。 2. 核心计算：总体数量＝样本中目标数量÷样本所占比例。 1．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】(1)200人 (2)375人 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可； （2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：这次问卷调查的学生人数为：（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数有200人； （2）解：（人）， 答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为人； （3）解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施．（答案不唯一） 2．（2023·广东深圳·中考真题）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：      如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲． 【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数； ②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数； ③根据样本估计总体的方法求解即可； ④根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】①（人）， 调查总人数人； 故答案为：100； ②（人） ∴娱乐的人数为30（人） ∴补充条形统计图如下：      ③（人） ∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人； ④若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高； 若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高； 故答案为：乙；甲． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 题型三 统计图的选择 1. 条形统计图看具体数量，折线统计图看变化趋势，扇形统计图看占比关系。 2. 展示数据分组分布时，选用频数分布直方图。 1．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． (2)为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________，________，________． (3)结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 【答案】(1)，补全统计图见解析 (2)8，9，8 (3)见解析（言之有理即可） 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求中位数、众数、平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解； （3）可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【详解】（1）解：本次投票人数为：（人）， 科技安全人数为：（人）， ∴占比为：， 补全条形统计图为： 故答案为：； （2）解：， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数； 在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴， 故答案为：8，9，8； （3）解：应该选择“科技畅想”，因为给“科技畅想”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一）． 题型四 概率的计算（列表/树状图法） 1. 两步及以上随机试验，用列表法或树状图列出所有等可能结果。 2. 概率＝符合条件的结果数÷总结果数，分清放回与不放回两种情况。 1．（2024·广东广州·中考真题）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 (1)求组同学得分的中位数和众数； (2)现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】(1)组同学得分的中位数为分，众数为分； (2) 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； （2）解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 2．（2023·广东广州·中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2)公平．理由见解析 【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可； （2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴乙选中球拍C的概率； （2）解：公平．理由如下： 画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果， ∴甲先发球的概率， 乙先发球的概率， ∵， ∴这个约定公平． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 题型五 数据的分析 1. 平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，方差反映波动程度。 2. 方差越小数据越稳定，选择方案时结合实际需求判断。 1．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二； (3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； （3）解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 2．（2024·广东深圳·中考真题）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 学校B： (1) 学校 平均数 众数 中位数 方差 A ①______ 48 48 B 48.4 ②______ ③______ 354.04 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【答案】(1)，， (2)小明爸爸应该预约A学校，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）求出A的方差，根据方差判断即可得解． 【详解】（1）解：学校A的平均数为：， 由题意可得学校B的众数为：，中位数为， 填写表格如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 B 48.4 354.04 （2）解：小明爸爸应该预约A学校，理由如下： 学校A的方差为： 故学校A的方差更小，说明学校A的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小明爸爸应该预约A学校． 3．（2024·广东·中考真题）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 (1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？ (2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ (3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由． 【答案】(1)王先生会选择B景区去游玩 (2)王先生会选择A景区去游玩 (3)最合适的景区是B景区，理由见解析（不唯一） 【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数： （1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩； （2）解：A景区得分分， B景区得分分， C景区得分分， ∵， ∴王先生会选择A景区去游玩； （3）解：最合适的景区是B景区，理由如下： 设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为， A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩． 题型六 几何概率 1. 几何概率＝目标区域的面积（长度）÷总区域的面积（长度）。 2. 复杂图形用割补法计算面积，确保区域划分清晰无重复、无遗漏。 1．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 知识1 数据的收集（普查、抽样调查）与整理 普查：对全体考察对象进行调查，结果准确，但耗时长、成本高，具有破坏性时不适用。 抽样调查：抽取部分个体调查，省时省力，样本需具有代表性、广泛性、随机性。 相关概念：总体（全体对象）、个体（每个对象）、样本（抽取部分）、样本容量（样本数量，无单位）。 整理方式：分组、排序、划记法统计频数。 知识2 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算 平均数：反映数据平均水平，公式：；加权平均数。 中位数：数据排序后，中间位置的数（偶数个取中间两数平均），反映中等水平，不受极端值影响。 众数：出现次数最多的数据，反映集中趋势，可不止一个。 方差：衡量数据波动大小，，方差越大，波动越大、越不稳定。 知识3 统计图表（条形、扇形、折线、频数分布直方图）的分析 条形图：清晰展示各组数量多少。 扇形图：表示各部分占总体的百分比，圆心角度数百分比。 折线图：反映数据变化趋势。 频数分布直方图：展示数据分布情况，组距相同时长方形面积表示频数。 解题关键：补全图表、利用总量与部分量互算、提取信息进行判断。 知识4 概率的基本概念与计算方法 必然事件：概率；不可能事件：概率；随机事件：。 公式：事件可能出现的结果数所有等可能结果数。 计算方法： · 直接列举法、列表法（两步试验）、树状图（两步及以上试验），确保结果等可能、不重不漏。 知识5 统计与概率的实际应用 统计应用：用样本估计总体，根据统计量、图表进行决策、判断、预测。 概率应用：判断游戏公平性、评估风险、预测事件发生可能性、优化方案选择。 核心：用数据说话，结合实际意义解释结果，避免片面判断。 命题预测1：数据调查方式的判断（普查/抽样调查）[广东省卷2025年第4题/深圳2025年第4题/广州2025年第3题] 1．（2025·广东揭阳·三模）下列调查方式中，合适的是（   ） A．了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用抽样调查 B．神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用抽样调查 C．了解广东省九年级学生的视力情况，用全面调查 D．了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查 【答案】D 【分析】根据全面调查和抽样调查的适用条件，逐一分析解答即可． 本题考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握选择调查的方法是解题的关键． 【详解】解：A. 了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用全面调查； B. 神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用全面调查； C. 了解广东省九年级学生的视力情况，用抽样调查； D. 了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查． 故选：D． 2．（2025·广东广州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） ． A．4的平方根是2 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 D．数据2，0，3，2，3的方差是 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，求一个数的平方根，菱形的判定，调查方式的判断，求方差，根据平方根的定义可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；由于涉及安全性，则对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，据此可判断C；求出方差即可判断D． 【详解】解：A、4的平方根是，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原命题是假命题，不符合题意； D、数据2，0，3，2，3的平均数为， ∴数据2，0，3，2，3的方差为，原说法是真命题，符合题意； 故选：D． 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．对洛阳市区空气质量的调查 B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·广东梅州·一模）下列调查中，调查方式选择合理的是（   ） A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式 B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式 C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式 D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式 【答案】C 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、调查某班同学的视力水平，应采用全面调查方式，选项不合理，不符合题意； B、调查某品牌手机的使用满意度，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意； C、调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式，选项合理，符合题意； D、要了解我省初中生的体育爱好情况，应采用抽样调查的方式，选项不合理，不符合题意． 故选：C． 5．下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　　） A．对我国中学生视力状况的调查 B．检查某批次手机电池的使用寿命 C．对春节期间居民出行方式的调查 D．旅客乘坐飞机前的安全检查 【答案】D 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、对我国中学生视力状况的调查，范围广，人数众多，适宜采用抽样调查，故A不符合题意； B、检查某批次手机电池的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故B不符合题意； C、对春节期间居民出行方式的调查，范围广，人数众多，适合抽样调查，故C不符合题意； D、旅客乘坐飞机前的安全检查，涉及安全性，适合普查，故D符合题意； 故选：D． 命题预测2：统计图的选择[常在选填中涉及] 1．（2024·广东江门·模拟预测）地壳中含量最高的元素是氧，约占（质量百分比），其次是硅，约占，铝约占素，铁约占，其他元素约占．要反映上述信息，宜采用的统计图是（   ） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 【答案】C 【分析】本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可． 【详解】解：地壳中含量最高的元素是氧，约占(质量百分比)，其次是硅，约占，铝约占，铁约占，其他元素约占． 要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图． 故选：C． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）某快餐店前5天的销售情况如下：第一天50盒，第二天62盒，第三天57盒，第四天70盒，第五天78盒．要清楚地反映该快餐店前5天的销售情况，应选择制作 ___________统计图． 【答案】条形 【分析】本题考查了扇形统计图、折线统计图、条形统计图 的选择，掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点是关键， 根据扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况，条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，即可解答． 【详解】解：根据题意， 要表示盒饭的前5天销售情况，即销售数量，应选用条形统计图． 故答案为：条形． 3．（2025·广东深圳·一模）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A 68 B a C 510 D 177 合计 1000 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 (1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　； (2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）； (3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人； (4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 【答案】(1) (2)扇形统计图 (3) (4)小明分析数据的方法不合理，理由见解析 【分析】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用总人数分别减去其它三类人数可得a的值； （2）根据“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”的特征解答即可； （3）用20万人乘样本中“都不戴”安全头盔的占比可得答案； （4）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果． 【详解】（1）解：， 故答案为：245； （2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图； 故答案为：扇形统计图； （3）活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为： （万人）． 估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数约为万人， 故答案为：； （4）小明分析数据的方法不合理，理由如下： 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：， 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：． ．因此交警部门开展的宣传活动有效果． 4．（2024·广东佛山·一模）跳绳是某市体育中考的选考项目，评分标准的一部分如下表1： 次数/分钟 180 160 140 120 100 分数 100 90 80 70 60 为了解班上同学的跳绳成绩，体育委员统计了全班同学一分钟跳绳的次数，并列出数据如下表2： 次数/分钟 人数 11 17 9 8 5 (1)画出适当的统计图表示上面表2的信息； (2)用学过的统计知识评价这个班的跳绳成绩． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了画统计图，根据题意画出合适的统计图是解题的关键． （1）画出条形统计图即可； （2）根据统计图的信息分析即可． 【详解】（1）解：根据题意，画条形统计图如下： （2）这个班的跳绳成绩，大多数同学一分钟跳绳次数在范围内，即大多数同学成绩在70分到100之间，极少数同学一分钟跳绳次数在范围内，即极少数同学是100分．（答案不唯一） 命题预测3：用样本估计总体的计算[常在统计综合题中涉及] 1．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 2．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 3．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. （3）解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 4．（2025·广东广州·模拟预测）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下： 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 7 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 90 36.4 八年级 84 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少人？ (2)根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平． 【答案】(1)320人 (2)八年级的学生交通法规知识掌握的总体水平较好，理由见解析 【分析】本题考查频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （2）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：（人）． 答：这两个年级测试成绩达到优秀的学生总人数一共是320人； （2）解：七八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生交通法规知识掌握的总体水平较好． 5．（2025·广东汕头·一模）为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由C级的人数和所占百分比求出本次被抽取的部分人数，再由乘以B级所占的比例即可； （2）由全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶ (名)， ∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 故答案为∶，． （2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶ (名)， 故答案为∶． （3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图∶ 共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种， 小利被选中的概率为∶． 答：小利被选中的概率为． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解交通法规的有 人． (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求圆心角的度数，用样本估计总体的思想，补全统计图，画树状图求概率， 对于（1），先求出总人数，即可求出C组对应的圆心角，再用全校总人数乘以A组所占的百分比可得答案； 对于（2），先求出B，D组的人数，再补全统计图即可； 对于（3），画出树状图，再根据概率公式可得答案. 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为(人)， 扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是， 全校非常了解交通法规的有 (人)， 故答案为 ； （2）解：类别人数为， 则类别人数为， 补全条形图如下： （3）解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）某县政府为了解年该县贫困户的脱贫情况，随机调查了部分贫困户，并根据调查结果制作了如下两幅统计图（不完整）    请根据统计图回答下列问题 (1)随机调查的贫困户有 户， ， ．并补全条形统计图． (2)扇形统计图中，本年度脱贫部分的圆心角是 度； (3)记者从县扶贫办了解到，该县共有户贫困户，请你估计到年底该县实现脱贫的贫困户有多少户（含彻底脱贫和本年度脱贫）？ 【答案】(1)，，；图见解析 (2)； (3)户． 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体． 由条形统计图可知，脱贫后返贫户有户，由扇形统计图可知，脱贫后返贫户占调查总数的，随机调查的贫困户有户；由条形统计图可知，本年度脱贫户有户，所以脱贫户占的百分比为；根据彻底脱贫户、脱贫后返贫户、本年度脱贫户的数量求出仍未脱贫户的数量，根据调查总数是，即可求出仍未脱贫户占的百分比，根据各项数据补全条形统计图即可； 根据本年度脱贫户占的百分比为，可知该项所占的圆心角度数为； 利用样本估计总体，可知脱贫的占，再根据总数是户，求出脱贫户的数量即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，脱贫后返贫户有户， 由扇形统计图可知，脱贫后返贫户占调查总数的， 随机调查的贫困户有户， 由条形统计图可知，本年度脱贫户有户， ， 仍未脱贫的户数有户， ， ，， 补全条形统计图如下图所示，    故答案为：，，； （2）解：由可知，本年度脱贫户占， 在扇形统计图中，本年度脱贫部分的圆心角是， 故答案为：； （3）解：本年度脱贫户占，彻底脱贫户占， 实现脱贫的贫困户有（户）， 答：年底该县实现脱贫的贫困户有户． 命题预测4：概率的基本计算[两年必考] 1．（2026·广东广州·模拟预测）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（  ） A．出现点数为2的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为奇数是不可能事件 D．出现点数为偶数是必然事件 【答案】A 【分析】根据等可能事件的概率计算方法，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：∵掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果， ∴对于A选项，出现点数为2的结果只有1种，因此概率为，A正确； 对于B选项，骰子的点数为1到6，不可能出现点数0，因此出现点数为0是不可能事件，B错误； 对于C选项，点数1,3,5都是奇数，可能发生，因此出现点数为奇数是随机事件，C错误； 对于D选项，向上一面的点数也可能是奇数，因此出现点数为偶数是随机事件，D错误． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， ∴点落在椭圆内部的概率为， ∴椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， ∴椭圆的面积为． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需确定所有等可能结果数与所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵总共有4个不同盲盒，随机抽取1个， ∴所有等可能的结果共4种， 又∵恰好抽中笔的结果只有1种， ∴恰好抽中笔的概率为． 4．（2026·广东深圳·一模）2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没·年年有熊》．从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵有《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没·年年有熊》共4种情况，《飞驰人生3》有一种情况， ∴恰好选到《飞驰人生3》的概率是． 5．（2026·广东佛山·一模）在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 6．（2026·广东深圳·一模）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一共有4张卡片，随机抽取时每个结果是等可能的， ∴所有等可能的结果总数为4． ∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀， ∴符合条件的结果数为1． ∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为． 7．（2026·广东深圳·一模）如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是__________． 【答案】 【分析】直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，恰好点击到“雷”的概率为. 8．（2026·广东深圳·一模）某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 【答案】/ 【分析】根据一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月，利用概率公式即可得到抽到的节日在农历正月的概率． 【详解】解：一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月， 抽到的节日在农历正月的概率为. 9．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮． (1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________； (2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和使小灯泡能亮起来的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小灯泡能亮起来的概率是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中使小灯泡能亮起来有4种情况， ∴小灯泡能亮起来的概率． 命题预测5：列表法/树状图法求概率[广东省卷2025年第20题/深圳2025年第19题/广州2025年第19题] 1．（2026·广东广州·模拟预测）某校开展党史知识进校园活动，随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为：A 优秀，B良好，C 合格，D 不合格．将测试的结果绘制成如图所示不完整的统计图． 请根据图中信息回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； (2)该校共有800名学生，请你估计成绩为“良好”及以上的学生有多少名？ (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生满分，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50人，图见解析； (2)估计成绩为“良好”及以上的学生有400名； (3)． 【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；求出C合格的人数，补全条形统计图即可； （2）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ∴C合格的人数为（人）， 补全条形统计图如图： （2）（名）. 答：估计成绩为“良好”及以上的学生有400名； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种， ∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为． 2．（2026·广东广州·一模）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了_____人； ②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°． (2)将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】(1)①50；②72 (2) 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论；②利用圆心角的意义解答即可； （2）利用画树状图法解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得（人）； ②C类所占圆心角为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为． 3．（2026·广东茂名·一模）有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． (1)若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； (2)若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后用概率公式求解，再与（1）中比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意列表如下： 3 8 3 8 共有6种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有2种， 两球上的数字乘积为正数的概率为； （2）解：根据题意列表如下： 3 4 8 3 9 8 16 共有9种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有5种， 两球上的数字乘积为正数的概率为， ∵，， ∴． 4．（2026·广东深圳·一模）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为______°，并将条形统计图补充完整； (3)已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有______人？ (4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)100；42 (2)；条形统计图见解析 (3)910 (4) 【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值； （2）用乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图； （3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：这次抽样调查的总人数为（人）， 所以； （2）解：B组所在扇形圆心角的度数为； B组人数为（人）， 条形统计图补充完整为： （3）解：（人）， 所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人； （4）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 5．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意小明的说法，理由见解析 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）解：同意小明的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 命题预测6：多统计图表的综合分析[两年必考] 1．（2024·广东·模拟预测）某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对传统文化的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行传统文化知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示)：，，，，，．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如图所示．已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ． (2)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对传统文化的关注程度高．请你估计该校七、八年级中对传统文化关注程度高的学生共有多少人？ 【答案】(1)； (2)275人 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图以及用样本估计总体的知识点，关键在于从不同统计图中准确提取信息并进行计算． （1）对于八年级，已知组数据，可先求出组的频数，再根据扇形统计图中组所占比例求出的值；然后根据的值以及七年级频数分布直方图中其他组的频数求出的值； （2）分别求出七年级和八年级样本中成绩不低于90分的人数所占比例，再乘以各自年级的总人数500，最后将两个年级的人数相加，即可估计出七、八年级中对传统文化关注程度高的学生总数． 【详解】（1）解：八年级组数据有个，即组频数为， 观察八年级扇形统计图，设组所占比例为，由图可知， 因为频数总数频率，所以， 七年级抽取名学生，从七年级频数分布直方图可知，组频数为，组频数为，组频数为，组频数为，组频数为，组频数为， ∴， ∴ 故，． （2）七年级样本中成绩不低于90分的人数为人， 七年级样本中成绩不低于90分的人数所占比例为， 八年级样本中成绩不低于90分的人数为人， 八年级样本中成绩不低于90分的人数所占比例为， 七年级对传统文化关注程度高的学生约有人， 八年级对传统文化关注程度高的学生约有人， 所以七、八年级中对传统文化关注程度高的学生共有人． 2．（2025·广东东莞·二模）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 【答案】(1)；； (2)见解答． (3)． (4)见解答． 【分析】本题考查频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念即可求解． （2）先求出八年级的人数，进而补全统计图即可． （3）用七、八年级的人数乘以样本中七、八年级测试成绩为优秀的人数占比即可得到答案． （4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，七年级名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名和第名的学生成绩分别为和， ， 八年级名同学的竞赛成绩的最多，有个， ， 故答案为：；； （2）解：八年级组人数为人， 补全频数分布统计图如图所示． （3）解：（人）， 估计七、八年级测试成绩优秀的共有人． 故答案为：； （4）解：平均数表示两个年级抽取的名学生的平均成绩，从平均数看，，八年级测试成绩较好； 众数表示两个年级抽取的名学生中得分在某个分数的人数最多，从众数看，，八年级测试成绩较好； 中位数表示两个年级抽取的名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩，从中位数看，，八年级测试成绩较好； 方差表示两个年级抽取的名学生的成绩的稳定性，从方差看，，八年级测试成绩较稳定． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 甲种芒果组共50个数据，频数分布如下（单位：）： 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 根据所给信息，解答下列问题． (1)___________，补全图2中的频率分布直方图； (2)在甲品种扇形统计图中，组对应的扇形的圆心角度数为___________； (3)甲品种抽取的芒果的中位数为___________cm； (4)从乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)；图见解析 (2) (3) (4)他的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，中位数，众数，解题的关键是正确理解统计图． （1）由组数据个数及其所占百分比可得选取的甲种芒果的数量，即为乙种芒果的数量，减去乙品种、、、组的频数，即可得乙品种组频数，依此补全频数分布直方图即可； （2）用乘以组的占比计算即可； （3）根据中位数的定义计算即可； （4）根据众数的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 乙品种组频数为， 补全图2中的频率分布直方图如下： 故答案为：； （2）解：在甲品种扇形统计图中，组对应的扇形的圆心角度数为， 故答案为：； （3）解：甲种芒果组频数为， 甲种芒果组频数为， 甲种芒果组频数为， 甲种芒果组频数为， ∵， ∴甲品种抽取的芒果的中位数为组中第个数据和第个数据的平均值， ∴甲品种抽取的芒果的中位数为， 故答案为：； （4）解：他的说法不正确， 理由：乙品种芒果组测量数据共有个，而只是乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取的个数据中的众数，不能依此确定乙品种芒果组测量数据的众数． 答：他的说法不正确． 4．（2025·广东深圳·三模）覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 A B C D E    其中甲种芒果组共个数据，频数分布如下（单位：） 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 解答下列问题． (1) ，补全图2中的频率分布直方图； (2)甲品种抽取的芒果的中位数为 ； (3)从乙品种芒果测量结果的B组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为16.8，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，频率分布直方图见解析； (2)； (3)他的说法不正确，理由见解析． 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，中位数，众数，解题的关键是正确理解统计图． （1）由组数据个数及其所占百分比可得选取的甲种芒果的数量，即为乙种芒果的数量，减去乙品种、、、组的频数，即可得乙品种组频数，依此补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）根据众数的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 乙品种组频数为， 补全图2中的频率分布直方图如下：    故答案为：． （2）解：甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 ∵ ∴甲品种抽取的芒果的中位数为组中第个数据和第个数据的平均值， ∴甲品种抽取的芒果的中位数为， 故答案为：． （3）解：他的说法不正确， 理由：乙品种芒果组测量数据共有个，而只是乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取的个数据中的众数，不能依此确定乙品种芒果组测量数据的众数． 答：他的说法不正确． 5．（2024·广东东莞·模拟预测）小星想了解全国2019—2023年货物进出口总额变化情况，他根据国家统计局2024年发布的相关信息，绘制了如下的统计图． 请利用统计图中提供的信息回答下列问题： (1)①在折线统计图中，2019—2023年货物出口总额的中位数为______万亿元； ②在扇形统计图中，加工贸易所在扇形的圆心角度数为______； (2)货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口总额超过货物进口总额的差额称为货物进出口顺差． 填表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 货物进出口顺差（万亿元） 2.91 3.64 4.12 5.59 ______ (3)写出一条关于我国货物进出口总额变化趋势的信息． 【答案】(1)①21.43  ②64.8 (2)5.79 (3)我国货物进出口总额逐年增加．（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据中位数的定义，圆心角的计算公式即可解答． （2）用2023年得出口总额减去进口总额即可． （3）根据折线统计图解答即可． 【详解】（1）2019—2023年货物出口总额按照从高到低排列：17.24，17.93，21.43，23.63，23.77， 2019—2023年货物出口总额的中位数为21.43万亿元． 加工贸易所在扇形的圆心角度数为：． （2）（万亿元）． （3）我国货物进出口总额逐年增加（答案不唯一）． 6．（2026·广东深圳·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】(1)，补图见解析 (2) (3)， (4)选择型号的纯电动汽车 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】（1）解： 辆， （辆）， 补全条形统计图为： （2）解： （3）解：由题意得，． （4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 7．（2026·广东深圳·一模）某校为了解九年级学生对某个数学知识点的掌握程度，特地开展数学素养调研，随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 (1)请补全第1小组得分条形统计图． (2)第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2 c (3)根据上述图表填空：_____，_____，_____． (4)结合上述数据，请你分析对于该数学知识点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4，，2 (4)第2小组最弱，因为第2小组的平均数、众数、中位数都比第1小组和第3小组的要低，可见该组同学对于该数学知识点掌握程度最弱 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，求解即可． （2）利用圆心角计算公式计算即可． （3）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可． （4）比较中位数，平均数，众数求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得分3分的人数为：（人）， 补图如下： （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，得4分出现的次数最多，故第1组的众数为分； 根据题意，得 （分）； 根据题意，得分0分1人，1分3人，2分8人，3分6人，4分2人， 中位数是第10个，第11个数据的平均数，故（分）． （4）解：第2小组最弱，因为第2小组的平均数、众数、中位数都比第1小组和第3小组的要低，可见该组同学对于该数学知识点掌握程度最弱． 命题预测7：概率与游戏公平性的判断[深圳、广州高频] 1．（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明． 【答案】这个规则公平，理由见解析 【分析】本题考查用列表法与树状图法求概率，游戏的公平性；根据题意列出树状图，找出所有等可能的情况数，找出两张牌面数字之和为3和数字之和为4的情况数，求出两张牌面数字之和为3和数字之和为4的概率，即可判断． 【详解】解：这个规则公平，理由如下： 画树状图如下： 得出所有等可能的情况有6种，其中两张牌面数字之和为3的情况有2种，两张牌面数字之和为4的情况有2种 摸出的两张牌面数字之和为3的概率是，两张牌面数字之和为4的概率是， 则这个规则公平． 2． “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 3．（2024·广东广州·一模）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏． (1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率； (2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2)这个规定否公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式． （1）直接根据概率公式计算即可． （2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：共有4张牌，正面是整数的情况有2种， 所以摸到正面是整数的纸牌的概率是； （2）解：这个规定否公平，理由如下： 画树状图如下： 共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种， ∴甲赢的概率为， 乙赢的概率为， ∴甲赢的概率=乙赢的概率， 故这个规定否公平 4．（2024·广东佛山·三模）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明． (2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______． 【答案】(1)这个游戏不公平，说明见解析 (2)，， 【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可； （2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下： 在区域的（个）方块中随机埋藏着（颗）地雷， 区域中有（个）方块中没有地雷， 小南胜的概率为，小语胜的概率为， ， 这个游戏不公平； （2）解：围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷， 区域中有个地雷， 选择区域踩到雷的概率为； 围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷， 区域中有个地雷， 选择区域踩到雷的概率为； 在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷， 区域中有：（颗）， 选择区域踩到雷的概率为； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 命题预测8：频数与频率的计算[常在统计图表题中涉及] 1．（2024·广东·模拟预测）某县为深入推进乡村产业发展，采购了甲，乙两种型号的包装机去同时包装水稻种子，某质检部门从两种型号包装机已包装好的产品中各随机抽取包测得实际质量（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量与标准质量的差值如下： ，，，，， ，，，，，， 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如下：（每组均包含数据最小值，不包含最大值） 区间 A B C D E F 质量 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子质量的频数分布直方图如图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中__________，乙型包装机包装水稻种子的合格率为__________； (2)你认为哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好？请说明理由． (3)为了更快地包装水稻种子，县里准备再采购一批包装机，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢？（列出一条即可） 【答案】(1) 3 60 (2)甲型包装机情况较好，理由见解析 (3)还应收集两种型号包装机的包装效率（或采购成本、维护成本等）信息 【分析】本题考查了数据的收集与整理（含频数分布表、频数分布直方图的应用）、合格率的计算以及根据统计数据进行决策，解题的关键是从题干信息中准确提取样本容量、各区间频数等有效数据，结合合格区间定义计算相关指标，并基于数据对比做出合理判断． （1）求：利用甲型样本容量为20，用20减去频数分布表中其他区间频数之和；求乙型合格率：先确定合格区间，从直方图提取该区间频数之和，再除以20并转化为百分比； （2）比较包装机：先分别计算甲、乙合格率，再结合数据集中程度，通过合格率高低判断； （3）补充信息：围绕采购决策相关维度，如效率、成本、维护难度等提出合理信息． 【详解】（1）解：∵ 甲型包装机抽取样本容量为20，各区间频数满足， ∴ ，解得；   ∵ 合格区间为，即， 乙型对应区间为、、、， 频数和为 ∴ 乙型合格率为；   故答案为：3，60； （2）解：甲型包装机情况较好，理由如下：   ∵ 甲型合格区间频数为，其合格率为 又∵ 乙型合格率为60%，且，甲型数据更集中于合格区间   ∴ 甲型包装机情况较好；   答：甲型包装机包装水稻种子的情况较好，理由是甲型合格率（）高于乙型（），且数据更集中在合格区间． （3）解：采购决策需补充与使用相关的关键信息，如两种型号包装机的每小时包装数量（包装效率）；   答：还应收集两种型号包装机的包装效率（或采购成本、维护成本等）信息． 2．（2025·广东梅州·模拟预测）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．小李计划从试验田里随机抽取100个麦穗的长度作为样本(精确到)，并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗的长度频率分布表            长度 频率 m 合计 1 试验田100个麦穗的长度频数分布直方图 (1)频率分布表中的 ； (2)请把频数分布直方图补充完整；(画图后请标注相应数据) (3)请你估计长度不小于的麦穗占该试验田里的百分之多少． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了频数分布直方图，频率分布表，读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）用1减去其他频率即可求出m的值 （2）先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）麦穗的长度在范围内的频数有． 补全频数分布直方图如下： （3） 故估计长度不小于的麦穗占该试验田里的． 3．（2025·广东珠海·三模）【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演．为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况． 【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案： 方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析； 方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析； 方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析． （1）其中抽取的样本具有代表性的方案是_____（填“A”“B”或“C”）． 【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）； 身高段（单位：） 频数 ① 10 ② 50 ③ ④ 10 【问题解决】请结合表中信息解答下列问题： （2）填空：_____； （3）估计该校学生身高的中位数落在身高段_____（填“①”“②”“③”或“④”）； （4）现需选拔身高达到及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数． 【答案】（1）C（2）（3）②（4） 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本估计总体，中位数，根据数据描述求频数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抽样调查的可靠性，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析，即可作答． （2）根据数据描述求频数，即可作答． （3）把数据排序后，取位于中间位置的数作为中位数，即可作答． （4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析． 故答案为：C； （2）∵选取100个人， ∴， 故答案为：； （3）∵选取100个人， ∴中位数排在第和名之间， ∵ ∴估计该校学生身高的中位数落在身高段②， 故答案为：②； （4）依题意，（人）． 4．（2025·广东·模拟预测）广东省卫生健康委等16个部门联合制定了《广东省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某企业为了解员工的体重管理情况，对员工进行不记名调查问卷，并选取部分调查问卷后将其结果绘制成如图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围， 频数 体重过低 14 体重标准 96 体重超重 64 肥胖 26 根据以上统计，回答下列问题： (1)本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； (2)试估计该公司1800名员工中，体重超重或肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； (3)请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 【答案】(1)200 (2)360人 (3)见解析 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键。 （1）把表格中所有选项的频数相加即可得到答案； （2）先估计出肥胖或体重超重的人数，再求出采取合理饮食来控制体重的人数占比即可得到答案； （3）：该公司一半以上的员工体重不标准，部分员工肥胖，建议员工健康饮食，多锻炼身体． 【详解】（1）解：份， ∴本次调查共选取了200份调查报告进行统计； （2）解；估计该公司1800名员工中，体重超重或肥胖的人数为人 本次调查，体重超重或肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的占， 估计该公司1800名员工中，体重超重或肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数为360人． （3）解：该公司一半以上的员工体重不标准，部分员工肥胖，建议员工健康饮食，多锻炼身体． 59．（2025·广东广州·二模）广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调查，要求他们从粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术中选择“最感兴趣的一项”．调查结果部分数据如下： 项目 频数 频率 粤剧 30 醒獅 45 广绣 广彩 15 (1)有上表可得，___________，___________，总调查人数为___________人． (2)该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两个，请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了频数分布表，列表法或树状图求概率，熟练掌握以上内容是解题的关键． （1）根据频数，频率，总数之间的关系分别求解即可； （2）先画树状图得到所有都可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， ∴，． （2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：， 根据题意画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种， （两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）． 5．（2025·广东清远·一模）现某校高三第一次模拟考试结束后，数学李老师对本班数学成绩作质量分析，并制成 如下统计图表，根据图表中信息，解答问题． 等级 分数段 频数 频率 优秀 A： 5 0.36 B： m 良好 C： n 0.44 D： 8 合格 E： 5 0.16 F： 3 不合格 G： 2 b (1)本班共有学生________人； (2)表格中 ________，________，_______； (3)A分数段的5位同学中有3男2女，从他们当中随机选择2位同学进行经验介绍，请用画树状图或列表法求恰好选中两个男生的概率． 【答案】(1)50 (2)13，14， (3) 【分析】此题主要考查统计调查的应用，利用列表或画树状图求概率，解题的关键是概率公式的运用． （1）根据合格人数及其频率即可求出班级全体人数； （2）根据全班人数及良好人数的频率，依次求出n，m，b即可求解； （3）依题意画树状图得到所有可能的情况，再根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本班共有学生人， 故答案为：50； （2）良好的学生人数为人， ∴，， ∴， 故答案为：13，14，； （3）将男生分别标记为、、，女生分别标记为、， 画树状图如图： 一共有20种等可能的结果，其中恰好选中两个男生的结果有6种， 所以，恰好选中两个男生的概率为． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担．为了解今年某区18000名初二学生的每天平均做作业的时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 完成作业用时（分钟） 频数（人数） 频率 A 50 0.1 B a 0.15 C 225 b D 125 0.25 E 25 0.05 (1)表中的______，______． (2)补全频数分布直方图； (3)结合调查信息，请你估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有多少人？ 【答案】(1)75，0.45 (2)见解析 (3)每天做作业时间在50到90分钟的学生人数为12600人 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用样本估计总体： （1）用A的频数除以其频率求出参与调查的人数，进而可求出a、b的值； （2）根据（1）所求补全统计图即可； （3）用18000乘以样本中每天做作业时间在50到90分钟的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：名， ∴一共抽取了500名学生， ∴； （2）解：根据（1）所求可补全统计图如下： （3）解：人， ∴估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有12600人． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率的综合应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 数据收集与调查方式的判断 题型二 样本估计总体 题型三 统计图的选择 题型四 概率的计算（列表/树状图法） 题型五 数据的分析 题型六 几何概率 必备知识 知识1 数据的收集（普查、抽样调查）与整理 知识2 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算 知识3 统计图表（条形、扇形、折线、频数分布直方图）的分析 知识4 概率的基本概念与计算方法 知识5 统计与概率的实际应用 命题预测 预测1 数据调查方式的判断（普查/抽样调查）[广东省卷2025年第4题/深圳2025年第4题/广州2025年第3题] 预测2 统计图的选择[常在选填中涉及] 预测3 用样本估计总体的计算[常在统计综合题中涉及] 预测4 概率的基本计算[两年必考] 预测5 列表法/树状图法求概率[广东省卷2025年第20题/深圳2025年第19题/广州2025年第19题] 预测6 多统计图表的综合分析[两年必考] 预测7 概率与游戏公平性的判断[深圳、广州高频] 预测8 频数与频率的计算[常在统计图表题中涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 统计图表的识别与绘制（条形图、扇形图、频数分布直方图、折线图） 2025：T20（条形图、扇形图——体育活动调查） 2024：T5（频数分布直方图——公园用地面积） 2025：T5（统计图的选择——折线图） 2024：T5（频数分布直方图） 2025：T16（条形图、扇形图——科技主题投票） 2024：T16（条形图、扇形图——预约人数） 数据的代表（平均数、中位数、众数、方差） 2025：T6（中位数、众数——评委打分） 2024：T11（众数）、T19（加权平均数——景区评分） 2025：T20（算术平均数、加权平均数——演讲比赛） 2024：T21（中位数、众数、平均数——提问水平评分） 2025：T16（平均数、中位数、众数——科技主题打分） 2024：T16（平均数、众数、中位数、方差——预约人数） 概率的计算（一步概率、两步概率、几何概率） 2025：T9（几何概率——扇形落点） 2024：T6（一步概率——文化选择） 2025：T21（格点概率——反比例函数与直线围成区域） 2024：T21（树状图法——两组抽人） 2025：T3（一步概率——抽书） 2024：T4（一步概率——节气） 统计与概率的综合应用（用样本估计总体、决策、设计权重等） 2025：T20（用样本估计总体——体育活动时间） 2024：T19（加权平均数决策——景区选择） 2025：T20（设计权重——演讲比赛） 2024：无 2025：T16（决策——选择科技主题） 2024：T16（决策——预约学校） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“统计与概率”板块将继续以基础题和中档题为主，常出现在选择题、填空题和解答题的前半部分。 · 统计图表：必考内容，主要考查条形图、扇形图、频数分布直方图、折线图的识别、补全和信息提取。解答题中常要求补全统计图并计算相关统计量。 · 数据的代表：平均数（算术平均数和加权平均数）、中位数、众数、方差的计算与意义是高频考点，常结合统计图表一起考查。 · 概率：一步概率（古典概型）和两步概率（列表法或树状图法）是常见题型，偶有几何概率（如广东省卷2025年T9）。题目背景贴近生活（如节气、文化活动、投票、抽奖等）。 · 综合应用：能用样本估计总体，能根据统计量做出合理决策（如选择哪所学校、哪个景区、哪个主题），能设计权重并解释理由。 2. 备考建议 · 熟练掌握三种常见统计图（条形图、扇形图、折线图）的特点和绘制方法，能从统计图中准确提取信息，并能补全统计图。 · 理解平均数（包括加权平均数）、中位数、众数、方差的概念和计算方法，能根据实际问题选择合适的统计量进行分析。 · 掌握概率的基本计算公式（成功事件数总事件数），能熟练运用列表法或树状图法计算两步试验的概率。 · 了解几何概率的基本思想（面积比、长度比等），能处理简单的几何概型问题。 · 关注统计与概率的实际应用，能结合数据提出合理建议或作出正确决策，培养数据观念和应用意识。 题型一 数据收集与调查方式的判断 1. 普查精准但耗时，适用于范围小、无破坏性的调查；抽样调查高效，适用于范围大、有破坏性的调查。 1. 涉及安全、精密检测等必用普查；人口估算、产品抽检等多用抽样调查。 1．（2024·广东佛山·中考真题）吸烟有害健康，被动吸烟也有害健康．如果要了解人们被动吸烟的情况，则最合适的调查方式是（　　） A．普查 B．抽样调查 C．在社会上随机调查 D．在学校里随机调查 2．（2024·广东梅州·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定 C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 题型二 样本估计总体 1. 利用样本的平均数、频率、百分比，直接推算总体对应数据。 2. 核心计算：总体数量＝样本中目标数量÷样本所占比例。 1．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 2．（2023·广东深圳·中考真题）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：      如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 题型三 统计图的选择 1. 条形统计图看具体数量，折线统计图看变化趋势，扇形统计图看占比关系。 2. 展示数据分组分布时，选用频数分布直方图。 1．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． (2)为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________，________，________． (3)结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 题型四 概率的计算（列表/树状图法） 1. 两步及以上随机试验，用列表法或树状图列出所有等可能结果。 2. 概率＝符合条件的结果数÷总结果数，分清放回与不放回两种情况。 1．（2024·广东广州·中考真题）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 (1)求组同学得分的中位数和众数； (2)现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 2．（2023·广东广州·中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 题型五 数据的分析 1. 平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，方差反映波动程度。 2. 方差越小数据越稳定，选择方案时结合实际需求判断。 1．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 2．（2024·广东深圳·中考真题）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 学校B： (1) 学校 平均数 众数 中位数 方差 A ①______ 48 48 B 48.4 ②______ ③______ 354.04 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 B 48.4 354.04 3．（2024·广东·中考真题）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 (1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？ (2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ (3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由． 题型六 几何概率 1. 几何概率＝目标区域的面积（长度）÷总区域的面积（长度）。 2. 复杂图形用割补法计算面积，确保区域划分清晰无重复、无遗漏。 1．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 知识1 数据的收集（普查、抽样调查）与整理 普查：对全体考察对象进行调查，结果准确，但耗时长、成本高，具有破坏性时不适用。 抽样调查：抽取部分个体调查，省时省力，样本需具有代表性、广泛性、随机性。 相关概念：总体（全体对象）、个体（每个对象）、样本（抽取部分）、样本容量（样本数量，无单位）。 整理方式：分组、排序、划记法统计频数。 知识2 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算 平均数：反映数据平均水平，公式：；加权平均数。 中位数：数据排序后，中间位置的数（偶数个取中间两数平均），反映中等水平，不受极端值影响。 众数：出现次数最多的数据，反映集中趋势，可不止一个。 方差：衡量数据波动大小，，方差越大，波动越大、越不稳定。 知识3 统计图表（条形、扇形、折线、频数分布直方图）的分析 条形图：清晰展示各组数量多少。 扇形图：表示各部分占总体的百分比，圆心角度数百分比。 折线图：反映数据变化趋势。 频数分布直方图：展示数据分布情况，组距相同时长方形面积表示频数。 解题关键：补全图表、利用总量与部分量互算、提取信息进行判断。 知识4 概率的基本概念与计算方法 必然事件：概率；不可能事件：概率；随机事件：。 公式：事件可能出现的结果数所有等可能结果数。 计算方法： · 直接列举法、列表法（两步试验）、树状图（两步及以上试验），确保结果等可能、不重不漏。 知识5 统计与概率的实际应用 统计应用：用样本估计总体，根据统计量、图表进行决策、判断、预测。 概率应用：判断游戏公平性、评估风险、预测事件发生可能性、优化方案选择。 核心：用数据说话，结合实际意义解释结果，避免片面判断。 命题预测1：数据调查方式的判断（普查/抽样调查）[广东省卷2025年第4题/深圳2025年第4题/广州2025年第3题] 1．（2025·广东揭阳·三模）下列调查方式中，合适的是（   ） A．了解某班学生中哪个月份出生的人数最多，用抽样调查 B．神舟十九号载人飞船发射前对其零部件的检查，用抽样调查 C．了解广东省九年级学生的视力情况，用全面调查 D．了解一批冷饮的质量达标情况，用抽样调查 2．（2025·广东广州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） ． A．4的平方根是2 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 D．数据2，0，3，2，3的方差是 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．对洛阳市区空气质量的调查 B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 4．（2025·广东梅州·一模）下列调查中，调查方式选择合理的是（   ） A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式 B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式 C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式 D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式 5．下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　　） A．对我国中学生视力状况的调查 B．检查某批次手机电池的使用寿命 C．对春节期间居民出行方式的调查 D．旅客乘坐飞机前的安全检查 命题预测2：统计图的选择[常在选填中涉及] 1．（2024·广东江门·模拟预测）地壳中含量最高的元素是氧，约占（质量百分比），其次是硅，约占，铝约占素，铁约占，其他元素约占．要反映上述信息，宜采用的统计图是（   ） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 2．（2024·广东深圳·模拟预测）某快餐店前5天的销售情况如下：第一天50盒，第二天62盒，第三天57盒，第四天70盒，第五天78盒．要清楚地反映该快餐店前5天的销售情况，应选择制作 ___________统计图． 3．（2025·广东深圳·一模）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A 68 B a C 510 D 177 合计 1000 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 (1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　； (2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）； (3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人； (4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 4．（2024·广东佛山·一模）跳绳是某市体育中考的选考项目，评分标准的一部分如下表1： 次数/分钟 180 160 140 120 100 分数 100 90 80 70 60 为了解班上同学的跳绳成绩，体育委员统计了全班同学一分钟跳绳的次数，并列出数据如下表2： 次数/分钟 人数 11 17 9 8 5 (1)画出适当的统计图表示上面表2的信息； (2)用学过的统计知识评价这个班的跳绳成绩． 命题预测3：用样本估计总体的计算[常在统计综合题中涉及] 1．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 2．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 3．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 4．（2025·广东广州·模拟预测）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下： 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 3 八年级 1 7 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 90 36.4 八年级 84 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少人？ (2)根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平． 5．（2025·广东汕头·一模）为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解交通法规的有 人． (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）某县政府为了解年该县贫困户的脱贫情况，随机调查了部分贫困户，并根据调查结果制作了如下两幅统计图（不完整）    请根据统计图回答下列问题 (1)随机调查的贫困户有 户， ， ．并补全条形统计图． (2)扇形统计图中，本年度脱贫部分的圆心角是 度； (3)记者从县扶贫办了解到，该县共有户贫困户，请你估计到年底该县实现脱贫的贫困户有多少户（含彻底脱贫和本年度脱贫）？ 命题预测4：概率的基本计算[两年必考] 1．（2026·广东广州·模拟预测）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（  ） A．出现点数为2的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为奇数是不可能事件 D．出现点数为偶数是必然事件 2．（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·一模）2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没·年年有熊》．从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东佛山·一模）在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东深圳·一模）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·一模）如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是__________． 8．（2026·广东深圳·一模）某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 9．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮． (1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________； (2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 命题预测5：列表法/树状图法求概率[广东省卷2025年第20题/深圳2025年第19题/广州2025年第19题] 1．（2026·广东广州·模拟预测）某校开展党史知识进校园活动，随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为：A 优秀，B良好，C 合格，D 不合格．将测试的结果绘制成如图所示不完整的统计图． 请根据图中信息回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； (2)该校共有800名学生，请你估计成绩为“良好”及以上的学生有多少名？ (3)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生满分，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 2．（2026·广东广州·一模）2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． (1)①此次共调查了_____人； ②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°． (2)将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 3．（2026·广东茂名·一模）有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． (1)若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； (2)若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 3 8 3 8 3 4 8 3 9 8 16 4．（2026·广东深圳·一模）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为______°，并将条形统计图补充完整； (3)已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有______人？ (4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 5．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 命题预测6：多统计图表的综合分析[两年必考] 1．（2024·广东·模拟预测）某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对传统文化的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行传统文化知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示)：，，，，，．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如图所示．已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ． (2)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对传统文化的关注程度高．请你估计该校七、八年级中对传统文化关注程度高的学生共有多少人？ 2．（2025·广东东莞·二模）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 甲种芒果组共50个数据，频数分布如下（单位：）： 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 根据所给信息，解答下列问题． (1)___________，补全图2中的频率分布直方图； (2)在甲品种扇形统计图中，组对应的扇形的圆心角度数为___________； (3)甲品种抽取的芒果的中位数为___________cm； (4)从乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 4．（2025·广东深圳·三模）覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 A B C D E    其中甲种芒果组共个数据，频数分布如下（单位：） 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 解答下列问题． (1) ，补全图2中的频率分布直方图； (2)甲品种抽取的芒果的中位数为 ； (3)从乙品种芒果测量结果的B组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为16.8，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 5．（2024·广东东莞·模拟预测）小星想了解全国2019—2023年货物进出口总额变化情况，他根据国家统计局2024年发布的相关信息，绘制了如下的统计图． 请利用统计图中提供的信息回答下列问题： (1)①在折线统计图中，2019—2023年货物出口总额的中位数为______万亿元； ②在扇形统计图中，加工贸易所在扇形的圆心角度数为______； (2)货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口总额超过货物进口总额的差额称为货物进出口顺差． 填表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 货物进出口顺差（万亿元） 2.91 3.64 4.12 5.59 ______ (3)写出一条关于我国货物进出口总额变化趋势的信息． 6．（2026·广东深圳·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 7．（2026·广东深圳·一模）某校为了解九年级学生对某个数学知识点的掌握程度，特地开展数学素养调研，随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 (1)请补全第1小组得分条形统计图． (2)第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 a 3 第2组 b 0 1 第3组 2 c (3)根据上述图表填空：_____，_____，_____． (4)结合上述数据，请你分析对于该数学知识点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 命题预测7：概率与游戏公平性的判断[深圳、广州高频] 1．（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明． 2． “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 3．（2024·广东广州·一模）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏． (1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率； (2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？ 4．（2024·广东佛山·三模）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明． (2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______． 命题预测8：频数与频率的计算[常在统计图表题中涉及] 1．（2024·广东·模拟预测）某县为深入推进乡村产业发展，采购了甲，乙两种型号的包装机去同时包装水稻种子，某质检部门从两种型号包装机已包装好的产品中各随机抽取包测得实际质量（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量与标准质量的差值如下： ，，，，， ，，，，，， 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如下：（每组均包含数据最小值，不包含最大值） 区间 A B C D E F 质量 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子质量的频数分布直方图如图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中__________，乙型包装机包装水稻种子的合格率为__________； (2)你认为哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好？请说明理由． (3)为了更快地包装水稻种子，县里准备再采购一批包装机，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢？（列出一条即可） 2．（2025·广东梅州·模拟预测）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．小李计划从试验田里随机抽取100个麦穗的长度作为样本(精确到)，并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗的长度频率分布表            长度 频率 m 合计 1 试验田100个麦穗的长度频数分布直方图 (1)频率分布表中的 ； (2)请把频数分布直方图补充完整；(画图后请标注相应数据) (3)请你估计长度不小于的麦穗占该试验田里的百分之多少． 3．（2025·广东珠海·三模）【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演．为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况． 【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案： 方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析； 方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析； 方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析． （1）其中抽取的样本具有代表性的方案是_____（填“A”“B”或“C”）． 【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）； 身高段（单位：） 频数 ① 10 ② 50 ③ ④ 10 【问题解决】请结合表中信息解答下列问题： （2）填空：_____； （3）估计该校学生身高的中位数落在身高段_____（填“①”“②”“③”或“④”）； （4）现需选拔身高达到及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数． 4．（2025·广东·模拟预测）广东省卫生健康委等16个部门联合制定了《广东省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某企业为了解员工的体重管理情况，对员工进行不记名调查问卷，并选取部分调查问卷后将其结果绘制成如图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围， 频数 体重过低 14 体重标准 96 体重超重 64 肥胖 26 根据以上统计，回答下列问题： (1)本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； (2)试估计该公司1800名员工中，体重超重或肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； (3)请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 59．（2025·广东广州·二模）广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调查，要求他们从粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术中选择“最感兴趣的一项”．调查结果部分数据如下： 项目 频数 频率 粤剧 30 醒獅 45 广绣 广彩 15 (1)有上表可得，___________，___________，总调查人数为___________人． (2)该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两个，请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率． 5．（2025·广东清远·一模）现某校高三第一次模拟考试结束后，数学李老师对本班数学成绩作质量分析，并制成 如下统计图表，根据图表中信息，解答问题． 等级 分数段 频数 频率 优秀 A： 5 0.36 B： m 良好 C： n 0.44 D： 8 合格 E： 5 0.16 F： 3 不合格 G： 2 b (1)本班共有学生________人； (2)表格中 ________，________，_______； (3)A分数段的5位同学中有3男2女，从他们当中随机选择2位同学进行经验介绍，请用画树状图或列表法求恰好选中两个男生的概率． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担．为了解今年某区18000名初二学生的每天平均做作业的时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 完成作业用时（分钟） 频数（人数） 频率 A 50 0.1 B a 0.15 C 225 b D 125 0.25 E 25 0.05 (1)表中的______，______． (2)补全频数分布直方图； (3)结合调查信息，请你估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有多少人？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $